网站服务器租用报价,网站配色与布局 教材,网站用 做有什么好处,百度网站ip地址文章目录 abstract相关概念质心重心 质心的计算平面质心基本概念薄片质心静矩元素薄片质心坐标均匀薄片的质心形心坐标例 对称图形的质心例空间体的质心均匀半球的质心 转动惯量平面薄片的转动惯量计算方法空间体的情形例例 引力(*) abstract
重积分的应用(物理应用) 质心转动… 文章目录 abstract相关概念质心重心 质心的计算平面质心基本概念薄片质心静矩元素薄片质心坐标均匀薄片的质心形心坐标例 对称图形的质心例空间体的质心均匀半球的质心 转动惯量平面薄片的转动惯量计算方法空间体的情形例例 引力(*) abstract
重积分的应用(物理应用) 质心转动惯量引力 元素法的应用
相关概念
质心 (wikipedia.org)
质心 质心为多质点系统的质量中心。 若对该点施力系统会沿着力的方向运动、不会旋转。质点位置对质量加权取平均值可得质心位置。 以质心的概念计算力学通常比较简单。 质心对应的英文有 center of mass 与 barycenter或 barycentre)。 后者指两个或多个物体互绕物体的质量中心。 在几何学质心不等同于重心是二维形状的几何中心。
重心 重力作用的平均位置定义为各质点相对于重心(质心)的位置向量乘上各质点的重力之和(合力矩)为零。 质心不一定要在有重力场的系统中才会有意义而重心则否。 值得注意的是除非重力场是均匀的否则同一物质系统的质心与重心通常不在同一假想点上。 对于密度均匀、形状对称分布的物体其质心位于其几何中心处 在两质点系统中取质心为原点两质点连线为x轴则两质点坐标 x 1 x_1 x1和 x 2 x_2 x2与质量 m 1 m_{1} m1与 m 2 m_{2} m2有如下关系 x 1 x 2 − m 2 m 1 {\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}}}-{\frac {m_{2}}{m_{1}}}} x2x1−m1m2
质心的计算
平面质心基本概念 设在平面 x O y xOy xOy上有 n n n个质点,它们分别位于点 P 1 ( x 1 , y 1 ) , ⋯ , P n ( x n , y n ) P_1(x_1,y_1),\cdots,P_n(x_n,y_n) P1(x1,y1),⋯,Pn(xn,yn)处,质量分别为 m 1 , ⋯ , m n m_1,\cdots,m_n m1,⋯,mn 由力学知识,该质点系 P P P的质心坐标为(1) x ‾ \overline{x} x M y M \frac{M_{y}}{M} MMy(1-1) y ‾ \overline{y} y M x M \frac{M_{x}}{M} MMx(1-2) 相关概念: 式组(1)中 M M M ∑ i 1 n m i {\sum_{i1}^{n}m_{i}} ∑i1nmi; M y M_{y} My ∑ i 1 n m i x i {\sum_{i1}^{n}m_{i}x_{i}} ∑i1nmixi; M x M_{x} Mx ∑ i 1 n m i y i {\sum_{i1}^{n}m_{i}}y_{i} ∑i1nmiyi 其中 M M M称为质点系的总质量 M y , M x M_{y},M_{x} My,Mx分别为改质点系对 y y y轴和 x x x轴的静矩
薄片质心
设有一平面薄片,占有坐标面 x O y xOy xOy面上的闭区域 D D D 在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处的面密度为 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y),假定 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y)在 D D D上连续,现在要找到该薄片的质心的坐标
静矩元素
在闭区域 D D D上任取一直径很小的闭区域 d σ \mathrm{d}\sigma dσ(其面积也极为 d σ \mathrm{d}\sigma dσ), P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)是着小闭区域上的一点因为 d σ \mathrm{d}\sigma dσ的直径很小,且 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y)在 D D D上连续,所以薄片相应于 d σ \mathrm{d}\sigma dσ的部分的质量 m m m,近似于 μ ( x , y ) d σ \mu(x,y)\mathrm{d}\sigma μ(x,y)dσ,这部分质量可以近似看作集中在点 P P P上,于是有静矩元素: d M y \mathrm{d}M_{y} dMy x μ ( x , y ) d σ x\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma xμ(x,y)dσ,(2-1) d M x y μ ( x , y ) d σ \mathrm{d}M_{x}y\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma dMxyμ(x,y)dσ(2-2)
