给公司做网站 图片倾权,网络推广和运营的区别,网站怎么上传,毕业设计做网站用什么软件线性代数-从空间中理解总结向量线性组合空间的基 Basis张成的空间 Span线性相关和线性无关向量空间的一组基变换线性变换数值描述线性变换复合变换行列式矩阵的用途线性方程组逆矩阵列空间零空间秩非方阵基变换基变换矩阵特征向量 特征值特征基关于坐标总结
空间中不共线的两个…
线性代数-从空间中理解总结向量线性组合空间的基 Basis张成的空间 Span线性相关和线性无关向量空间的一组基变换线性变换数值描述线性变换复合变换行列式矩阵的用途线性方程组逆矩阵列空间零空间秩非方阵基变换基变换矩阵特征向量 特征值特征基关于坐标总结
空间中不共线的两个不为零向量都可以表示空间中的任意一个向量。但是这种向量太多了我们选一个特殊点的i[1 0]和j[0 1]作为单位向量i和j的拉伸与相加可以组成笛卡尔坐标系中的任意一个向量。给定向量基线性组合的向量的集合被称为给定向量基张成的空间。第三个向量u落在前两个向量v和w张成的空间中。那这些向量线性相关也就是说向量没有给张成的空间增加新的维度。如果向量线性无关比如w张成的空间是一维的向量v不落在w张成的空间中那么v和w张成的空间就变成了二维平面向量给张成的空间增加了新的维度。可见向量空间的一组基是张成该空间的线性无关向量的集合。变换也就相当于函数接收内容输出结果。对于线性变换可以理解为直线在变换后仍然保持为直线不能有所弯曲而且原点必须保持固定。可以用矩阵描述线性变换将变换后的基向量坐标分别写到矩阵的每一列。一个v向量乘以矩阵可以得到变换后的v而且可以根据变换后的i和j推断出来v的位置。如果说两个矩阵相乘那么也就是进行了一次复合变换。线性变换将空间拉伸或挤压想要测量变换对空间有多少拉伸或挤压那么我们就可以求矩阵的行列式也就是线性变换改变面积的比例。矩阵的列是基向量变换后的位置变换后基向量张成的空间就是所有可能的变换结果。经过一个变换空间被压缩到低维就导致一系列向量变换后成为零向量。变换后落在原点的向量的集合叫做矩阵的零空间。秩也就是变换后空间的维度也就是矩阵的列张成的空间的维度。空间中同一个向量可以用不同语言描述区别就在于坐标系选取的不同。坐标描述依赖于所选的基向量。如果说使用不同的基向量描述同一个东西描述的形式是不同的。那么如何在不同坐标系之间进行转化可以用笛卡尔坐标系的语言表达别的坐标系的的基向量。以笛卡尔坐标系语言描述的别的坐标系的基向量作为列形成一个基变换矩阵。通过这个矩阵可以将别的坐标系语言描述的向量转换成笛卡尔坐标系语言描述的向量。一个线性变换作用于一个向量大部分向量在变换中都离开了它原来张成的空间但还有一些特殊的向量仍然留在他们张成的空间里这意味着矩阵对它的作用仅仅是拉伸或压缩这些特殊向量就被称为变换的特征向量特征值也就是特征向量在变换中拉伸或压缩的比例。如果变换有许多特征向量多到能张成全空间那就可以变换坐标系使这些特征向量就是基向量。在另一个坐标系中表达当前坐标系描述的变换首先通过基变换矩阵用我们的语言描述另一个坐标系中的基向量然后左乘线性变换矩阵用我们的语言描述线性变换然后再左乘基变换矩阵的逆得到用另一个坐标系语言描述的线性变换。最终得到的变换是从新基向量所构成的坐标系角度看的。特征向量作为基向量的到的新的矩阵是对角的并且对角元为对应的特征值因为它所处坐标系的基向量在变换中只进行了缩放。
线性代数远不止这些空间中直观的运用在模糊控制领域同样用到了矩阵只不过那里面矩阵的运算变成了取交集、并集。空间中理解线性代数是片面的但有助于更好的认知。
向量
数学角度
向量可以是任何东西只需要保证两个向量相加及数字与向量相乘是有意义的即可。
物理角度
向量是空间中的箭头、决定一个向量的是它的长度和它所指的方向。
计算机角度
向量是有序的数字列表、向量的维度等于“列表”的长度。
坐标系
把向量至于坐标系中坐标正负表示方向原点为起点可完美把两个不同的角度融合
向量加法
物理首尾相连 Motion
计算机坐标相加。 向量乘法
物理缩放 Scaling
计算机坐标和比例相乘。
函数也是向量: (fg)(x)f(x)g(x)(2f)(x)2f(x)(fg)(x) f(x)g(x)\\(2f)(x) 2f(x) (fg)(x)f(x)g(x)(2f)(x)2f(x) 函数相加、相乘和向量对应坐标相加、相乘很相似只不过它有无穷多个坐标要相加、相乘。
函数的线性变换 ddxL(19x3)13x2−1\frac{d}{dx}L(\frac{1}{9}x^{3})\frac{1}{3}x^{2}-1 dxdL(91x3)31x2−1 线性的定义满足以下两条性质。 L(v⃗w⃗)L(v⃗)L(w⃗)L(cv⃗)cL(v⃗)L(\vec v\vec w)L(\vec v)L(\vec w)\\ L(c\vec v)cL(\vec v) L(vw)L(v)L(w)L(cv)cL(v) 用矩阵表示求导
