靓号网建站,通州设计网站建设,品牌建设框架,免费企业网站 优帮云25保研er#xff0c;希望将自己的面试复习分享出来#xff0c;供大家参考 part0—英语类 part1—通信类 part2—信号类 part3—高数类 part100—self项目准备 文章目录线性代数知识点大全**1. 余子式与代数余子式****2. 行列式的含义****3. 矩阵的秩#xff08;Rank#xf…25保研er希望将自己的面试复习分享出来供大家参考 part0—英语类 part1—通信类 part2—信号类 part3—高数类 part100—self项目准备 文章目录线性代数知识点大全**1. 余子式与代数余子式****2. 行列式的含义****3. 矩阵的秩Rank****5. 线性方程组解的情况 / 判断是否有解的几种方法****6. 线性相关与线性无关****7. 线性空间向量空间****8. 向量空间的基与维数****9. 特征值与特征向量****11. 什么是向量正交什么是矩阵正交****12. 正交矩阵****13. 合同矩阵****14. 正定矩阵与半正定矩阵****15. 相似与对角化**面试出现过的真题【北航】矩阵的范数【北航】线性无关是什么【北航】矩阵的行列式【北航】矩阵的迹Trace【ALL】矩阵的秩Rank是什么有什么物理意义【北航】Ax b 有解的条件【北航】【复旦】矩阵的特征值是什么有什么物理意义应用【自动化所】【北航】线性空间向量空间【软件所】转置矩阵的几何意义【北航】正交矩阵【北航】矩阵求逆的方法【北航】什么时候 AB BA【自动化所】标准正交基施密特变换【东南】正定矩阵的判断方法常见面试题整理2线性代数1. 矩阵的秩的含义 基本概念 与向量组的关系 几何意义 与线性方程组的关系 与线性变换的关系2. 线性相关的含义 公式定义 几何意义3. 行列式的含义 基本概念 几何意义本质含义 与线性变换的关系4. 特征值与特征向量的关系 概念说明 重数关系线性代数知识点大全 1. 余子式与代数余子式 余子式minor 对于矩阵 AAA 的第 iii 行第 jjj 列元素 aija_{ij}aij去掉第 iii 行和第 jjj 列后所得的子矩阵的行列式记作 Mijdet(Aij)M_{ij} \text{det}(A_{ij}) Mijdet(Aij) 代数余子式cofactor Aij(−1)ijMijA_{ij} (-1)^{ij} M_{ij} Aij(−1)ijMij
✅ 常用于行列式展开、求逆等运算。 2. 行列式的含义
函数性质将 n×nn \times nn×n 方阵映射到实数。几何意义表示该矩阵对应线性变换的体积缩放因子绝对值和方向符号。代数意义等于矩阵所有特征值的乘积。行列式为 0矩阵不可逆向量线性相关。
✅ 面试常问“行列式为什么可以判断可逆性”、“为什么是特征值乘积” 3. 矩阵的秩Rank
一个矩阵非零行向量的最大数目或者线性无关列/行的最大数目。表示向量组张成空间的维度。决定线性方程组是否有唯一解、有无穷解或无解。
✅ 常见考点秩与解空间维度之间的关系。 5. 线性方程组解的情况 / 判断是否有解的几种方法 设增广矩阵为 (A∣b)(A|b)(A∣b) 有解的判定标准 rank(A)rank(A∣b)\text{rank}(A) \text{rank}(A|b) rank(A)rank(A∣b) 解的分类 若等于未知数个数 ⇒ 唯一解若小于未知数个数 ⇒ 无穷多解若不等 ⇒ 无解
✅ 面试高频提问一定要牢记判定标准。 6. 线性相关与线性无关 向量组 {v1,...,vn}\{v_1, ..., v_n\}{v1,...,vn} 中存在线性关系 c1v1⋯cnvn0c_1 v_1 \cdots c_n v_n 0 c1v1⋯cnvn0 若有非零解 ⇒ 线性相关否则 ⇒ 线性无关。
✅ 常问“如何判断向量组线性无关” 答行列式不为零或秩等于向量个数。 7. 线性空间向量空间
