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前言
第三章 广义线性模型
习题3.18
a小题 b小题 c小题
d小题
习题3.19
a小题
b小题
c小题
第四章 Logistic回归
习题4.1
a小题
b小题
c小题
d小题
e小题
习题4.2
a小题
b小题
c小题 d小题 小结 前言 习题选自高等教育出版社译制#xff0c;Alan A…目录
前言
第三章 广义线性模型
习题3.18
a小题 b小题 c小题
d小题
习题3.19
a小题
b小题
c小题
第四章 Logistic回归
习题4.1
a小题
b小题
c小题
d小题
e小题
习题4.2
a小题
b小题
c小题 d小题 小结 前言 习题选自高等教育出版社译制Alan Agresti著的《属性数据分析引论(第二版)》中第三章广义线性模型、第四章Logistic回归中的课后习题。具体题目在文中给出。 本人目前是一位在读的应用统计学专业本科生这些题目是在课前进行的练习所给出的思路和答案可能有所错误欢迎大家批评指正。 第三章 广义线性模型
习题3.18 表3.8列出了英乙联赛一个赛季每支球队观赛总人数千人和被捕总人数.
表3.8 习题3.18关于足球队逮捕人数数据球队观众数逮捕数球队观众数逮捕数阿斯顿维拉404308什鲁斯伯里10868布拉德福城286197史云顿21067利兹联443184谢菲尔德联22460伯恩茅斯169149斯托克城21157西布朗维奇222132巴恩斯利16855汉德斯菲德150126米尔沃尔18544米德尔斯堡321110侯城15838伯明翰189101曼彻斯特城42935伊普斯维奇25899普利茅斯22629莱切斯特城22381雷丁15020布莱克本21179奥威14819水晶宫21578
a小题
令Y表示观赛总人数为t的球队被捕球迷人数。说明为什么模型E(Y)μt是可行的。它有等价形式log[E(Y)/t]α其中αlog(μ)给出带位移项的模型表达式。 题解本题的解释我并不确定正确 题目指出了计数响应Y(被捕球迷数)有指标t(总观众数)那么我们关心的是样本的比率Y/t 若设样本比率的期望值为μ即 那么两边同乘t便有模型 样本比率的对数模型应为 x是效应因子在本题中将每个球队的数据视作一次观测并无效应因子于是模型表示为与比较就可得出样本比率的期望值为常数的结论 可以给出带位移的模型表达式为 b小题
假设样本为泊松样本拟合模型。给出并解释。 题解 本题用R进行模型拟合先将表3.8的数据输入进Excel保存为csv文件以下是实现的代码 data3.8read.csv(table3.8.csv) #读取数据并对数据框进行一些处理rownames(data3.8)data3.8[,1]data3.8data3.8[,-1]colnames(data3.8)c(t,Y)head(data3.8) #展示数据框前6行
###t Y
阿斯顿维拉 404 308
布拉德福城 286 197
利兹联 443 184
伯恩茅斯 169 149
西布朗维奇 222 132
汉德斯菲德 150 126
###
#接着用glm()函数进行拟合offset表示位移项model3.8glm(Y~NULL,datadata3.8,familypoisson(linklog),offsetlog(t))summary(model3.8)
###
Call:
glm(formula Y ~ NULL, family poisson(link log), data data3.8, offset log(t))Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max
-12.789 -3.426 -0.938 3.079 10.137 Coefficients:Estimate Std. Error z value Pr(|z|)
(Intercept) -0.91028 0.02164 -42.07 2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)Null deviance: 669.45 on 22 degrees of freedom
Residual deviance: 669.45 on 22 degrees of freedom
AIC: 812.62Number of Fisher Scoring iterations: 5
### 从summary(model3.8)返回的模型摘要中可以获得根据计算得到 这表明被捕球迷数与总观众数的比率期望在0.4左右即被捕球迷数预计为总观众数的40% c小题
画出被捕人数与观众人数的散点图以及预测方程。利用残差区分比期望被捕人数更大和更小的球队。 题解 预测方程即为模型图像为直线R中可以通过abline()添加直线 attach(data3.8)muexp(model3.8$coe)plot(Y~t)abline(0,mu)在直线之上的是被捕人数大于期望值的球队在直线之下的是被捕人数小于期望值的球队可以通过残差的正负来判断也可以用以下命令可以返回被捕人数大于期望值和小于期望值的球队的队名这种方式和利用残差正负进行判断的方式是等价的 rownames(data3.8)[Ymu*t] #比期望值小在直线之下残差小于0的球队