薄片质心坐标
以上述元素为被积表达式,在闭区域 D D D上积分,可得 M y M_{y} My ∬ D x μ ( x , y ) d σ \iint_{D}x\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma ∬Dxμ(x,y)dσ,(3-1) M x M_{x} Mx ∬ D y μ ( x , y ) d σ \iint_{D}y\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma ∬Dyμ(x,y)dσ(3-2) 而薄片的质量可以直接有二重积分得到 M M M ∬ D μ ( x , y ) d σ \iint_{D}\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma ∬Dμ(x,y)dσ(4)所以薄片的质心的坐标为(将式(3-1,3-2,4)分别代入到(1-1,1-2)),所得坐标就是薄片质心坐标
均匀薄片的质心 若薄片是均匀的,即面密度 μ \mu μ为常量,则式中 μ \mu μ提到积分号外面,并从分子分母中约去,得公式(5) x ‾ \overline{x} x 1 A ∬ D x d σ \frac{1}{A}\iint_{D}x\mathrm{d}\sigma A1∬Dxdσ y ‾ \overline{y} y 1 A ∬ D y d σ \frac{1}{A}\iint_{D}y\mathrm{d}\sigma A1∬Dydσ其中 A A A ∬ D d σ \iint_{D}\mathrm{d}\sigma ∬Ddσ为闭区域 D D D的面积
形心坐标
这时薄片的质心完全由闭区域 D D D的形状所决定,我们把均匀平面薄片的质心称为平面薄片所占的平面图形的形心因此,平面图形 D D D的形心的坐标,可以用公式(5)计算而空间区域的形心可以用公式(5) x ‾ \overline{x} x 1 M ∭ Ω x d v \frac{1}{M}\iiint_{\Omega}x\mathrm{d}v M1∭Ωxdv y ‾ \overline{y} y 1 M ∭ Ω y d v \frac{1}{M}\iiint_{\Omega}y\mathrm{d}v M1∭Ωydv z ‾ \overline{z} z 1 M ∭ Ω z d v \frac{1}{M}\iiint_{\Omega}z\mathrm{d}v M1∭Ωzdv其中 M M M ∭ Ω d v \iiint_{\Omega}\mathrm{d}v ∭Ωdv
例
设 Ω \Omega Ω { ( x , y , z ) ∣ x 2 y 2 ⩽ z ⩽ 1 } \set{(x,y,z)|x^2y^2\leqslant{z}\leqslant{1}} {(x,y,z)∣x2y2⩽z⩽1},则 Ω \Omega Ω的形心的竖坐标(z轴坐标)?解 分析 Ω \Omega Ω区域是一个顶点位于 ( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0) (0,0,0)的开口向上的旋转抛物面,被平面 z 1 z1 z1所截,取 z ∈ [ 0 , 1 ] z\in[0,1] z∈[0,1]的部分利用公式 z ‾ \overline{z} z 1 M ∭ Ω z d v \frac{1}{M}\iiint_{\Omega}z\mathrm{d}v M1∭Ωzdv计算 需要计算下面两个积分,使用先二后一的顺序积分较为方便 M M M ∭ Ω d v \iiint_{\Omega}\mathrm{d}v ∭Ωdv ∫ 0 1 d z ∬ x 2 y 2 ⩽ z d v \int_{0}^{1}\mathrm{d}z\iint_{x^2y^2\leqslant{z}}\mathrm{d}v ∫01dz∬x2y2⩽zdv ∫ 0 1 π z d z \int_{0}^{1}\pi{z}\mathrm{d}z ∫01πzdz π 2 \frac{\pi}{2} 2π注意投影面 D z : x 2 y 2 ⩽ z D_{z}:x^2y^2\leqslant{z} Dz:x2y2⩽z是一个圆域,半径为 z \sqrt{z} z ,(而不是 z z z)面积为 π z \pi{z} πz ∭ Ω z d v \iiint_{\Omega}z\mathrm{d}v ∭Ωzdv ∫ 0 1 z d z ∬ x 2 y 2 ⩽ z d v \int_{0}^{1}z\mathrm{d}z\iint_{x^2y^2\leqslant{z}}\mathrm{d}v ∫01zdz∬x2y2⩽zdv ∫ 0 1 π z 2 d z \int_{0}^{1}\pi{z^2}\mathrm{d}z ∫01πz2dz π 3 \frac{\pi}{3} 3π 综上, z ‾ \overline{z} z 2 3 \frac{2}{3} 32