向量空间是一个集合满足向量加法与数乘的封闭性等 8 条运算公理。常见空间如Rn\mathbb{R}^nRn、矩阵空间、函数空间等。
✅ 面试常问“什么是向量空间能举一个非欧几里得空间的例子吗” 8. 向量空间的基与维数
基Basis一组线性无关且张满空间的向量。维数该空间基的向量个数记为 dimV\dim VdimV。
✅ 面试常问“基一定唯一吗”答不是基有无数组但维数唯一 9. 特征值与特征向量 对于矩阵 AAA若存在非零向量 vvv 和标量 λ\lambdaλ 使得 AvλvA v \lambda v Avλv 则称 λ\lambdaλ 为特征值vvv 为特征向量。 特征值 ⇒ 解特征方程 det(A−λI)0\det(A - \lambda I) 0det(A−λI)0
✅ 常考“对称矩阵的特征值性质”答实对称矩阵特征值一定实且可正交对角化 11. 什么是向量正交什么是矩阵正交
向量正交(α,β)0(\alpha, \beta) 0(α,β)0表示两向量垂直。矩阵正交A⊤AAA⊤IA^\top A AA^\top IA⊤AAA⊤I表示列向量两两正交且为单位向量。 12. 正交矩阵 满足A⊤AIA^\top A IA⊤AI 特点 行列互为正交单位组可逆且 A−1A⊤A^{-1} A^\topA−1A⊤保长、保角用于旋转/反射等变换
✅ 面试常问“正交矩阵乘向量会改变模长吗”答不会 13. 合同矩阵
若存在可逆矩阵 PPP使得 BP⊤APB P^\top A PBP⊤AP称 AAA 与 BBB 合同。合同矩阵之间保持惯性指数正负零特征值个数不变。
✅ 常考于二次型化简与惯性定理。 14. 正定矩阵与半正定矩阵 正定矩阵 对称矩阵 AAA若任意非零向量 xxx 都满足 x⊤Ax0x^\top A x 0 x⊤Ax0 半正定矩阵满足 x⊤Ax≥0x^\top A x \geq 0x⊤Ax≥0
✅ 常问“判断正定性的方法”
所有特征值为正 ⇔ 正定所有主子式 0 ⇔ 正定 15. 相似与对角化 相似similarity若存在可逆矩阵 PPP 使得 APBP−1A PBP^{-1} APBP−1 则 A∼BA \sim BA∼B相似矩阵有相同特征值 可对角化条件 存在一组线性无关特征向量亦即矩阵有 nnn 个线性无关特征向量 ⇔ 可对角化
✅ 面试常问“是否所有矩阵都可对角化”答不是比如有缺失特征向量的重根情形 面试出现过的真题
【北航】矩阵的范数 引入范数的目的是为了度量矩阵的“大小”或“长度”。 满足性质 正定性||A|| 0 当且仅当 A 是零矩阵齐次性||λA|| |λ|·||A||三角不等式||A B|| ≤ ||A|| ||B||乘积次乘性||AB|| ≤ ||A||·||B||对某些范数成立。
【北航】线性无关是什么
一组向量线性无关 ⇔ 没有一个可以被其他向量线性表示。只有当所有系数为 0 时线性组合为零向量。几何理解张成的几何体如平行四边形、六面体、超几何体体积不为 0。线性组合中每个项为一次项不含常数和向量乘向量。
【北航】矩阵的行列式
行列式几何意义广义平行四边形的体积。行列式为 0 ⇒ 映射使线性无关向量变成线性相关信息丢失 ⇒ 不可逆。行列式 ≠ 0 ⇒ 可逆。
【北航】矩阵的迹Trace
定义主对角线元素之和。线性算子的“压缩值”。
【ALL】矩阵的秩Rank是什么有什么物理意义 定义矩阵中线性无关行/列向量的最大数目。 方法找出最大的非零子式子矩阵行列式 ≠ 0。 物理意义线性变换后至少保留的维度数量保住了“多少个面”。 性质 rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}r(A) r(B) - n ≤ r(AB)矩阵满秩 ⇔ 可逆
【北航】Ax b 有解的条件 条件rank(A) rank(A|b) 几种情况 rank n ⇒ 唯一解rank n ⇒ 无穷解rank(A) ≠ rank(A|b) ⇒ 无解。 几何解释b 是否在 A 的列空间中。 Ax 0 若列满秩 ⇒ 仅有零解。
【北航】【复旦】矩阵的特征值是什么有什么物理意义应用
