兴义做网站,查看网站是什么空间,火车头wordpress 5.1,乐陵森博瑞1. 特征向量与特征值
研究对象是一个平面 A A A#xff0c;向量 X X X通过 A A A变换后仍然平行于 X X X。
这样的向量就叫特征向量。 变换后的向量与原向量的比值就是特征值。 A X / / X A X λ X AX \mathop{//} X\\ AX \lambda X AX//XAXλX
如果矩阵 A A A是奇异矩阵向量 X X X通过 A A A变换后仍然平行于 X X X。
这样的向量就叫特征向量。 变换后的向量与原向量的比值就是特征值。 A X / / X A X λ X AX \mathop{//} X\\ AX \lambda X AX//XAXλX
如果矩阵 A A A是奇异矩阵那么 λ 0 \lambda0 λ0是一个特征值。
1.1 举例子
投影矩阵 如果 X X X在投影平面上 P X X , λ 1 PXX,\lambda1 PXX,λ1; 如果 X ⊥ P X\perp P X⊥P,则 P X 0 0 X , λ 0 PX00X,\lambda0 PX00X,λ0二阶矩阵 A [ 0 1 1 0 ] A\begin{bmatrix} 0 1\\1 0 \end{bmatrix} A[0110] X 1 [ 1 1 ] λ 1 1 A X X X_1\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} \ \lambda_11\\ AXX X1[11] λ11AXX X 2 [ − 1 1 ] λ 2 − 1 A X − X X_2\begin{bmatrix} -1\\1 \end{bmatrix} \ \lambda_2-1\\ AX-X X2[−11] λ2−1AX−X 矩阵的迹 t r a c e ∑ i 1 n λ i trace\sum_{i1}^{n} \lambda_i tracei1∑nλi 矩阵的迹与对角线元素之和相等 t r a c e ∑ i 1 n a i i ∑ i 1 n λ i trace\sum_{i1}^{n}a_{ii}\sum_{i1}^{n}\lambda_i tracei1∑naiii1∑nλi
1.2 求解 A X λ X AX\lambda X AXλX A X λ X ( A − λ I ) X 0 AX\lambda X\\ (A-\lambda I)X0 AXλX(A−λI)X0 要使 X X X为不为 0 0 0,则矩阵 A − λ I A-\lambda I A−λI为奇异矩阵。 所以 d e t A − λ I 0 det\ A-\lambda I0 det A−λI0 就变成了求解 A − λ I A-\lambda I A−λI的零空间。
举例子 A [ 3 1 1 3 ] A − λ I [ 3 − λ 1 1 3 − λ ] ( 3 − λ ) 2 − 1 0 λ 1 2 λ 2 4 A\begin{bmatrix} 3 1\\1 3 \end{bmatrix}\\ A-\lambda I \begin{bmatrix} 3-\lambda 1\\1 3-\lambda \end{bmatrix}\\ (3-\lambda)^2-10\\ \lambda_12\\\lambda_24 A[3113]A−λI[3−λ113−λ](3−λ)2−10λ12λ24 6是迹8是行列式的值。 A − 4 I [ − 1 1 1 − 1 ] X 1 [ 1 1 ] A − 2 I [ 1 1 1 1 ] X 2 [ 1 − 1 ] A-4I \begin{bmatrix} -1 1\\1 -1 \end{bmatrix} \ X_1\begin{bmatrix} 1 \\1 \end{bmatrix}\\ A-2I \begin{bmatrix} 1 1\\1 1 \end{bmatrix} \ X_2\begin{bmatrix} 1 \\-1 \end{bmatrix} A−4I[−111−1] X1[11]A−2I[1111] X2[1−1] 我们可以看到两个特征向量与我们的上一个例子中特征向量一样特征值分别加 3 3 3了。
这是因为 A 3 I A ′ A X λ X ( A 3 I ) X ( λ 3 ) X A3IA\\ AX \lambda X\\ (A3I)X(\lambda3)X A3IA′AXλX(A3I)X(λ3)X 但这对两个其他不同矩阵特征值不能应用。 A X α X B Y β Y AX\alpha X\\BY\beta Y AXαXBYβY 因为不能保证他们的特征向量一致。
举例子旋转矩阵 r o t a [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] rota\begin{bmatrix} \cos \theta -\sin \theta\\ \sin \theta \cos \theta \end{bmatrix} rota[cosθsinθ−sinθcosθ]
取 9 0 ∘ 90^{\circ} 90∘时旋转矩阵 Q [ 0 − 1 1 0 ] Q \begin{bmatrix} 0 -1\\ 1 0 \end{bmatrix} Q[01−10] Q ′ Q − λ I [ − λ − 1 1 − λ ] d e t Q ′ λ 2 1 0 λ 1 i λ 2 − i QQ-\lambda I \begin{bmatrix} -\lambda -1\\ 1 -\lambda \end{bmatrix}\\ det\ Q \lambda^210\\ \lambda_1 i\\\lambda_2-i Q′Q−λI[−λ1−1−λ]det Q′λ210λ1iλ2−i 矩阵越对称越有实数特征值。否则就是复数特征值。
