企业网站功能怎么设计,管理系统中计算机应用,学网页设计学费多少,wordpress5.1.1后门利用工具1.树的基本概念 树是一种 非线性 的数据结构#xff0c;它是由n#xff08;n0#xff09;个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树#xff0c;也就是说它是根朝上#xff0c;而叶朝下的。 有一个特殊的结点#xff0c;称为根…
1.树的基本概念 树是一种 非线性 的数据结构它是由nn0个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树也就是说它是根朝上而叶朝下的。 有一个特殊的结点称为根结点根结点没有前驱结点 除根结点外其余结点被分成M(M0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm 其中每一个集合Ti(1 i m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱可以有0个或多个后继 因此 树是递归定义 的。 结点的度一个结点含有的子树的个数称为该结点的度 叶结点度为0的结点称为叶结点 分支结点度不为0的结点 父结点若一个结点含有子结点则这个结点称为其子结点的父结点 子结点一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点 兄弟结点具有相同父结点的结点互称为兄弟结点 树的度一棵树中最大的结点的度称为树的度 结点的层次从根开始定义起根为第1层根的子结点为第2层以此类推 树的高度或深度树中结点的最大层次 2.二叉树的基本概念 一棵二叉树是结点的一个有限集合该集合: 1. 或者为空 2. 由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成 注意二叉树的子树有左右之分次序不能颠倒因此二叉树是有序树 2.1特殊的二叉树 满二叉树 一个二叉树如果每一个层的结点数都达到最大值则这个二叉树就是满二叉树。 完全二叉树 特征前n-1层都是满的最后一层可以不满但最后一层从左到右必须是连续的。 ps: 满二叉树是一种特殊的完全二叉树。 3.二叉树的性质 1. 若规定根结点的层数为1则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点. 2. 若规定根结点的层数为1则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1 3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有 n0n2 1 4. 若规定根结点的层数为1具有n个结点的满二叉树的深度hlog2(n1) 5. 对于完全二叉树: 双亲序号(i-1)/2 (i为子节点序号 左孩子序号2i1 i为双亲结点序号 右孩子序号2i2 i为双亲结点序号 练习一个具有767个结点的完全二叉树其叶子结点个数为 A 383 B 384 C 385 D 386 答案B 详解设有度为2节点n2个 度为1节点n1个度为0节点n0个, 767n2n1n0 n2n0-1 由上面两式可得 767n12n0-1 768n12n0 由于2n0必为偶数768为偶数可得n1为偶数 且完全二叉树中n1只能是1或0 因此n10 7682n0 n0384 4 .二叉树的存储结构 二叉树一般可以使用两种结构存储一种顺序结构一种链式结构。 1. 顺序存储 顺序结构存储就是使用数组来存储一般使用数组只适合表示完全二叉树因为不是完全二叉树会有空 间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组在逻辑上是一颗二叉树。 2.链式存储 二叉树的链式存储结构是指用链表来表示一棵二叉树即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是 链表中每个结点由三个域组成数据域和左右指针域左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链。本文主要针对二叉链。 5.二叉树的遍历 5.1 前序、中序以及后序遍历 1. 前序遍历——根节点 左子树 右子树 2. 中序遍历——左子树 根节点 右子树 3. 后序遍历——左子树 右子树 根节点 5.2 层序遍历 层序遍历一层一层地往下遍历 6.二叉树代码实现 思路 前序/中序/后序遍历 递归思想将当前的大问题拆解成小问题 以前序遍历为例 当前问题——打印根打印左子树打印右子树 子问题——如图 递归返回条件——rootNULL 前序遍历代码 //前序遍历 根节点 左节点 右节点
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) {if (root NULL) {printf(N );return;}printf(%d , root-data);BinaryTreePrevOrder(root-left);BinaryTreePrevOrder(root-right);
} 中序遍历代码 void BinaryTreeInOrder(BTNode* root) {if (root NULL) {printf(N );return;}BinaryTreeInOrder(root-left);printf(%d , root-data);BinaryTreeInOrder(root-right);
} 后序遍历代码 void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) {if (root NULL) {printf(N );return;}BinaryTreePostOrder(root-left);BinaryTreePostOrder(root-right);printf(%d , root-data);
} 节点个数/叶子节点个数/树高/第k层叶子数 1.节点个数 递归思想 情况1空0个 情况2不为空左子树右子树1 2.叶子节点个数 情况1空返回0 情况2只有一个结点返回1 情况3左子树右子树 3.树的高度 情况1空返回0 情况2左子树和右子树高度中大的值1 4.第k层叶子数 情况1空返回0 情况2非空k1返回1 情况3非空,k1,左子树第k-1层右子树第k-1层 int BinaryTreeSize(BTNode* root) {if (root NULL) {return 0;}if (root-left NULL root-right NULL) {return 1;}return BinaryTreeSize(root-left) BinaryTreeSize(root-right)1;}int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root) {if (root NULL) {return 0;}if (root-left NULL root-right NULL) {return 1;}return BinaryTreeLeafSize(root-left) BinaryTreeLeafSize(root-right);
}int TreeHeight(BTNode* root)
{if (root NULL)return 0;int leftHeight TreeHeight(root-left);int rightHeight TreeHeight(root-right);return leftHeight rightHeight ?leftHeight 1 : rightHeight 1;