定义Ax λxλ 为特征值x 为特征向量。求法|λI - A| 0 ⇒ 特征多项式求解其根。几何理解变换后方向不变的向量。物理意义算子的“投影不变方向”所有特征向量正交 ⇒ 可对角化应用主成分分析PCA、系统稳定性分析等
【自动化所】【北航】线性空间向量空间 定义非空集合 V 对加法和数乘封闭满足八条运算公理 加法交换律加法结合律存在加法单位元零向量存在加法逆元数乘结合律数乘与加法分配律两种数乘的 1 元素 m 维线性空间存在 m 个线性无关向量作为一组基
【软件所】转置矩阵的几何意义
将行变为列、列变为行几何上类似于图像绕主对角线翻转如 45° 对称轴。
【北航】正交矩阵
定义AᵀA I列或行向量正交且为单位向量。特性|A| ±1A⁻¹ Aᵀ。几何意义旋转或反射不改变向量长度和夹角。可视为一种“换基”方式。
【北航】矩阵求逆的方法 方法 初等行变换法构造增广矩阵 [A | I]伴随矩阵法待定系数法小矩阵常用
【北航】什么时候 AB BA
A 与 B 可同时对角化 ⇒ 存在同一个可逆 P使得 P⁻¹AP 和 P⁻¹BP 都是对角矩阵。特殊情况A B一般矩阵乘法不满足交换律只有部分可交换。
【自动化所】标准正交基施密特变换
标准正交基两量正交的向量且长度为单位1 施密特变换求标准正交基的方法。
【东南】正定矩阵的判断方法
①若A正定则A的各阶顺序主子式均大于0 ②A的所有特征值均大于0。
未完待续 常见面试题整理2线性代数
1. 矩阵的秩的含义 基本概念
矩阵的秩矩阵中不为零的子式的最大阶数。对于行阶梯型矩阵秩等于其非零行的数量。 与向量组的关系
矩阵的秩 列向量组的秩 行向量组的秩。向量组的秩其极大线性无关组所含向量的个数。 几何意义
矩阵的行空间、列空间的维数 秩。表示该矩阵能在几何上张成的“空间维度”。 与线性方程组的关系 若 AAA 为 m×nm \times nm×n 矩阵秩为 rnr nrn 齐次方程 Ax0Ax 0Ax0 有 n−rn - rn−r 个基础解向量自由变量个数。 与线性变换的关系
秩 保持非零体积的最大维度。例一个秩为2的 3×33 \times 33×3 矩阵会将三维体压缩为二维面。 2. 线性相关的含义 公式定义 向量组 α1,α2,...,αm\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_mα1,α2,...,αm 线性相关 ⇔ 存在不全为零的 kik_iki 使得 k1α1k2α2⋯kmαm0k_1\alpha_1 k_2\alpha_2 \cdots k_m\alpha_m 0 k1α1k2α2⋯kmαm0 否则称线性无关。 几何意义 线性相关 ⇔ 向量张成的体积为 0。 线性无关的向量组 ⇒ 张成体积 ≠ 0 ⇒ 行列式 ≠ 0。 示例 二维空间两个共线向量张成的平行四边形面积为零。三维空间三个共面的向量张成的体积为零。NNN 维空间中任取 MNM NMN 个向量 ⇒ 必线性相关。 3. 行列式的含义 基本概念
行列式 所有从不同的行和列中取出的 nnn 个元素的乘积的加权和符号为排列奇偶性。 几何意义本质含义 行列式的绝对值 nnn 个向量张成的**nnn 维体积** 二阶 ⇒ 面积三阶 ⇒ 体积四阶及以上 ⇒ 超体积n维平行体 与线性变换的关系
行列式 ≠ 0变换后保持体积 ≠ 0 ⇒ 向量组保持线性无关 ⇒ 矩阵可逆。行列式 0变换后退化 ⇒ 向量组变为线性相关 ⇒ 矩阵不可逆。行列式为负除了体积变化还表示方向翻转。✅ 总结行列式反映线性变换是否保持向量组的独立性保真性。 4. 特征值与特征向量的关系 概念说明
一个特征值可对应多个特征向量但一个特征向量只对应一个特征值。不同特征值的特征向量组一定线性无关。 重数关系 若特征值 λ\lambdaλ 的代数重数为 kkk即在特征方程中是 kkk 重根 对应的线性无关特征向量最多有 lll 个满足 k≥l≥1k \geq l \geq 1 k≥l≥1 即代数重数 ≥ 几何重数。
