开发外包网站,怎么建网站平台卖东西,河南建设厅,官方进一步优化1188 最大公约数之和 V2
思路
用欧拉函数可以化简式子如下 ∑i1n∑j1i−1gcd(i,j)\sum_{i 1} ^{n} \sum _{j 1} ^{i - 1} gcd(i, j)i1∑nj1∑i−1gcd(i,j) ∑i1n∑j1igcd(i,j)−(n1)(n)2 \sum_{i 1} ^{n} \sum_{j 1} ^{i} \gcd(i, j) - \frac{(n 1)(n)}{2}i1∑n…1188 最大公约数之和 V2
思路
用欧拉函数可以化简式子如下
∑i1n∑j1i−1gcd(i,j)\sum_{i 1} ^{n} \sum _{j 1} ^{i - 1} gcd(i, j)i1∑nj1∑i−1gcd(i,j)
∑i1n∑j1igcd(i,j)−(n1)(n)2 \sum_{i 1} ^{n} \sum_{j 1} ^{i} \gcd(i, j) - \frac{(n 1)(n)}{2}i1∑nj1∑igcd(i,j)−2(n1)(n)
∑i1n∑d∣id∑j1i(gcd(i,d)d)−(n1)(n)2 \sum_{i 1} ^{n} \sum_{d \mid i} d\sum_{j 1}^{i}(gcd(i, d) d) - \frac{(n 1)(n)}{2}i1∑nd∣i∑dj1∑i(gcd(i,d)d)−2(n1)(n)
∑i1n∑d∣idϕ(id)−(n1)(n)2 \sum_{i 1} ^{n} \sum_{d\mid i}d\phi(\frac{i}{d}) - \frac{(n 1)(n)}{2}i1∑nd∣i∑dϕ(di)−2(n1)(n)
我们再通过类似于埃筛来求得∑i1n∑d∣idϕ(id)\sum_{i 1} ^{n} \sum_{d\mid i}d\phi(\frac{i}{d})∑i1n∑d∣idϕ(di)接下来就可以直接输出答案了。
代码
/*Author : lifehappy
*/
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include bits/stdc.h#define mp make_pair
#define pb push_back
#define endl \n
#define mid (l r 1)
#define lson rt 1, l, mid
#define rson rt 1 | 1, mid 1, r
#define ls rt 1
#define rs rt 1 | 1using namespace std;typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pairint, int pii;const double pi acos(-1.0);
const double eps 1e-7;
const int inf 0x3f3f3f3f;inline ll read() {ll x 0, f 1; char c getchar();while(c 0 || c 9) {if(c -) f -1;c getchar();}while(c 0 c 9) {x (x 1) (x 3) (c ^ 48);c getchar();}return x * f;
}const int N 5e6 10;int phi[N], n;bool st[N];vectorint prime;ll ans[N];void init() {st[0] st[1] 1;phi[1] 1;for(int i 2; i N; i) {if(!st[i]) {prime.pb(i);phi[i] i - 1;}for(int j 0; j prime.size() i * prime[j] N; j) {st[i * prime[j]] 1;if(i % prime[j]) {phi[i * prime[j]] phi[i] * (prime[j] - 1);}else {phi[i * prime[j]] phi[i] * prime[j];break;}}}for(int i 1; i N; i) {for(int j i; j N; j i) {ans[j] 1ll * i * phi[j / i];}}for(int i 1; i N; i) ans[i] ans[i - 1];
}int main() {// freopen(in.txt, r, stdin);// freopen(out.txt, w, stdout);ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);init();int T;cin T;while(T--) {int n;cin n;cout ans[n] - 1ll * (n 1) * n / 2 endl;}return 0;
}