###[1] 米德尔斯堡 伊普斯维奇 莱切斯特城 布莱克本 水晶宫 史云顿 [7] 谢菲尔德联 斯托克城 巴恩斯利 米尔沃尔 侯城 曼彻斯特城
[13] 普利茅斯 雷丁 奥威
###rownames(data3.8)[Ymu*t] #比期望值大在直线之上残差大于0的球队
###
[1] 阿斯顿维拉 布拉德福城 利兹联 伯恩茅斯 西布朗维奇 汉德斯菲德
[7] 伯明翰 什鲁斯伯里
###
d小题
用负二项分布拟合模型. 将及其SE与(b)中结果比较。基于这个信息和散布参数及其SE的估计值泊松假设合适吗 题解 负二项对数模型用MASS包内的glm.nb()函数不采用glm()进行负二项对数拟合的原因是我们暂不知晓样本的散布参数虽然可以用logtrans()函数确定散布参数倒数θ的取值但是用glm.nb()可以一步到位比较方便。不过glm.nb()没有offset参数(位移)但是我们可以调整formula参数的表达进行带位移项的拟合这个调整也适用于glm()函数 library(MASS)model3.8_nbglm.nb(Y~offset(log(t)),datadata3.8,init.theta1,linklog)summary(model3.8_nb)
###
Call:
glm.nb(formula Y ~ offset(log(t)), data data3.8, init.theta 3.135631071, link log)Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max
-2.2049 -0.7464 -0.1857 0.6129 1.5568 Coefficients:Estimate Std. Error z value Pr(|z|)
(Intercept) -0.9052 0.1200 -7.546 4.49e-14 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1(Dispersion parameter for Negative Binomial(3.1356) family taken to be 1)Null deviance: 24.15 on 22 degrees of freedom
Residual deviance: 24.15 on 22 degrees of freedom
AIC: 244.24Number of Fisher Scoring iterations: 1Theta: 3.136 Std. Err.: 0.920 2 x log-likelihood: -240.236
###
#比较两个模型截距的估计值和标准误summary(model3.8)$coe
###Estimate Std. Error z value Pr(|z|)
(Intercept) -0.9102802 0.02163712 -42.07031 0
###summary(model3.8_nb)$coe
###Estimate Std. Error z value Pr(|z|)
(Intercept) -0.9051888 0.1199579 -7.545888 4.492147e-14
###从模型摘要可见负二项对数模型的θ的估计值为3.136标准误为0.920则散布参数的估计值为说明样本具有一定的超散布性 两个模型对α的估计值相似但是负二项对数模型的α的标准误相对较高用模型的偏差进行比较也可以得出负二项对数模型的拟合效果更好。综上泊松假设并不适合。
习题3.19 表3.4给出了火车事故数据 表3.4 英国涉及火车的碰撞事故年份火车里程火车碰撞火车-道路碰撞年份火车里程火车碰撞火车-道路碰撞20035180319884432420025161319873971620015080419864142132000503131985418051999505121984389531998487041983401271997463111982372231996437221981417221995423121980430221994415241979426331993425041978430241992430141977425181991439261976426212199043112197543652198943644
a小题