当前空间全体多项式。
给空间赋予坐标含义取一个基取x的不同次幂作为基函数基函数集无穷大。 怎么构建变换矩阵
求每一个基函数的导数把结果放在对应列。
向量空间
让所有已经建立好的理论和概念适用于一个向量空间必须满足八条公理。
线性组合
空间中不共线的两个不为零向量都可以表示空间中的任意一个向量。 av⃗bw⃗a \mathbf{\vec v} b \mathbf{\vec w} avbw 线性如果你固定其中一个标量让另一个标量自由变化所产生的向量终点会描出一条直线。 空间的基 Basis
笛卡尔坐标系有一个最直观一组基 {ı^,ȷ^}\{{\hat {\imath}} ,{\hat {\jmath}} \} {ı^,ȷ^} 即单位向量 ı^(1,0){\hat {\imath}}(1,0) ı^(1,0)
ȷ^(0,1)\hat {\jmath} (0,1) ȷ^(0,1)
通过i和j的拉伸与相加可以组成笛卡尔坐标系中的任意一个向量。
张成的空间 Span
给定向量基线性组合的向量的集合被称为给定向量基张成的空间。
举个例子v与w全部线性组合构成的向量集合叫做张成的空间。(a与b在实数范围内变动) av⃗bw⃗a \mathbf{\vec v} b \mathbf{\vec w} avbw 仅通过向量加法和向量数乘两种计算能获得所有可能向量的集合。
线性相关和线性无关
举个例子
第三个向量u落在前两个向量v和w张成的空间中。那这些向量线性相关。 u⃗av⃗bw⃗\mathbf{\vec u} a \mathbf{\vec v} b \mathbf{\vec w} uavbw
如果说向量给张成的空间增加了新的维度那这些向量线性无关。
举个例子
w张成的空间是一维的。
向量v不落在w张成的空间中那么v和w张成的空间就变成了二维平面。 v⃗≠bw⃗av⃗bw⃗\mathbf{\vec v} \neq b \mathbf{\vec w} \\ a \mathbf{\vec v} b \mathbf{\vec w} vbwavbw
向量空间的一组基
向量空间的一组基是张成该空间的 线性无关向量 的集合。
变换
变换也就相当于函数接收内容输出结果
线性变换
直线在变换后仍然保持为直线不能有所弯曲。
原点必须保持固定。
保持网格线平行且等距分布的变换。 数值描述线性变换
如果i和j没有进行变换那么v也没有变换。 [1001][xy][xy]\begin{bmatrix} \color{green}1\color{red}0 \\ \color{green}0\color{red}1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} [1001][xy][xy]
绿色代表i变换后的向量红色代表j变换后的向量。
可以根据变换后的i和j推断变换后的v。 [abcd][xy]x[ac]y[bd]⏟直观的部分这里[axbycxdy]\begin{bmatrix} \color{green}{a}\color{red}b \\ \color{green}c\color{red}d \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} \underbrace{x \begin{bmatrix}\color{green}a\\\color{green}c \end{bmatrix} y \begin{bmatrix} \color{red}b\\\color{red}d\end{bmatrix}}_{\text{直观的部分这里}} \begin{bmatrix} \color{green}{a}\color{black}{x}\color{red}{b}\color{black}{y}\\\color{green}{c}\color{black}{x}\color{red}{d}\color{black}{y}\end{bmatrix} [acbd][xy]直观的部分这里x[ac]y[bd][axbycxdy]
矩阵一种描述线性变换的语言。
复合变换
对一个向量先进行一次旋转变换再进行一次剪切变换。 求一个复合矩阵 行列式
线性变换将空间拉伸或挤压。
想要测量变换对空间有多少拉伸或挤压可以测量一个给定区域面积增大/减小的比例。
因为网格线保持平行且等距分布只需知道单位正方形变化的比例就可知其它任意区域面积变换的比例。
变换的行列式也就是线性变换改变面积的比例。 正负表达的是方向j起始状态在i的左侧如果经过变换变为j在i的右侧就添加负号。