}int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) {if (root NULL) {return 0;}if (k1) {return 1;}return BinaryTreeLevelKSize(root-left, k - 1) BinaryTreeLevelKSize(root-right, k - 1);
} 查找值为x的节点 递归思想 情况1空返回NULL 情况2不为空根值为x返回根节点 情况3不为空根值不为x查找左子树有则返回 左子树中无查找右子树有则返回 右子树中也无返回空 BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) {BTNode* ret NULL;if (root NULL) {return NULL;}if (root-data x) {ret root;return ret;}if (BinaryTreeFind(root-left, x) ! NULL) {ret BinaryTreeFind(root-left, x);}if (BinaryTreeFind(root-right, x) ! NULL) {ret BinaryTreeFind(root-right, x);}
}层序遍历/完全二叉树 层序遍历 1.根进队列 2.节点出队列时该节点的子节点非空进队列 3.当队列为空时循环结束 完全二叉树 1.进行层序遍历空也进队列 2.遇到第一个空节点开始判断后面全空就是完全二叉树后面有非空就不是完全二叉树 void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) {if (!root) {return;}Queue q;QueueInit(q);QueuePush(q, root);while (QueueSize(q) 0) {BTNode* head QueueFront(q);if (head-left) {QueuePush(q, head-left);}if (head-right) {QueuePush(q, head-right);}printf(%d, head-data);QueuePop(q);}QueueDestroy(q);
}bool BinaryTreeComplete(BTNode* root) {if (!root) {return;}Queue q;QueueInit(q);QueuePush(q, root);while (QueueSize(q) 0) {BTNode* head QueueFront(q);if (head NULL) {break;}QueuePush(q, head-left);QueuePush(q, head-right);QueuePop(q);}while(!QueueEmpty(q)){BTNode* head QueueFront(q);if (head) {QueueDestroy(q);return false;}QueuePop(q);}QueueDestroy(q);return true;
} 代码汇总 binarytree.h #pragma once
#include stdio.h
#include assert.h
#include stdlib.h
#include stdbool.h
typedef int BTDataType;typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType data;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;// 通过前序遍历的数组ABD##E#H##CF##G##构建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate();
// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode* root);
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);
// 二叉树前序遍历
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root);
// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root);
// 判断二叉树是否是完全二叉树
bool BinaryTreeComplete(BTNode* root);binarytree.c #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include binarytree.h
#include queue.hBTNode* BuyNode(BTDataType x) {BTNode* newnode (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (newnode NULL) {perror(malloc fail!);}newnode-left NULL;newnode-right NULL;newnode-data x;return newnode;
}BTNode* BinaryTreeCreate() {BTNode* Node1 BuyNode(1);BTNode* Node2 BuyNode(2);BTNode* Node3 BuyNode(3);BTNode* Node4 BuyNode(4);BTNode* Node5 BuyNode(5);BTNode* Node6 BuyNode(6);BTNode* Node7 BuyNode(7);Node1-left Node2;Node1-right Node3;Node2-left Node4;Node2-right Node5;Node3-left Node6;//Node6-left Node7;return Node1;//返回根节点
}
//前序遍历 根节点 左节点 右节点
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root) {if (root NULL) {printf(N );return;}printf(%d , root-data);BinaryTreePrevOrder(root-left);BinaryTreePrevOrder(root-right);
}void BinaryTreeInOrder(BTNode* root) {if (root NULL) {printf(N );return;}BinaryTreeInOrder(root-left);printf(%d , root-data);BinaryTreeInOrder(root-right);
}void BinaryTreePostOrder(BTNode* root) {if (root NULL) {printf(N );return;}BinaryTreePostOrder(root-left);BinaryTreePostOrder(root-right);printf(%d , root-data);
}int BinaryTreeSize(BTNode* root) {if (root NULL) {return 0;}if (root-left NULL root-right NULL) {return 1;}return BinaryTreeSize(root-left) BinaryTreeSize(root-right)1;}int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root) {if (root NULL) {return 0;}if (root-left NULL root-right NULL) {return 1;}return BinaryTreeLeafSize(root-left) BinaryTreeLeafSize(root-right);