比较只有截距项的撞车比率的泊松GLM和具有时间趋势项的GLM这两个模型的偏差分别是35.1和23.5。通过上述结果能将这29年里每年的撞车事件数看作具有相同参数的独立泊松变量吗 题解 不带时间效应的模型偏差为35.1加入时间效应的模型偏差为23.5这其实已经说明带时间效应的模型拟合效果更好 另外我们可以通过对两个模型的偏差做差得到的值近似服从卡方分布自由度是两个模型的参数数量差对该题来说这正是β0的似然比检验自由度df1 用R辅助计算P值 Dev135.1;Dev223.5p.value1-pchisq(Dev1-Dev2,df1);p.value
###
[1] 0.0006595182
###β显著性的似然比检验P值很小说明时间对撞击次数的影响还是存在的即使模型的偏差并没有减少很多。这样来看这29年的撞车事件数并不能看作具有相同参数的独立泊松变量。
b小题
3.3.6节拟合了负二项模型。1975年之后第x年撞车比率的估计值为. ML估计的SE0.0130。建立对的Wald检验. 题解 题目要求的检验便是参数β的显著性Wald检验 β的估计值除以其标准误便是显著性检验的Wald统计量其近似服从标准正态分布 我们可以在R中进行相同的拟合3.3.6节中给出散布参数D0.099 data3.19read.csv(table3.4.csv) #数据只取了年份、火车里程、火车-道路碰撞次数data3.19[,1]data3.19[,1]-1975head(data3.19)
###年份 里程 碰撞
1 28 518 3
2 27 516 3
3 26 508 4
4 25 503 3
5 24 505 2
6 23 487 4
###model3.19_3glm(碰撞~年份offset(log(里程)),datadata3.19,familynegative.binomial(theta1/0.099,linklog))summary(model3.19_3)$coe #获取模型的参数估计和检验
###Estimate Std. Error t value Pr(|t|)
(Intercept) -4.19997478 0.20170528 -20.822334 3.658918e-18
年份 -0.03366993 0.01326265 -2.538703 1.720186e-02
### R中得到的参数估计和标准误SE与书中一致这里进行的显著性检验就是Wald检验可见P值约为0.0172并没有比0.05小很多但是依然能够作为拒绝原假设的依据。
c小题
β的似然比95%置信区间为(-0.060,-0.008).求出事故率的年乘积效应的区间解释结果。 题解 变换模型的表达形式有 于是事故率的年乘积效应就是β的似然比95%置信区间题目给出为(-0.060,-0.008)通过指数变换可以得到的95%置信区间 用R辅助计算 c(exp(-0.06),exp(-0.008))
###
[1] 0.9417645 0.9920319
###计算出的95%置信区间约为(0.942,0.992)说明每到下一年有95%的把握估计该年的事故率相比上一年事故率减少0.8%至5.8%
第四章 Logistic回归
习题4.1 一项研究利用logistic回归确定与Y癌症是否缓解1是相关联的特征量。最重要的解释变量是通过对病人注射氚标记胸苷后测量细胞繁殖的标记指数LI。该研究给出被“标记”细胞的百分比。表4.8给出了分组数据表4.9是以LI 预测的logistic回归模型的结果。
表4.8 习题4.1关于癌症缓解的数据LI案例数缓解数LI案例数缓解数8202221102024101230261114302811163032101811341120323832表4.9 习题4.1的电脑输出结果 Standard Likelihood Ratio 95% Chi-
Parameter Estimate Error Confidence Limits Square
Intercept -3.7771 1.3786 -6.9946 -1.4097 7.51
li 0.1449 0.0593 0.0425 0.2846 5.96
Scale 1.0000 0.0000 1.0000 1.0000
LR Statistics For Type 3 Analysis Chi- Source DF Square Pr Chisq li 1 8.30 0.0040
Obs li nc nr pi_hat lower upper
1 8 2 0 0.06797 0.01121 0.31925
2 10 2 0 0.08879 0.01809 0.34010
... a小题
说明当LI8时软件如何得到. 题解 由于表4.9已经给出了模型的拟合结果接下来R只用于辅助计算不再次拟合模型。 根据表4.9得到的结果模型可表示为 将LI8代入模型可以得出的logit值通过反解公式 就可以得到当LI8时的值在R中可以进行如下计算得到 T.logitfunction(x){exp(x)/(1exp(x))}T.logit(-3.77710.1449*8)
###
[1] 0.06799525
###于是得到
b小题
证明当LI26.0时. 题解 当时logit值为0 令模型的线性部分为0反解出LI的值即可 即解方程 解得
c小题
