公司设计网站需要注意哪些,秦皇岛app开发公司,云匠网要交钱才能用吗,百度推广每年600元什么费用目录 对角化矩阵 Diagonalizing a matrix S−1AS Λ矩阵的幂 Powers of A重特征值 Repeated eigenvalues差分方程 Difference equations u k 1 u_{k1} uk1A u k u_k uk斐波那契数列 Fibonacci sequence 本讲中将学习如何对角化含有 n 个线性无关特征向量的矩阵#xff… 目录 对角化矩阵 Diagonalizing a matrix S−1AS Λ矩阵的幂 Powers of A重特征值 Repeated eigenvalues差分方程 Difference equations u k 1 u_{k1} uk1A u k u_k uk斐波那契数列 Fibonacci sequence 本讲中将学习如何对角化含有 n 个线性无关特征向量的矩阵以及对角化是怎样简化计算的。 对角化矩阵 Diagonalizing a matrix S−1AS Λ
如果矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量将它们作为列向量可以组成一个可逆方阵 S并且有 这里的矩阵 Λ 为对角阵它的非零元素就是矩阵 A 的特征值。因为矩阵 S 中的列向量线性无关因此逆矩阵 S-1存在。在等式两侧左乘逆矩阵得到 S-1ASΛ。同样地ASΛS-1。
对于消元法而言矩阵有 LU 分解对于施密特正交法矩阵有 QR 分解而上面的推导是一种新的矩阵分解。
矩阵的幂 Powers of A
特征值给矩阵的幂计算提供了方法。 如果 Axλx则有 A 2 A^2 A2xλAx λ 2 λ^2 λ2x。说明矩阵 A 2 A^2 A2 有着和 A 一样的特征向量而特征值为 λ 2 λ^2 λ2。我们将写成对角化形式则有 A 2 A^2 A2SΛ S − 1 S^{-1} S−1SΛ S − 1 S^{-1} S−1S Λ 2 Λ^2 Λ2 S − 1 S^{-1} S−1。做相同的处理还可以得到 A k A^k Ak S Λ k Λ^k Λk S − 1 S^{-1} S−1。这说明 A k A^k Ak 有着和 A 一样的特征向量而特征值为 λ k λ^k λk。
如果矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量如果所有的特征值均满足 ∣ λ i ∣ \begin{vmatrix} λ_i \end{vmatrix} λi 1 。则 k→∞时 A k A^k Ak→0。
重特征值 Repeated eigenvalues
如果矩阵 A 没有重特征值则其一定具有 n 个线性无关的特征向量。 如果矩阵 A 有重特征值它有可能具有 n 个线性无关的特征向量也可能没有。比如单位阵的特征值为重特征值 1但是其具有 n 个线性无关的特征向量。
差分方程 Difference equations u k 1 u_{k1} uk1A u k u_k uk
从给定的一个向量 u0 出发我们可以通过对前一项乘以矩阵 A 得到下一项的方式得到一个向量序列 u k 1 u_{k1} uk1A u k u_k uk.
这里的 u k 1 u_{k1} uk1A u k u_k uk可以是一个一阶差分方程而 u k u_k uk A k u 0 A^ku_0 Aku0就是方程的解。但这种简洁形式并没有给出足够的信息我们需要通过特征向量和矩阵的幂运算给出真实解的结构。
斐波那契数列 Fibonacci sequence
斐波那契数列为 0,1,1,2,3,5,8,13……其通项公式为 Fk2Fk1Fk。求 F100 如果我们以矩阵的方式来理解数列则矩阵的特征值可以告诉我们数列中数值的增长速度。 为了凑成矩阵形式需要用一个比较巧妙的技巧。令 u k u_k uk [ a b ] \begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix} [ab] 则有 F k 2 F k 1 F k F k 1 F k 1 \begin{align*} F_{k2} F_{k1} F_{k}\\ F_{k1} F_{k1} \end{align*} Fk2Fk1FkFk1Fk1 写成矩阵形式为 u k 1 [ 1 1 1 0 ] u k u_{k1} \begin{bmatrix} 1 1 \\ 1 0 \end{bmatrix} u_k uk1[1110]uk 观察矩阵 A [ 1 1 1 0 ] \begin{bmatrix} 1 1\\ 1 0 \end{bmatrix} [1110]的特征值和特征向量因为其为对称矩阵特征值为实数且特征向量正交。