}int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k) {if (root NULL) {return 0;}if (k1) {return 1;}return BinaryTreeLevelKSize(root-left, k - 1) BinaryTreeLevelKSize(root-right, k - 1);
}int TreeHeight(BTNode* root)
{if (root NULL)return 0;int leftHeight TreeHeight(root-left);int rightHeight TreeHeight(root-right);return leftHeight rightHeight ?leftHeight 1 : rightHeight 1;
}BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x) {BTNode* ret NULL;if (root NULL) {return NULL;}if (root-data x) {ret root;return ret;}if (BinaryTreeFind(root-left, x) ! NULL) {ret BinaryTreeFind(root-left, x);}if (BinaryTreeFind(root-right, x) ! NULL) {ret BinaryTreeFind(root-right, x);}
}void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root) {if (!root) {return;}Queue q;QueueInit(q);QueuePush(q, root);while (QueueSize(q) 0) {BTNode* head QueueFront(q);if (head-left) {QueuePush(q, head-left);}if (head-right) {QueuePush(q, head-right);}printf(%d, head-data);QueuePop(q);}QueueDestroy(q);
}bool BinaryTreeComplete(BTNode* root) {if (!root) {return;}Queue q;QueueInit(q);QueuePush(q, root);while (QueueSize(q) 0) {BTNode* head QueueFront(q);if (head NULL) {break;}QueuePush(q, head-left);QueuePush(q, head-right);QueuePop(q);}while(!QueueEmpty(q)){BTNode* head QueueFront(q);if (head) {QueueDestroy(q);return false;}QueuePop(q);}QueueDestroy(q);return true;
}void BinaryTreeDestory(BTNode* root) {if (rootNULL) {return;}BinaryTreeDestory(root-left);BinaryTreeDestory(root-right);free(root);
} 在实现层序遍历时会使用到队列。但由于C语言中没有现成的数据结构队列可以直接使用需要自己实现。 queue.h #pragma once
#include stdio.h
#include assert.h
#include stdlib.h
typedef struct BinaryTreeNode* QDataType;typedef struct QListNode{struct QListNode* next;QDataType data;
}QNode;// 队列的结构
typedef struct Queue
{QNode* phead;QNode* ptail;int size;
}Queue;// 初始化队列
void QueueInit(Queue* q);
// 队尾入队列
void QueuePush(Queue* q, QDataType data);
// 队头出队列
void QueuePop(Queue* q);
// 获取队列头部元素
QDataType QueueFront(Queue* q);
// 获取队列队尾元素
QDataType QueueBack(Queue* q);
// 获取队列中有效元素个数
int QueueSize(Queue* q);
// 检测队列是否为空如果为空返回非零结果如果非空返回0
int QueueEmpty(Queue* q);
// 销毁队列
void QueueDestroy(Queue* q); queue.c #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include queue.h
// 初始化队列
void QueueInit(Queue* q) {assert(q);q-phead q-ptail NULL;q-size 0;
}
// 队尾入队列
void QueuePush(Queue* q, QDataType data) {assert(q);QNode* newnode (QNode*)malloc(sizeof(QNode));if (newnode NULL) {perror(malloc fail!);exit(1);}else {newnode-data data;newnode-next NULL;if (q-ptail NULL) {q-phead q-ptail newnode;q-size;}else {q-ptail-next newnode;q-ptail newnode;q-size;}}
}
// 队头出队列
void QueuePop(Queue* q) {assert(q);assert(q-size ! 0);if (q-phead-next NULL) {free(q-ptail);q-ptail q-phead NULL;q-size--;}else {QNode* next q-phead-next;free(q-phead);q-phead next;q-size--;}
}
// 获取队列头部元素
QDataType QueueFront(Queue* q) {assert(q);assert(q-size 0);return q-phead-data;
}
// 获取队列队尾元素
QDataType QueueBack(Queue* q) {assert(q);assert(q-size 0);return q-ptail-data;
}
// 获取队列中有效元素个数
int QueueSize(Queue* q) {assert(q);return q-size;
}
// 检测队列是否为空如果为空返回非零结果如果非空返回0
int QueueEmpty(Queue* q) {assert(q);return !QueueSize(q);
}
// 销毁队列
void QueueDestroy(Queue* q) {assert(q);while (q-size) {QueuePop(q);}q-phead NULL;q-ptail NULL;
} 7.堆及堆排序及TopK问题 详见我的另一篇文章~TopK问题待更 数据结构 | 详解二叉树——堆与堆排序
