网站开发需要什么条件,太原最新建设,箱包网站设计,如何将图床作为wordpress的插件写的又回去了#xff0c;因为我发现我理解不够透彻#xff0c;反正想到啥写啥#xff0c;尽量保证内容质量好简洁易懂
2D平行束投影公式 p ( s , θ ) ∫ ∫ f ( x , y ) δ ( x c o s θ y s i n θ − s ) d x d y p(s,\theta)\int \int f(x,y)\delta(x cos\theta ysi…写的又回去了因为我发现我理解不够透彻反正想到啥写啥尽量保证内容质量好简洁易懂
2D平行束投影公式 p ( s , θ ) ∫ ∫ f ( x , y ) δ ( x c o s θ y s i n θ − s ) d x d y p(s,\theta)\int \int f(x,y)\delta(x cos\theta ysin\theta - s) dxdy p(s,θ)∫∫f(x,y)δ(xcosθysinθ−s)dxdy式1 p ( s , θ ) ∫ f ( s c o s θ − t s i n θ , s s i n θ t c o s θ ) d t p(s,\theta)\int f(scos\theta - tsin\theta,s sin\theta t cos\theta)dt p(s,θ)∫f(scosθ−tsinθ,ssinθtcosθ)dt式2 p ( s , θ ) ∫ f ( s θ ⃗ t θ ⃗ ) d t p(s,\theta) \int f(s\vec \theta t \vec \theta)dt p(s,θ)∫f(sθ tθ )dt式3 p ( s , θ ) ∫ f θ ( s , t ) d t p(s,\theta)\int f_\theta(s,t)dt p(s,θ)∫fθ(s,t)dt式4 这些公式来自医学图像重建1.5节这些都是2D平行束投影公式我偷懒没写积分的上下限。 s s s表示探测器像素单元的坐标 θ \theta θ表示投影角度。 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)为物体截面的线衰减系数。 x c o s θ y s i n θ s x cos\theta ysin\theta s xcosθysinθs是平面直线方程的一种写法Hesse Normal Form见https://leslielee.blog.csdn.net/article/details/145670396表示投影角度为 θ \theta θ投影至探测器坐标 s s s处的射线。
式1 δ ( z ) \delta(z) δ(z)是一个广义函数具有筛选的性质见https://leslielee.blog.csdn.net/article/details/144859730但由于我的数学水平不够这篇写的比较差劲 给定 s , θ s,\theta s,θ后若固定 y y y则式1中位于里面的积分可写作 ∫ f ( x , y ˉ ) δ ( x c o s θ ˉ y ˉ s i n θ ˉ − s ˉ ) d x f ( x ~ , y ˉ ) \int f(x,\bar y)\delta(x cos \bar \theta \bar ysin \bar \theta - \bar s) dx f(\tilde x,\bar y) ∫f(x,yˉ)δ(xcosθˉyˉsinθˉ−sˉ)dxf(x~,yˉ) 其中 x ~ c o s θ ˉ y ˉ s i n θ ˉ s ˉ \tilde x cos \bar \theta \bar ysin \bar \theta \bar s x~cosθˉyˉsinθˉsˉ即 ( x ~ , y ˉ ) (\tilde x, \bar y) (x~,yˉ)在直线 x c o s θ ˉ y s i n θ ˉ s ˉ x cos \bar \theta ysin \bar \theta \bar s xcosθˉysinθˉsˉ上。 给定 s , θ s,\theta s,θ后遍历所有的 y y y式1中位于外面积分的作用便可实现将位于直线 x c o s θ ˉ y s i n θ ˉ s ˉ x cos \bar \theta ysin \bar \theta \bar s xcosθˉysinθˉsˉ上的 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)进行求和。 因此式1得到的是位于直线 x c o s θ y s i n θ s x cos \theta ysin \theta s xcosθysinθs上的 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的和。
若令 θ ⃗ ( c o s θ , s i n θ ) \vec \theta (cos \theta, sin \theta) θ (cosθ,sinθ) x ⃗ ( x , y ) \vec x (x,y) x (x,y)则式1可得到向量写法 p ( s , θ ) ∫ ∫ f ( x , y ) δ ( x ⃗ ⋅ θ ⃗ − s ) d x d y p(s,\theta)\int \int f(x,y)\delta(\vec x \cdot \vec \theta - s) dxdy p(s,θ)∫∫f(x,y)δ(x ⋅θ −s)dxdy
式2 ( x , y ) (x,y) (x,y)要位于直线 x c o s θ y s i n θ s x cos\theta ysin\theta s xcosθysinθs上才可计算线积分。因此 x s c o s θ − t s i n θ , y s s i n θ t c o s θ x s cos\theta - t sin\theta, ys sin\theta t cos \theta xscosθ−tsinθ,yssinθtcosθ必然已经将 ( x , y ) (x,y) (x,y)约束至直线 x c o s θ y s i n θ s x cos\theta ysin\theta s xcosθysinθs上。
