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在二项分布这篇文章中我们曾以抛硬币举例#xff1a;在一次抛硬币实验中结果只有两种情况#xff0c;正面或反面向上#xff1b;在 n n n 次抛硬币实验中#xff0c;正面向上出现 k k k 次的有 C n k n ! k ! ( n − k ) ! C_{n}^k{n!…多项式分布是二项式分布的推广。
在二项分布这篇文章中我们曾以抛硬币举例在一次抛硬币实验中结果只有两种情况正面或反面向上在 n n n 次抛硬币实验中正面向上出现 k k k 次的有 C n k n ! k ! ( n − k ) ! C_{n}^k{n!\over{k!(n-k)!}} Cnkk!(n−k)!n! 种可能概率表示为 P ( X k ) ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k P(Xk)\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} P(Xk)(kn)pk(1−p)n−k
其中 k 0 , 1 , . . . , n , ( n k ) C n k n ! k ! ( n − k ) ! k0,1,...,n \ , \ \binom{n}{k}C_{n}^k{n!\over{k!(n-k)!}} k0,1,...,n , (kn)Cnkk!(n−k)!n!
如果在一次实验中可能出现的结果不像硬币那样只有两种情况比如掷一次骰子就可能出现六种结果。
假设掷了n次骰子记 X 1 、 X 2 、 . . . 、 X 6 X_1 \ 、X_2 \ 、... 、 X_6 X1 、X2 、...、X6 分别表示每次掷骰子的点数1到6
记n次中点数1出现的次数为 x 1 x_1 x1点数为2出现的次数为 x 2 x_2 x2以此类推则点数为1到6出现的次数为 x i x_i xi ( i 1 , 2 , . . . 6 ) (i1,2,...6) (i1,2,...6) 且 x 1 x 2 . . . x 6 n x_1x_2...x_6n x1x2...x6n
记n次中点数1出现 x 1 x_1 x1 次的概率为 p i p_i pi 且 p 1 p 2 . . . p 6 1 p_1p_2...p_61 p1p2...p61 。
在这n次实验中点数1出现 x 1 x_1 x1 次的情况有 C n x 1 n ! x 1 ! ( n − x 1 ) ! C_{n}^{x_1}{n!\over{x1!(n-x1)!}} Cnx1x1!(n−x1)!n! 种可能然后在这个前提下点数2出现 x 2 x_2 x2 次会有多少种情况
因为在n次实验结果中已经有 x 1 x_1 x1 次实验结果是点数1了所以只能在剩下的未知的 n − x 1 n-x_1 n−x1 次实验中看点数2出现 x 2 x_2 x2 次的情况有多少种这个很简单就是 C n − x 1 x 2 ( n − x 1 ) ! x 2 ! ( n − x 1 − x 2 ) ! C_{n-x_1}^{x_2}{(n-x_1)!\over{x_2!(n-x_1-x_2)!}} Cn−x1x2x2!(n−x1−x2)!(n−x1)! 个可能情况根据乘法原理可得在点数1出现 x 1 x_1 x1 次、同时点数2出现 x 2 x_2 x2 次的情况共有 ( n x 1 ) ( n − x 1 x 2 ) C n x 1 C n − x 1 x 2 n ! x 1 ! ( n − x 1 ) ! ( n − x 1 ) ! x 2 ! ( n − x 1 − x 2 ) ! n ! x 1 ! x 2 ! ( n − x 1 − x 2 ) ! \binom{n}{x_1}\binom{n-x_1}{x_2}C_{n}^{x_1}C_{n-x_1}^{x_2}{n!\over{x_1!(n-x_1)!}}{(n-x_1)!\over{x_2!(n-x_1-x_2)!}}{n!\over{x_1!x_2!(n-x_1-x_2)!}} (x1n)(x2n−x1)Cnx1Cn−x1x2x1!(n−x1)!n!x2!(n−x1−x2)!(n−x1)!x1!x2!(n−x1−x2)!n!
由此可知在n次实验中点数为1到6出现的次数分别为 x i x_i xi 的情况共有 n ! x 1 ! x 2 ! . . . x 6 ! {n!\over{x_1!x_2!...x_6!}} x1!x2!...x6!n! 种。
概率可表示为 P ( X 1 x 1 , X 2 x 2 , . . . , X 6 x 6 ) n ! x 1 ! x 2 ! . . . x 6 ! p 1 x 1 p 2 x 2 . . . p 6 x 6 P(X_1x_1,X_2x_2,...,X_6x_6){n!\over{x_1!x_2!...x_6!}}p_1^{x_1}p_2^{x_2}...p_6^{x_6} P(X1x1,X2x2,...,X6x6)x1!x2!...x6!n!p1x1p2x2...p6x6
可以从6种情况推广到 k k k 种 设 n n n 、 k k k 是正整数并设 p ∈ [ 0 , 1 ] p∈[0,1] p∈[0,1] 。如果随机变量 X X X 满足 P ( X 1 x 1 , X 2 x 2 , . . . , X k x k ) n ! x 1 ! x 2 ! . . . x k ! p 1 x 1 p 2 x 2 . . . p k x k n ! ∏ i 1 K x i ! ∏ i 1 K p i x i ( 1 ) P(X_1x_1,X_2x_2,...,X_kx_k){n!\over{x_1!x_2!...x_k!}}p_1^{x_1}p_2^{x_2}...p_k^{x_k}{n!\over{\prod_{i1}^{K}x_i!}}\prod_{i1}^{K}p_i^{x_i} \ \ \ \ \ (1) P(X1x1,X2x2,...,Xkxk)x1!x2!...xk!n!p1x1p2x2...pkxk∏i1Kxi!n!∏i1Kpixi (1)
且 ∑ 1 k x i n \sum_1^kx_in ∑1kxin 、 ∑ 1 k p i 1 \sum_1^kp_i1 ∑1kpi1
那么称 X X X 服从多项式分布 M ( n , p 1 , p 2 , . . . , p k ) M(n,p_1,p_2,...,p_k) M(n,p1,p2,...,pk) X X X 的期望 E ( x i ) n p i E(x_i)np_i E(xi)npi 方差为 D ( x i ) n p i ( 1 − p i ) D(x_i)np_i(1-p_i) D(xi)npi(1−pi) 。
式 ( 1 ) (1) (1) 其实就是多项式分布的概率质量函数。