只要检验一个矩阵行列式是否为0就能了解矩阵代表的变换是否将空间压缩到更小维度上。
行列式计算 矩阵的用途
描述对空间的操作。
解线性方程组。
线性方程组
一般形式 Ax⃗v⃗\mathbf A \mathbf{\vec x} \mathbf{\vec v} Axv
如果这个方程组成立也就意味着x经过A矩阵变换后落在v上。 如果说矩阵行列式为0也就是说空间降维了。
举个例子二维矩阵行列式为0那么x经过这个矩阵变换降维了成了一条直线这个直线和v共线的话线性方程组才有可能有解。
逆矩阵
已经变换过的i和j通过逆矩阵变换能够变回原来的i和j。 逆矩阵乘原矩阵等于恒等变换。 AA−1I\mathbf A \mathbf A^{-1} \mathbf I AA−1I
列空间
矩阵的列基向量变换后的位置。
变换后基向量张成的空间就是所有可能的变换结果。
列空间矩阵的列 张成的空间。
举个例子下图列空间是个一维的。 零空间
经过一个变换空间被压缩到低维就导致一系列向量变换后成为零向量。
举个例子看下图第一个二维降到一维的和这个直线不同方向上所有向量被压缩到原点。
变换后落在原点的向量的集合叫做矩阵的零空间。 秩
秩变换后空间的维度也就是矩阵的列 张成的空间的维度。
举个例子
矩阵秩为1经过这一矩阵的变换后向量落在一条直线上。
秩为2变换后向量落在二维平面上。
非方阵
举个例子 [20−11−21]\begin{bmatrix} 20 \\ -11\\ -21 \end{bmatrix} ⎣⎡2−1−2011⎦⎤ 上面这个矩阵列空间是三维空间中过原点的二维平面。
两列意味着输入空间有两个基向量三行说明每个基向量变换后用三个独立的坐标描述。
通过这个矩阵能做到输入二维向量输出三维向量。
基变换
我们一般用的基向量是相互垂直长度为1 的i和j分别指向上方和右方
如果说使用不同的基向量。
举个例子
火星人使用的基向量为b1和b2分别指向右上方和左上方。
黄箭头向量用我们地球人使用的基向量表示如下 但是用火星人使用的基向量表示如下 注意这个黄箭头在空间里面没动由于基向量不同这个黄箭头的表示也不同。
也就是说向量[-1 2]在火星人眼里是这样的 向量[-1 2]在地球人眼里是这样 也就是说同样的描述未必就是一个东西。
在地球人的眼中火星人的基向量 但是在火星人的坐标系中他们的基向量 空间中同一个向量可以用不同语言描述。 火星人和地球人坐标原点重合。坐标轴的方向和网格间距和地球人有所不同这依赖于火星人对基的选择。
如何在不同坐标系之间进行转化
举个例子
火星人用[-1 2]表示一个向量那么这个向量在地球人的坐标系中该如何描述。 地球人的坐标系中b2[-1 1] b1[2 1] 在地球人的坐标系中可以这么表示这个向量 −1[21]2[−11][−41]-1\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} 2\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \end{bmatrix} −1[21]2[−11][−41] 也就是说: [2−111][12][−41]\begin{bmatrix} 2-1 \\ 11 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \end{bmatrix} [21−11][12][−41] 矩阵的列就是用地球人的语言表达火星人的基向量。
最后实现了把火星人认为的[-1 2]这个向量转换成我们认为的[-4 1]这个向量。这个向量在空间中是没有变动的只不过我们在不同的参考系下看到的这个向量是不同的。
基变换矩阵
[2−111]\begin{bmatrix} 2-1 \\ 11 \end{bmatrix} [21−11]
以火星人的基向量作为列的基变换矩阵。这个基向量是用地球人的坐标描述的。
通过这个矩阵可以将火星人语言描述的[-1 2]转换成地球人的语言描述也就是[-4 1]。
现在反过来
地球人坐标系中一个向量是[3 2]那么这个向量在火星人坐标系中是如何表示的
通过求基变换矩阵的逆: [2−111]−1[1/31/3−1/32/3]\begin{bmatrix} 2-1 \\ 11 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 1/31/3 \\ -1/32/3 \end{bmatrix} [21−11]−1[1/3−1/31/32/3] 用这个基变换矩阵的逆乘以[3 2]就可以知道用火星人语言描述的相同向量。 [1/31/3−1/32/3][32][5/31/3]\begin{bmatrix} 1/31/3 \\ -1/32/3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5/3 \\ 1/3 \end{bmatrix} [1/3−1/31/32/3][32][5/31/3] 以上就是在坐标系之间对单个向量的描述进行相互转化。
