多城市分站网站建设,电子商务网站 费用,公众号一键导入wordpress,wordpress模板调用数据库常微分方程#xff08;ODE#xff09; 的时候我们更多是关于时间的导数。偏微分方程#xff08;partial differential equation) 则不仅仅是与时间相关#xff0c;加上了与空间位置相关的一些信息。解当 ODE 满足 利普希茨连续#xff08;Lipschitz continuity#xff09…常微分方程ODE 的时候我们更多是关于时间的导数。偏微分方程partial differential equation) 则不仅仅是与时间相关加上了与空间位置相关的一些信息。解当 ODE 满足 利普希茨连续Lipschitz continuity我们就可以有唯一解。但是 PDE 我们可能并没有这样好的性质我们不知道它是否应该有解很多时候也许我们就是用有限元方法finite element method来模拟如果看到的结果还不错的话我们就当这个就是它的解o(╯□╰)o运算符首先需要搞清楚 梯度、散度、旋度、拉普拉斯 运算符:关于 梯度、散度、旋度 以及 拉普拉斯可以理很久如果需要复习可以参见之前我写过的两篇梯度旋度散度梯度、散度、旋度在 物理 有关的偏微分方程中如果函数是 f(t; x, y, z) 当我们写到 nabla 运算符是 ,是与 t 无关的。纳维-斯托克斯方程 Navier-Stokes equationsNavier-Stokes equations 是大概做流体模拟的一个基础方程是一个典型的 PDE 方程或者我们用 wikipedia 中的写法光看这个形式就很复杂了是否可解这里光看式子就会想打上很多问号所以克雷数学研究所的千禧年七大问题之一就是有关于 Navier-Stokes equationsProve or give a counter-example of the following statement: In three space dimensions and time, given an initial velocity field, there exists a vector velocity and a scalar pressure field, which are both smooth and globally defined, that solve the Navier–Stokes equations.价值 $1,000,000其它的百万问题还包括P vs NP霍奇猜想庞加莱猜想黎曼猜想...麦克斯韦方程组 Maxwells equations最最出名的 PDE 应该是 - 麦克斯韦方程组 拉普拉斯方程 Laplaces equation拉普拉斯方程非常出名 形式简单它是泊松方程的特殊形式。拉普拉斯方程又被称为调和方程。因为调和函数harmonic function的定义也就是函数满足拉普拉斯方程。之所以被定义为调和harmonic大概起因和 泛音(overtone)相关。关于 调和函数 的另一种感性的理解就是如果我们把 拉普拉斯运算符 看成 类似二阶导一样的东西。对于 : 二阶导 决定了这个函数的 凹凸性, 或者说 二阶导 决定了这个点周围的函数值是比它大还还是比它小。二阶导 在这里变成了我们比较函数的与它邻居的大小。对于 : 如果把它看成类似二阶导那么我们假设取一个点然后看它周围的圆球反正是与这个点距离相等的函数上的点它们的平均值是跟这个点是一样的。比如上面的 harmonic function: 虽然难以想象但是比如我们在之上任意取一个点这个点周围的圆上面的函数值的平均是一样的在平坦的部分还容易想到这个结论在有起伏的地方比较难想象到。平均值一样,某种意义上就代表稳定。以下的两个说法来自知乎问题 调和函数到底有什么意义物理上可以用来描述一个稳定的状态比如定常的温度场自由电场电势引力势能等等。数学上比如说调和函数直接对应到复变里面的全纯函数微分几何里面调和函数对应的是极小曲面黎曼几何里调和函数可以推广到调和形式然后就可以有Hodge 分解……上面每一个都可以展开而且我强烈感觉我没想全……简直太有意义了 调和函数的线性组合仍为调和函数所以是一个函数空间。调和函数无限次可导。调和函数在定义域的紧子集的边界上达到最大最小值这是一种类似单调的性质。加上其他的一些性质导致调和函数容易处理也更可能满足某些规律。以上是数学工作者看重的某些意义你或许会觉得这不叫意义那么可以考虑在物理学上的意义二阶偏导的和等于零对应于加速度的和为零即可以描述系统不受力的状态即稳态。当不能刻画系统在每一时刻的状态却能用调和函数描述系统稳态下的状态调和函数就显得非常有意义了。回头继续, 先扔一个问题的 setup 也就是我们给定区域 它有边界 边界上 有函数 我们想要找到一个函数满足 也就是在这个边界上相等。那么 是在干什么呢实际上这个函数有自己的名字 - 狄利克雷能量(Dirichlets energy) 这个 energy function 代表的是什么梯度代表的是 函数 的变化类似于导数这个一整个 梯度的 l2 norm的平方积分 - 导数变化求和最小化 它 也就是最小化函数的变化。所以上面这个问题也就是在尝试在边界满足 f g最小化函数 f 在区域内的变化也就是让函数尽量光滑所以也就是 f as smooth as possible. 记得之前还有过 as rigid as possible)可用变分解出f 需要满足 拉普拉斯方程。考虑任意h需要有 考虑 关于 求导上述推导对于任何 h 都成立特殊的我们取 然后利用分布积分其实也就是 格林恒等式 上面式子可以转化为 这个式子恒等于0所以也就是也就是我们需要求解的 PDE 为其实也就是 狄利克雷问题Dirichlet problem给定定义在 中一个区域的边界上一个函数 g是否存在惟一连续函数 f 在内部两次连续可微在边界上连续使得 f 在内部调和并在边界上 f g 其实这个也蛮像插值问题的比如之前的插值 给一些点推断出函数的模样。维度升级了给一个边界想要知道函数在区域内的全貌。调和分析 Harmonic analysis这也是一类PDE问题解特征方程。边界条件 Boundary Value Problems狄利克雷问题Dirichlet problem是给定边界推断函数。类似的还包括狄利克雷边界条件 Dirichlet conditions: 诺伊曼边界条件 Neumann conditions: 混合 Robin boundary condition: 类似 二阶PDE二阶PDE 的一般形式是 我们也可以把上述方程写成 我们可以根据上面的式子来分类A 是 正定矩阵 或者 负定矩阵 特征值全为正或者全为负 椭圆型 ellipticA 是 半正定矩阵 或者 半负定矩阵 特征值除了全正或者全负可以加上0 抛物型 parabolicA只存在一个特征值和其他特征值符号不同 双曲型 hyperbolic不满足上述条件 超双曲型 ultrahyperbolic椭圆型 PDE有解 唯一解拉普拉斯/泊松方程 抛物型 PDE短时间内的解是存在/唯一的热方程 边界条件 需要跟时间、空间相关双曲型 PDE波动方程: 边界条件: 一阶导微分看成算子微分很容易验证其为成线性算子。先看一维简单的例子之前在数值积分和微分中已经讨论过比如我们可以用离散、差分等方式把 看成: 所以如果假设 f(x) 在 [0,1] 上有 那么这里就从微分到了差分其实应该也 ≈ : 或者写成如果我们把 写成向量 把 写成向量 上面的式子可以写成: 那么根据边界条件的不同 可以为Dirichlet Neumann 周期性 f(0) f (1) 然后我们就像解线性系统一样来解这个系统了。即使是 2D 的网格我们也可以用类似的方法来离散 感觉自己在有限元的边缘试探o(╯□╰)o参考- 大量参考wikipedia