定义 t t t令 x s c o s θ − t s i n θ , y s s i n θ t c o s θ x s cos\theta - t sin\theta, ys sin\theta t cos \theta xscosθ−tsinθ,yssinθtcosθ将 x , y x,y x,y带入直线方程中得到 ( s c o s θ − t s i n θ ) c o s θ ( s s i n θ t c o s θ ) s i n θ s (s cos\theta - t sin\theta) cos\theta (s sin\theta t cos \theta) sin\theta s (scosθ−tsinθ)cosθ(ssinθtcosθ)sinθs 进一步化简可得 s s ss ss 因此 x s c o s θ − t s i n θ , y s s i n θ t c o s θ x s cos\theta - t sin\theta, ys sin\theta t cos \theta xscosθ−tsinθ,yssinθtcosθ 等效于 x c o s θ y s i n θ s x cos\theta ysin\theta s xcosθysinθs即将 ( x , y ) (x,y) (x,y)约束至直线 x c o s θ y s i n θ s x cos\theta ysin\theta s xcosθysinθs上。 那是如何才能想到这么表示 x , y x,y x,y呢对此我咨询了元宝元宝告我跟旋转矩阵相关。 x s c o s θ − t s i n θ , y s s i n θ t c o s θ x s cos\theta - t sin\theta, ys sin\theta t cos \theta xscosθ−tsinθ,yssinθtcosθ 可写成向量矩阵形式 见https://leslielee.blog.csdn.net/article/details/135566902 [ c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ ] [ s t ] [ x y ] \begin{bmatrix} cos\theta -sin\theta \\ sin\theta cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s \\ t \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} [cosθsinθ−sinθcosθ][st][xy] x , y x,y x,y是 s , t s,t s,t逆时针旋转得到的。
那么 s , t s,t s,t是 x , y x,y x,y顺时针旋转得到的可得到表达式 [ c o s θ s i n θ − s i n θ c o s θ ] [ x y ] [ s t ] \begin{bmatrix} cos\theta sin\theta \\ -sin\theta cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\begin{bmatrix} s \\ t \end{bmatrix} [cosθ−sinθsinθcosθ][xy][st] 这样我们便可明白 t − x s i n θ y c o s θ t -xsin\theta ycos\theta t−xsinθycosθ式2给的 t t t并不是没有限制的。 直线 − x s i n θ y c o s θ t -xsin\theta ycos\theta t −xsinθycosθt与 x c o s θ y s i n θ s x cos\theta ysin\theta s xcosθysinθs垂直因为 ( − s i n θ , c o s θ ) ⋅ ( c o s θ , s i n θ ) 0 (-sin\theta,cos\theta)\cdot (cos\theta,sin\theta) 0 (−sinθ,cosθ)⋅(cosθ,sinθ)0。
给定 s , θ s,\theta s,θ后遍历所有 t t t便可取到直线 x c o s θ y s i n θ s x cos\theta ysin\theta s xcosθysinθs上的所有 ( x , y ) (x,y) (x,y)点。
式3
令 θ ⃗ ⊥ ( − s i n θ , c o s θ ) \vec \theta^{\perp} (-sin\theta,cos\theta) θ ⊥(−sinθ,cosθ) 将 s θ ⃗ t θ ⃗ ⊥ s\vec \theta t \vec \theta^{\perp} sθ tθ ⊥展开便得到 ( s c o s θ − t s i n θ , s s i n θ t c o s θ ) (s cos\theta - t sin\theta, s sin\theta t cos\theta) (scosθ−tsinθ,ssinθtcosθ) 而函数 f f f是一个二元函数自变量是 x , y x,y x,y因此有 s c o s θ − t s i n θ x s cos\theta - t sin\theta x scosθ−tsinθx s s i n θ t c o s θ y s sin\theta t cos\theta y ssinθtcosθy 这不就是表示 ( x , y ) (x,y) (x,y)是由 ( s , t ) (s,t) (s,t)逆时针旋转 θ \theta θ得到的。 因此式3是式2的向量写法。
式4
令 f θ ( s , t ) f ( s c o s θ − t s i n θ , s s i n θ t c o s θ ) f_\theta (s,t) f(scos\theta - tsin\theta,s sin\theta t cos\theta) fθ(s,t)f(scosθ−tsinθ,ssinθtcosθ)便得到式4。
式1表示射线源与探测器同时逆时针旋转射线旋转物体不动。式2表示物体顺时针旋转射线不动。
