建筑行业招聘网站推荐,站酷网官网网址,黄山风景区门票价格,备案号查询系统问题描述#xff1a;
给定一个矩阵#xff0c;如下#xff1a; A[a11a21a12a22]A=\begin{bmatrix}
a_{11}a_{12}\\
a_{21} a_{22}
\end{bmatrix} 其中满足a12a21.也就是所谓的
对称矩阵。那么如何求解此矩阵的特征值以及特征向量呢#xff1f;这里我们要用到
…问题描述
给定一个矩阵如下
A[a11a21a12a22]A=\begin{bmatrix}
a_{11}a21a_{12}=a_{21}.也就是所谓的
对称矩阵。那么如何求解此矩阵的特征值以及特征向量呢这里我们要用到
雅克比旋转。雅克比旋转
Jacobi方法是求对称矩阵的全部特征值以及相应的特征向量的一种方法它是基于以下两个结论:
任何实对称矩阵A可以通过正交相似变换成对角型即存在正交矩阵Q,使得 QTAQdiag(λ1,λ2,…,λn)Q^T AQ = diag(\lambda_1 ,\lambda_2 ,…,\lambda_n ) 其中λi(i1,2,…,n)\lambda_i(i=1,2,…,n)是A的特征值Q中各列为相应的特征向量。在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变. 即设A(aij)n×n,A=(a_{ij})_{n\times n} ,Q为正交矩阵,记BQTAQ(bij)n×nB=Q^T AQ=(b_{ij})_{n×n} , 则 ∑i,j1na2i,j∑i,j1nb2i,j\sum_{i,j=1}^na_{i,j}^2=\sum_{i,j=1}^nb^2_{i,j} Jacobi方法的基本思想是通过一次正交变换,将A中的一对非零的非对角元素化成零并且使得非对角元素的平方和减小。反复进行上述过程,使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零从而使该矩阵近似为对角矩阵得到全部特征值和特征向量。
如下我们仅仅考虑二维矩阵。对于高维的以此类推。 考虑如下的旋转矩阵
P[cos(θ)−sin(θ)sin(θ)cos(θ)]
P=\begin{bmatrix}
\cos(\theta)即PTP−1orPPTEP^{T}=P^{-1} or PP^T=E。 对矩阵A实施正交变换即如下 A′PTAP
A^{'}=P^TAP. 则有 a′11cos2(θ)a11sin2(θ)a22−2cos(θ)sin(θ)a12 (1)\begin{equation}
a'_{11}=\cos^2(\theta)a_{11}+\sin^2(\theta)a_{22}-2\cos(\theta)\sin(\theta)a_{12} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)
\end{equation} a′22sin2(θ)a11cos2(θ)a222cos(θ)sin(θ)a12 (2)\begin{equation}
a'_{22}=\sin^2(\theta)a_{11}+\cos^2(\theta)a_{22}+2\cos(\theta)\sin(\theta)a_{12} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)
\end{equation} a′12(cos2(θ)−sin2(θ))a12cos(θ)sin(θ)(a11−a22) (3)\begin{equation}
a'_{12}=(\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta))a_{12}+\cos(\theta)\sin(\theta)(a_{11}-a_{22}) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)
\end{equation} 令a′120a'_{12}=0,则可得出θ\theta的表达式 ϕcot(2θ)cos2(θ)−sin2(θ)2sin(θ)cos(θ)a22−a112a12 (4)\phi=\cot(2\theta)=\frac{\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)}{2\sin(\theta)\cos(\theta)}=\frac{a_{22}-a_{11}}{2a_{12}}~~~~~~~~~~~~(4) 如果令tsin(θ)/cos(θ)t=\sin(\theta)/\cos(\theta),则 t22tϕ−10t^2+2t\phi-1=0 这一方程较小的根对应着一个数量上小于π/4\pi/4的旋转角利用二次求根公式并对分母进行区分可以写出这一较小的根为 tsgn(ϕ)|ϕ|ϕ21−−−−−√ (5)t=\frac{sgn(\phi)}{|\phi|+\sqrt{\phi^2+1}}~~~~~~~~~~~~(5) 如果θ\theta很大以至于θ2\theta^2在计算机上溢出则令t1/(2ϕ)t=1/(2\phi).于是就有 cos(θ)1t21−−−−−√ (6)
\cos(\theta)=\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}~~~~~~~~~~~~(6) sin(θ)tcos(θ) (7)
\sin(\theta)=t\cos(\theta)~~~~~~~~~~~~~~~~(7) 将6、7代入1-3则显然有 3有a′120a'_{12}=0.剩下等式的指导思想是想将它们的新值写成旧值加一个小的修正。于是利用a′120a'_{12}=0,将1-2的a22a_{22}消去则有 a′11a11−ta12
a'_{11}=a_{11}-ta_{12} a′22a22ta12
a'_{22}=a_{22}+ta_{12}. 至此通过一次旋转变换即可将原矩阵非对称部分消零。整个矩阵变成一个对角矩阵。且相应的特征向量也可以得出。 A′PA′A(P1,P2)PTAPAP(P1,P2)[a′11a′22]
\begin{equation}
\begin{split}
A'P1[cos(θ)−sin(θ)]
P_1=\begin{bmatrix}
\cos(\theta)\\
-\sin(\theta)
\end{bmatrix} P2[sin(θ)cos(θ)]
P_2=\begin{bmatrix}
\sin(\theta)\\
\cos(\theta)
\end{bmatrix} 至于代码就不写了很简单哦参考文献
第四章第三节 Jacobi 方法Numerical Recipes(数值分析方法库) C/C:见第11章特征系统对称矩阵的雅可比变换。