对于一个线性变换比如逆时针旋转90度用矩阵代表它的时候是在跟踪i和j的去向。
i变换后的坐标是[0 1],j变换后的坐标是[-1 0]这些坐标成为矩阵的列。 [0−110]\begin{bmatrix} 0-1 \\ 10 \end{bmatrix} [01−10] 这种表示与我们对基向量的选择相关。跟踪我们所选的i和j并且在我们自己的坐标系中记录他们的去向。
那么火星人该如何描述空间90度旋转。 火星人想要的矩阵需要代表它的基向量的去向。
火星人语言描述的向量 [−12]\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} [−12] 用基变换矩阵转换成我们的语言用地球人的语言去描述这个向量
矩阵的列指的是用我们的语言描述火星人的基向量。 [2−111][−12]\begin{bmatrix} 2-1 \\ 11 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} [21−11][−12] 左乘线性变换矩阵
给出的是用我们的语言描述的线性变换后的向量。 [0−110][2−111][−12]\begin{bmatrix} 0-1 \\ 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2-1 \\ 11 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} [01−10][21−11][−12] 左乘基变换矩阵的逆
得到用火星人语言描述的变换后的向量。 [2−111]−1[0−110][2−111][−12]\begin{bmatrix} 2-1 \\ 11 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 0-1 \\ 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2-1 \\ 11 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} [21−11]−1[01−10][21−11][−12] 也就是说三个矩阵复合给出火星人语言描述的线性变换矩阵。
这个矩阵接收火星人语言描述的向量输出火星人语言描述的变换后的向量。 [2−111]−1[0−110][2−111]v⃗\begin{bmatrix} 2-1 \\ 11 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 0-1 \\ 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2-1 \\ 11 \end{bmatrix} \mathbf{\vec v} [21−11]−1[01−10][21−11]v v乘以这个矩阵结果就是在火星人的坐标系中让v旋转90度。
下面这个表达式暗示一种数学上的转移作用。中间的矩阵M代表我们所见到的变换外侧两个矩阵代表转移作用视角上的变化。 A−1MAA^{-1}MA A−1MA 三个矩阵乘积也就是从他人角度看的同一个变换。
特征向量 特征值
对于一个线性变换 [3102]\begin{bmatrix} 31 \\ 02 \end{bmatrix} [3012] 让它作用于一个向量。
大部分向量在变换中都离开了它原来张成的空间。以下图左侧为例离开了它原来所在的那条直线。
但是还有一些特殊向量仍然留在他们张成的空间里如下图右侧。 一个向量经过矩阵的变换仍然留在他们张成的空间意味着矩阵对它的作用仅仅是拉伸或压缩它就像一个标量。
对于上面那个线性变换基向量i就是这样一个特殊的向量i张成的空间是x轴经过变换i变成了三倍仍然留在x轴。
而且x轴上任何其它向量也是被拉伸为原来3倍。
向量[-1 1]在变换后也留在自己张成的空间最终被拉伸为原来的2倍。处在[-1 1]所在直线上其他任何一个向量也是被拉伸为原来的2倍。 对上述线性变换而言以上就是经过这一线性变换仍然留在他们张成空间里的向量。一个是x轴上的向量另一个是[-1 1]所在对角线上的向量。
这些特殊向量就被称为变换的特征向量。
特征值特征向量在变换中拉伸或压缩的比例。
特征值为负数经过矩阵的线性变换这个特征值对应的特征向量被反向。
