网站可信认证多少钱,wordpress 单本,罗湖、龙华、龙岗最新通告,王野天女明星目录
一. 幺模矩阵
二. Gram-Schmidt 正交化
三. 矩阵分解
四. 格基本区
五. 对偶格基
六. 矩阵伪逆
七. 正定矩阵
八. 矩阵转置
九. 奇异值分解#xff08;SVD分解#xff09; 格密码中格基是矩阵#xff0c;格点是向量。本文章梳理一些格密码常用到的一些线性代数…目录
一. 幺模矩阵
二. Gram-Schmidt 正交化
三. 矩阵分解
四. 格基本区
五. 对偶格基
六. 矩阵伪逆
七. 正定矩阵
八. 矩阵转置
九. 奇异值分解SVD分解 格密码中格基是矩阵格点是向量。本文章梳理一些格密码常用到的一些线性代数的知识点。 一. 幺模矩阵
对格基乘以整数幺模矩阵会得到新的格基该格基形成的格点与原来的格点一样。幺模矩阵满足。幺模矩阵的逆依旧为幺模矩阵。 二. Gram-Schmidt 正交化
将格基的一列看成一个向量也就是。假定Gram-Schmidt 正交化是按顺序进行的正交化后记作可以将看成向量的分量。对格密码而言最重要的性质则是与垂直。 三. 矩阵分解
对格基矩阵V可作如下分解 其中为正交阵为对角阵对角线的值均大于等于0,为上三角矩阵且对角线元素的值均为1。
通常格基中的向量都是线性独立的所以根据线性代数的基础我们知道这种分解也是唯一的。而且Gram-Schmidt 正交化后向量的长度与矩阵D对角线元素的值是有关系的也就是其中为矩阵D对角线元素的值。 四. 格基本区
给定任意格基可形成格基本区。如果把该基本区进行平移让原点处于该基本区的中心也就是所谓的origin-centered parallelepiped如下 五. 对偶格基
原格基为对偶格基为利用如何公式可计算对偶格基 通俗来讲就是先对格基求逆再转置就是对偶格的格基。整个过程非常丝滑。
其实对偶格Gram-Schmidt 正交化的结果与原来格基也有关系先上结论 其实就是向量长度互为倒数如下 六. 矩阵伪逆
有些方阵不能直接求逆这个时候就需要利用伪逆有的时候也叫Moore-Penrose伪逆,为方便后续解释暂时记为。原矩阵和伪逆矩阵需要满足 反过来也经常利用 需要注意的是不等于单位阵但是与互为对称矩阵其实就是转置相等。
在格密码中矩阵和伪逆矩阵的空间是不变的也就是 七. 正定矩阵
给定一个对称矩阵对任意向量都满足如下不等式 则称该矩阵为正定矩阵(positive definite)通常记为
当然如果不等式改为 则称该矩阵为半正定矩阵记为
实际上正定矩阵一定可以求逆并且逆矩阵也为正定矩阵也就是。
但是半正定矩阵不一定可以求逆只能求伪逆其伪逆也为半正定矩阵也就是。
在格密码论文中如果看到其实是想表达两个矩阵相减为正定矩阵。这个结论换成半正定矩阵也是成立的。另外如果原矩阵满足这种不等关系逆矩阵也有类似的结论。换句话说如果可得。 八. 矩阵转置
“七”中谈到的对称矩阵有一个非常简单的实现方式。给定任意矩阵将该矩阵的转置乘以本身得到新的矩阵则为对称矩阵。也就是。另外其实很好证明这个矩阵则是一个半正定矩阵因为 当然熟悉线代的小伙伴都知道以上运算要求矩阵B非奇异(nonsingular)。
这个结论可以反推。如果已知某矩阵那么该矩阵存在平方根也就是。根据半正定矩阵的性质任意都存在平方根而且求平方根的过程多项式时间复杂度内可以解决比如Cholesky分解法。 九. 奇异值分解SVD分解
奇异值分解英语为singular value decomposition经常在格密码中简称为SVD分解。奇异值分解主要是给非方阵准备的对任意矩阵可以作如下分解 其中均为正交矩阵为对角阵。对角线上的值通常以降序排列并且每个值均大于等于0。其实实际上对角线上的值就是矩阵B的奇异值。如果想求最大的奇异值通常利用如下 其中,u为任意单位向量。