再一个例子 A [ 3 1 0 3 ] A ′ A − λ I [ 3 − λ 1 0 3 − λ ] d e t A ′ [ 3 − λ 1 0 3 − λ ] ( λ − 3 ) 2 0 λ 1 λ 2 1 X 1 [ 1 0 ] A\begin{bmatrix} 3 1\\0 3 \end{bmatrix}\\ AA-\lambda I \begin{bmatrix} 3-\lambda 1 \\ 0 3-\lambda \end{bmatrix}\\ det\ A \begin{bmatrix} 3-\lambda 1\\ 0 3-\lambda \end{bmatrix} (\lambda-3)^20\\ \lambda_1\lambda_21\\ X_1\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} A[3013]A′A−λI[3−λ013−λ]det A′[3−λ013−λ](λ−3)20λ1λ21X1[10] 重根造成了特征向量的缺失
2. 旋转矩阵的推导
假设在二维平面上向量 O A → ( x , y ) \overrightarrow{OA}(x,y) OA (x,y)求逆时针旋转 θ \theta θ后的坐标。
假设 O A → \overrightarrow{OA} OA 的平面角为 α \alpha α则 x 2 y 2 r 2 x^{2}y^{2}r^2 x2y2r2 r cos α x , r sin α y r\cos\alphax,r\sin\alphay rcosαx,rsinαy
假设旋转后的角度为 β \beta β则 α θ β cos β c o s ( α θ ) cos θ cos α − sin θ sin α sin β sin ( α θ ) sin θ cos α cos θ sin α \alpha \theta \beta\\ \cos \beta cos(\alpha\theta)\cos \theta \cos \alpha-\sin \theta \sin \alpha\\ \sin \beta\sin(\alpha\theta)\sin \theta \cos \alpha\cos \theta \sin \alpha αθβcosβcos(αθ)cosθcosα−sinθsinαsinβsin(αθ)sinθcosαcosθsinα 换成矩阵的形式 [ cos β sin β ] [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ cos α sin α ] \begin{bmatrix} \cos \beta\\ \sin \beta\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta -\sin \theta\\ \sin \theta \cos \theta\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha\\ \sin \alpha\\ \end{bmatrix} [cosβsinβ][cosθsinθ−sinθcosθ][cosαsinα] 等式两边同乘向量的模长得到旋转后的坐标 [ cos β sin β ] [ r ] [ r cos β r sin β ] [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ cos α sin α ] [ r ] [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ r cos α r sin α ] \begin{bmatrix} \cos \beta\\ \sin \beta\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r \end{bmatrix}\begin{bmatrix} r\cos \beta\\ r\sin \beta\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta -\sin \theta\\ \sin \theta \cos \theta\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha\\ \sin \alpha\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} \cos \theta -\sin \theta\\ \sin \theta \cos \theta\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r\cos \alpha\\ r\sin \alpha\\ \end{bmatrix} [cosβsinβ][r][rcosβrsinβ][cosθsinθ−sinθcosθ][cosαsinα][r][cosθsinθ−sinθcosθ][rcosαrsinα] 整理后得到旋转后坐标与旋转前坐标关系 [ x ′ y ′ ] [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ x y ] \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta -\sin \theta\\ \sin \theta \cos \theta\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ \end{bmatrix} [x′y′][cosθsinθ−sinθcosθ][xy] 所以旋转矩阵为 t r a n s ( θ ) [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] trans(\theta)\begin{bmatrix} \cos \theta -\sin \theta\\ \sin \theta \cos \theta\\ \end{bmatrix} trans(θ)[cosθsinθ−sinθcosθ]