如果说把矩阵的列看做变换后的基向量他们这个矩阵就是个基变换矩阵。
可以由下图发现经过基变换矩阵特征向量仍然在它原来张成的空间里位置没发生变动。 用符号表示特征值和特征向量 Av⃗λv⃗\mathbf A \mathbf{\vec v} \lambda \mathbf{\vec v} Avλv A代表某个变换的矩阵v是特征向量λ是特征向量的特征值。 Av⃗−(λI)v⃗0⃗\mathbf A \mathbf{\vec v}- (\lambda I)\mathbf{\vec v} \mathbf{\vec 0} Av−(λI)v0 转换成v与新矩阵相乘结果为零向量。 (A−λI)v⃗0⃗(\mathbf A - \lambda I)\mathbf{\vec v} \mathbf{\vec 0} (A−λI)v0 当这个新矩阵代表的变换将空间压缩到低维度才存在非零向量v使矩阵和它的乘积为0向量。 如上图向量经过变换后压缩到原点成为零向量。 可以找使矩阵的行列式为0的λ。矩阵行列式为0表示变换将空间压缩到低维度。
上图λ1时这个矩阵将空间压缩到一条直线上也就是说存在非零向量v通过这个矩阵变成零向量。 (A−λI)v⃗0⃗(\mathbf A - \lambda I)\mathbf{\vec v} \mathbf{\vec 0} (A−λI)v0
对于矩阵 [3102]\begin{bmatrix} 31 \\ 02 \end{bmatrix} [3012] 为了求特征值λ将对角元减去λ当矩阵的行列式为零时λ才会是特征值然后推断出可能的λ。 det([3−λ102−λ])(3−λ)(2−λ)0det(\begin{bmatrix} 3-\lambda1 \\ 02-\lambda \end{bmatrix})(3-\lambda)(2-\lambda)0 det([3−λ012−λ])(3−λ)(2−λ)0 将λ的值带入矩阵中然后求解出经过这个矩阵变换后成为0的向量。 [3−2102−2][xy][00]\begin{bmatrix} 3-21 \\ 02-2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0\end{bmatrix} [3−2012−2][xy][00] 然后可以发现所有解全部落在向量[-1 1]张成的对角线上。
特征向量是不唯一的只有特征值唯一。
然后原始矩阵 [3102]\begin{bmatrix} 31 \\ 02 \end{bmatrix} [3012] 将特征向量拉伸为原来2倍。
二维线性变换不一定有特征向量如下矩阵实现90度旋转的变换。 [01−10]\begin{bmatrix} 01 \\ -10 \end{bmatrix} [0−110] 它没有特征向量因为每一个向量都发生旋转、离开它张成的空间。计算他的特征值发现没有实数解。
特征基
如果基向量是特征向量。
比如矩阵 [−1002]\begin{bmatrix} -10 \\ 02 \end{bmatrix} [−1002] 它的特征向量是i、j的话i的特征值就是-1j的特征值就是2。
对角矩阵除了对角元以外其他元素均为0的矩阵。
所有基向量都是特征向量矩阵的对角元是他们所属的特征值
对角矩阵多次与自己相乘结果更易计算。
如果变换有许多特征向量多到能张成全空间。
那就可以变换坐标系使这些特征向量就是基向量。
在另一个坐标系中表达当前坐标系描述的变换
首先通过基变换矩阵用我们的语言描述另一个坐标系中的基向量然后左乘线性变换矩阵用我们的语言描述线性变换然后再左乘基变换矩阵的逆得到用另一个坐标系语言描述的线性变换。最终得到的变换是从新基向量所构成的坐标系角度看的。
这个新矩阵是对角的并且对角元为对应的特征值。因为它所处坐标系的基向量在变换中只进行了缩放。 计算 [3102]100\begin{bmatrix} 31 \\ 02 \end{bmatrix}^{100} [3012]100 可以先变换到特征基在那个坐标系计算一百次幂然后转换回标准坐标系。
不是所有矩阵都能对角化就比如 [1101]\begin{bmatrix} 11 \\ 01 \end{bmatrix} [1011] 它的特征向量全在x轴上不能张成全空间。
关于坐标
我们所处的空间独立于坐标存在。
坐标描述依赖于所选的基向量。
行列式和特征向量与所选坐标系无关。
行列式变换对面积的缩放比例。
特征向量在变换中留在它所张成空间中的向量。
这两者暗含于空间中。自由选取坐标系也不会改变他们最根本的值。
一个线性变换可以通过它对基向量的作用来描述。
求一个向量变换后的结果实际上就是求出变换后的基向量以相同方式进行线性组合的结果。
参考3Blue1Brown 线性代数的本质
