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01-向量究竟是什么
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01-向量究竟是什么
数字在线性代数中起到的主要作用就是缩放向量 线性代数仅围绕向量的加法和数乘
线性代数可以
实现对空间的操纵解线性方程组
02-线性组合张成的空间与基 每当用数字描述向量时它都依赖于我们正在使用的基。 所有可以表示为给定向量线性组合的向量的集合被称作给定向量张成的空间(span) 下图中ab在实数范围内变化 - 多个向量的线性组合可以理解为对多个向量进行缩放最后相加 线性相关 有多个向量的时候可以移除其中一个而不减小张成的空间 线性无关当所有向量都给张成的空间增添了新的维度
由此其实可以想明白下面这句话为什么要这么定义 向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集
03-矩阵与线性变换 “变换”其实与“函数”是类似的 线性变换需要遵守的性质
直线在变换后仍然保持为直线不能有所弯曲原点必须保持固定
举例对于白-蓝线还都是直线原点也没有变但就不是线性变换了因为对于一个对角线而言在变换后的空间里它不再是直线了。线性变换可以视作“保持网格线平行且等距分布”的变换
如何用数值取描述线性变换 实际上相当于只要记录两个基向量 i i i和 j j j变换后的位置 一个二维变换仅由四个数字就可以完全确定变换后的 i i i和 j j j的坐标。比如说下图这个2*2的矩阵如果用它来描述线性变换第一列就表示变换后的i第二列就表示变换后的j向量基向量。 或者说变换矩阵的两列其实就是两个基变换之后的位置 举一个具体的例子 矩阵与向量相乘可以理解为将线性变换作用于两个新的基向量。如下图结果就是黄色向量。
04-矩阵长发与线性变换复合的联系
矩阵乘法与线性变换复合的联系 两个矩阵相乘的几何意义对基连续做两次线性变换注意是从右向左的方向 这里举例对于M1可以知道 j ^ j^{\hat{}} j^移到了[-2,0]的位置然后再进行M2额计算可以得到复合矩阵的第二列j第二次变换后的位置
05-行列式
先看两个具体的例子 对于这个矩阵相当于由原来11的矩形变成了236的矩形所以可以说这个线性变换将这个面积变为了6倍。 而这种情况下虽然对空间有挤压但是面积并未发生变化。
这个线性变换改变面积的比例被称为这个变换的行列式二维如果一个二维线性变换的行列式为0说明这个变换将空间压缩到了更小的维度上直觉围成的面积为0即i与j重合了。
那当行列式为负数的时候呢 类似于翻转改变了空间的定向对于二维即i和j左右关系变了绝对值仍然表示改变的面积比例。
二维行列式中主对角线和另一条对角线元素的几何含义 a、d表示平行四边形的底和高而b、c表示平行四边形在对角方向上拉伸或压缩了多少。
对于三维矩阵行列式相当于i,j,k基形成的平行六面体的体积的缩放比例。如果此时行列式为0那么矩阵的列必然线性相关举例因为至少有两个基会共线这样三个基退化成平面/直线/点的情况围成的体积为0。关于定向是否改变如果从右手系变成了左手系那么定向发生了改变变换的行列式为负数。
怎么用一句话解释 det(M1M2) det(M1)det(M2)
06-逆矩阵、列空间、秩与零空间
相关具体计算方法高斯消元法、行阶梯型
将解方程组与几何直观联系起来 A表示一种线性变化这个等式表示把向量x经过线性变换后使得它与v重合。 当A的行列式不为0此时空间并未被挤压为零面积的区域此时有且仅有一个向量x经变换后与v重合此时也会存在A的逆用A逆乘以v向量即可求解相当于逆向的变换 当A的行列式为0时空间就被挤压了此时就不再有逆变换了但仍可以有解。比如假设A把x的空间压缩成了一条直线如果v恰好在这条直线的方向上那么此时解存在。
与秩的关系秩代表变换后空间的维数 当变换的结果为一条直线时即结果是1维的我们称这个变换的秩为1 如果变换后的某个向量落在2维平面上称这个变换的秩为2.