证明当LI8时的变化率为0.009当LI26时为0.036 题解 将模型表示为与LI的函数有 求LI在各个取值时的变化率可以对上式求导有 将LI8和LI26分别代入上式便可得到变化率在R中可以进行如下计算得到 gexpression(exp(-3.77710.1449*x)/(1exp(-3.77710.1449*x)))D(g,x)
###
exp(-3.7771 0.1449 * x) * 0.1449/(1 exp(-3.7771 0.1449 * x)) - exp(-3.7771 0.1449 * x) * (exp(-3.7771 0.1449 * x) * 0.1449)/(1 exp(-3.7771 0.1449 * x))^2
###x8eval(D(g,x))
###
[1] 0.009182588
###x26eval(D(g,x))
###
[1] 0.03622415
###计算得到LI8时的变化率约为0.009LI26时的变化率约为0.036
d小题
LI的下四分位数和上四分位数分别为14和28。证明在这两个值之间从0.15增加到0.57增幅为0.42 题解 依然通过将LI的取值代入模型函数 来计算 在R中可以进行如下运算 gexpression(exp(-3.77710.1449*x)/(1exp(-3.77710.1449*x)))x14;aeval(g);a #LI14时的预测概率
###
[1] 0.1482365
###x28;beval(g);b #LI28时的预测概率
###
[1] 0.5695707
###b-a #增幅
###
[1] 0.4213342
### 可得到当LI14时当LI28时增幅为0.42
e小题
证明当LI增加1缓解的优势的估计值扩大1.16倍 题解 在logistic模型中优势可以表示为 x每增加1优势便扩大倍于是该题我们要求的便是 根据表4.9可知则的计算为 exp(0.1449)
###
[1] 1.155924
###得到当LI增加1缓解的优势的估计值扩大约1.16倍
习题4.2 续上题。利用表4.9的信息
a小题
建立LI效应的Wald检验并解释结果 题解 根据表4.9中的信息LI的效应估计值标准误 Wald统计量为 表4.9中已经给出了的值为5.96 在大样本下z近似服从标准正态分布则近似服从自由度df1的卡方分布 LI效应的Wald检验P值计算 1-pchisq(5.96,df1)
###
[1] 0.01463404
### P值约等于0.015小于0.05可以认为LI的效应是有显著性意义的
b小题
建立相应于LI增加1个单位优势比的Wald置信区间并解释结果 题解 由上文可知缓解的优势可以表示为 那么LI增加1个单位的优势比就是 求的95%Wald置信区间可以从求β的95%Wald置信区间开始再通过指数变换得到 beta0.1449SE0.0593ac(beta-qnorm(1-0.05/2)*SE,betaqnorm(1-0.05/2)*SE);a #β的置信区间
###
[1] 0.02867414 0.26112586
###exp(a) #exp(β)的置信区间
###
[1] 1.029089 1.298391
### 得到LI增加1个单位的优势比即eβ的95%Wald置信区间约为(1.029,1.299) 这说明LI每增加1个单位我们有95%的把握认为优势会变为原来的1.029到1.299倍总的来说优势是随着LI上升的
c小题
建立LI效应的似然比检验并解释结果 题解 本题所给出的样本量并不大Wald检验的功效和可信度不如似然比检验表4.9已经给出了似然比检验的结果 Chi- Source DF Square Pr Chisq li 1 8.30 0.0040 似然比统计量值为8.30自由度为1P值为0.004 检验结果与Wald检验相同可以认为LI的效应是有显著性意义的不过似然比检验的结果给出了比Wald检验更强烈的证据(似然比检验的P值更小) d小题
建立优势比的似然比置信区间并解释结果 题解 本题依然是求的置信区间依然是从β的置信区间入手不过本次是用β的似然比置信区间 表4.9已经给出了β的95%似然比置信区间为(0.0425,0.2846)对其进行指数变换即可得出的95%似然比置信区间 exp(c(0.0425,0.2846))
###
[1] 1.043416 1.329230
### 得的95%似然比置信区间约为(1.0434,1.3292)与Wald置信区间的结论相似LI每增加1个单位我们有95%的把握认为优势会变为原来的1.0434到1.3292倍 小结 以上是从广义线性模型和Logistic回归两章选的习题的练习结果。Logistic回归模型也算是广义线性模型中的一种其应用比较广泛所以书上总共用了两个章节讲解Logistic回归模型。本次关于Logistic回归模型的习题还是刚上手的具体的知识还没仔细思考过用的还都是在第三章广义线性模型中所了解的知识。 再次声明本人只是一名小小的本科生题目可能做错欢迎批评指正和交流。希望能帮到大家。