所有可能的输出向量A*v构成的集合称为A的列空间 矩阵的列表示基向量变换后的位置这些变换后的基向量张成的空间就是所有可能的变换结果。 列空间就是矩阵的列所张成的空间。更精确的说秩就是列空间的维数。秩最大的情况就是与列数相等成为满秩。
零空间变换后落在原点的向量的集合被称为矩阵的零空间或者核kernel 零向量一定会被包含在列空间中因为线性变换必须保持原点不变。如果是一个满秩变换唯一能在变换后落在原点的就是零向量本身如果是一个非满秩矩阵会将空间压缩到一个更低的维度上即会有很多向量在变换后成为零向量。
对于线性方程组Ax v 如果说v是一个零向量x就相当于零空间即这个向量方程所有可能的解。
#06-附注 非仿真 不同维度空间之间的线性变换
满秩列空间维度和输入空间的维度相等
下图中列空间其实就是三维空间中的一个二维平面输入空间的维数就是基向量的个数2 另一个例子如下从三维空间到二维的变换
07-点积与对偶性
这一节解决两个问题
点积为什么和顺序无关为什么点积的运算过程即对应坐标相乘并将结果相加和投影有所联系 - 对偶性两种事物之间自然而又出乎意料的对应关系
点积举例 对于两个维数相同的向量我们可以这样来求得点积结果 点积的几何解释 这里可以是w的投影长度v的长度也可以反过来是v的投影长度w的长度这里其实体现了点积和顺序无关为什么呢 首先如果v和w向量长度相同可以利用对称性如下图其实是一个镜像的关系所以变换顺序也没有影响 接着如果将其中一个向量进行缩放对称性被破坏了但向量本身缩放的倍数其实就恰好等于这个向量的投影所缩放的倍数。倍数关系作为一个常数可被提取出去的所以顺序不会有影响。
对偶性 为什么n维向量的点积和矩阵向量乘法投影计算之间是有联系的
多维空间到一维空间的线性变换。假设有一个二维向量 v [ 43 ] T v [4 3]^T v[43]T就需要一个1X2的变换矩阵把它投影到一维上假设此时这个转换矩阵就是[1, -2], 相当于把i投影到了一维数轴的1上把j投影到了一维数轴的-2上那么最终v向量变换后的一维向量就是 -2 对于任一线性变换输出为1维数轴时空间中会存在唯一的向量v与之相关。应用变换和与向量v做点积是一样的。 一个向量的对偶是由它定义的线性变换 一个多维空间到一维空间的线性变换 的对偶是 多维空间中的某个特定向量
08-01 叉积的标准介绍
两个向量的叉积表示的是这两个向量围成的平行四边形的面积。如果v在w的右侧此时面积值为正而如果v在w的左侧面积值为负右手定则大拇指朝内为负/ 以基向量i和j的定向为基础。也就是说顺序对叉积会有影响。 如果不想去判断方向只想进行数值计算那么也可以用行列式来求值见05-行列式 以上两种不算是严格的叉积。真正的叉积是通过两个三维向量生成一个新的三维向量。如下所示垂直于平行四边形的会有两个向量使用右手定则确定。
08-02 以线性变换的眼光看叉积
为什么两个向量的叉积要写成 i j k的形式呢 为什么这里面积就是行列式基向量可以作为矩阵元第一列的元素是i.j.k 对偶性的思想 对于一个(多维)空间到数轴的线性变换时都和那个空间中的唯一一个向量对应。即应用线性变换和与这个向量点乘等价。 数值上说是因为这类线性变换可以用一个只有一行的矩阵描述相当于一个1*n维度的变换矩阵而它的每一列给出了变换后基向量的位置。例子如下i变换后到2j变换后到1
对于二维空间如上一节中的有下图中的对偶关系。
对于三维空间 类似的我们的计划是
定义一个从三维空间到数轴的特定线性变换且这个变换是根据向量v和w来定的。找到这个变换的对偶向量发现这个对偶向量就是v叉乘w 上面就是一个函数这个3*3 矩阵可以理解为第一列是一个任意可变向量行列式的值就是由这三列的向量组成的平行六面体的体积。这个函数的重要性质是它是线性的。由于它是线性的就可以用矩阵乘法来描述这个函数由于这个函数是从三维空间到一维空间所以就会有一个1*3的变换矩阵然后再利用对偶性这个 1*3 的变换矩阵就可以立起来变成一个3*1的特定向量并且可以将整个变换看作与这个特定向量下图中的p向量的点积。
从数值计算的角度看p的坐标值就是右侧括号里的三组结果
对于下图把i,j,k放入矩阵第一列进行计算得到的系数和前面的p的系数是相同的。在矩阵中插入i,j,k是为了提醒应该把这些系数解读为一个向量的坐标。
什么样的向量p可以满足如下性质使得它与向量x的点乘可以等于由向量x,v,w组成的平行六面体的有向体积
从几何角度右边的行列式可以理解为以vw构成的平行四边形为底向量x在垂直v和w方向上的分量作为高的体积值。而对于左侧引申一下点乘的投影含义向量p必然与v和w垂直并且长度和这两个向量张成的平行四边形的面积相同。
09 基变换
对于空间中的同一个向量如果选取的基向量不同那么我们用于表示的数值就会不同。
对于基向量的转换会有点别扭蓝色是当前的坐标系下的向量如果要把这个向量用其他系表示那么前面的矩阵的是 “从当前基到其他系的基的变换”的逆矩阵。 反之
如何转化一个矩阵最右的向量是用Jenifer的语言描述的将她的向量转换到我们的系下后基变换矩阵再旋转90度再转回Jenifer的系。这样得到的就是她的坐标系下向左旋转90度后的结果。而不能直接用她的坐标乘以表示90度旋转的矩阵。 引申一下 A − 1 M A A^{-1}MA A−1MA这种形式都暗含一种数学上的转移作用中间矩阵代表所见的变换外侧表示视角的转换最后表示的就是从其他视角看到的变换结果。
10 特征向量与特征值
如果对空间中的基向量做线性变换在这个空间中如果有某个变量只进行了原方向上的缩放那么这个向量就是特征向量而这个特定方向上缩放的倍数就是特征值。 下图中绿色是变换成原来3倍的i向量大红色是变换后的j向量。绿线和黄线是变换后方向不变的向量即特征向量每个特征向量所缩放的倍数就是特征值。 假设有一个特征值为-0.5的特征向量那么就意味着这个向量被反向且被压缩为原来的一半 变换后重点在于仍在张成的直线上没有旋转
对于一个三维空间内的旋转如果可以找到这个旋转的特征向量也就是留在它张成的空间里的向量那么它其实就是旋转轴。把一个三维旋转看成绕某个轴旋转一定角度比考虑相应的3*3矩阵更加直观。注意这种情况下旋转矩阵的特征值要为1因为不会进行任何缩放。
求解特征值其实就是去找非零解时会导致降维的矩阵(A- λ \lambda λI)即det(A- λ \lambda λI) 0.
二维线性变换不一定有特征向量比如旋转90度每个向量都旋转了且离开了其张成的空间。 举例一此时求出来特征值没有实数解就代表没有特征向量。 举例二对于剪切变换只有唯一的特征值也只有在原来的i方向上的量可以一直不变 不过注意有可能出现只有一个特征值但是特征向量不在一条直线上的情况如下图把基向量都扩大两倍特征值是2但每一个向量都是特征向量。
特征基 如果基向量恰好是特征向量会发生什么如下图的二维情况此时的变换矩阵就会是一个对角阵每一列就是基对角元素就是对应的特征值。
好处对于对角矩阵如果要连续计算n次变换其实也就是用对角元素的幂运算求解即可不会很复杂。但是当一个矩阵不是对角时可以变换成对角矩阵然后求幂运算后再转化回原来的坐标系计算上会更方便。 实际练习
11 - 抽象向量空间
行列式和特征向量与所选坐标系无关
本节讨论函数和向量之间的若干联系。 函数与向量的对应关系在相乘和相加上是类似的对一个函数求导数其实就相当于一种变换算子和变换类似。
一个函数的线性变换是什么意思线性要求可加性和成比例性。
为什么求导是线性运算下图举例求导运算可以满足可加性和成比例性。
一个线性变换可以通过它对基向量的作用来完全描述这使得矩阵向量乘法成为可能。下面来用矩阵来描述求导。 对于空间中的无穷多个多项式进行求导一个多项式其实就是一个线性组合的表示 基向量/基函数x的不同次幂