对称图形的质心
若均匀平面薄片由对称轴,则质心一定位于对称轴上反证法:设质心不再对称轴上,则质心一定倾斜)
例
求位于两圆 ρ 2 sin θ \rho2\sin\theta ρ2sinθ, ρ 4 sin θ \rho4\sin\theta ρ4sinθ之间的均匀薄片的质心 容易确定两个圆的半径分别为 1 , 2 1,2 1,2,圆心分别为 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1), ( 0 , 2 ) (0,2) (0,2)由于所研究薄片关于 x 0 x0 x0对称,所以质心一定在 x 0 x0 x0上而 y ‾ \overline{y} y 1 A ∬ D y d σ \frac{1}{A}\iint_{D}y\mathrm{d}\sigma A1∬Dydσ 1 ( 4 π − π ) ∫ 0 π d θ ∫ 2 sin θ 4 sin θ ρ sin θ ⋅ ρ d ρ \frac{1}{(4\pi-\pi)} \int_{0}^{\pi}\mathrm{d}\theta \int_{2\sin\theta}^{4\sin\theta}\rho\sin\theta\cdot\rho\mathrm{d}\rho (4π−π)1∫0πdθ∫2sinθ4sinθρsinθ⋅ρdρ 1 3 π ⋅ 7 π \frac{1}{3\pi}\cdot{7\pi} 3π1⋅7π 7 3 \frac{7}{3} 37 其中 ∫ 2 sin θ 4 sin θ ρ sin θ ⋅ ρ d ρ \int_{2\sin\theta}^{4\sin\theta}\rho\sin\theta\cdot\rho\mathrm{d}\rho ∫2sinθ4sinθρsinθ⋅ρdρ 56 3 ∫ 0 π sin 4 θ d θ \frac{56}{3}\int_{0}^{\pi}\sin^{4}\theta\mathrm{d}\theta 356∫0πsin4θdθ 14 3 ( 1 − 2 cos θ cos 2 2 θ ) \frac{14}{3}(1-2\cos\theta\cos^22\theta) 314(1−2cosθcos22θ) 14 3 ( θ − sin 2 θ 1 2 ( 1 cos 4 θ ) ) ∣ 0 π \frac{14}{3}(\theta-\sin{2\theta}\frac{1}{2}(1\cos4\theta))|_{0}^{\pi} 314(θ−sin2θ21(1cos4θ))∣0π 7 π 7\pi 7π 因此,所求质心为 C ( 0 , 7 3 ) C(0,\frac{7}{3}) C(0,37)
空间体的质心 设占有空间有界闭区域 Ω \Omega Ω,在点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)处的密度(体密度)为 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z) 假定 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z)在 Ω \Omega Ω上连续 则物体的质心坐标(6): x ‾ \overline{x} x 1 M ∭ Ω x ρ ( x , y , z ) d v \frac{1}{M}\iiint_{\Omega}x\rho(x,y,z)\mathrm{d}v M1∭Ωxρ(x,y,z)dv y ‾ \overline{y} y 1 M ∭ Ω y ρ ( x , y , z ) d v \frac{1}{M}\iiint_{\Omega}{y\rho(x,y,z)}\mathrm{d}v M1∭Ωyρ(x,y,z)dv z ‾ \overline{z} z 1 M ∭ Ω z ρ ( x , y , z ) d v \frac{1}{M}\iiint_{\Omega}z\rho(x,y,z)\mathrm{d}v M1∭Ωzρ(x,y,z)dv 其中 M M M ∭ Ω ρ ( x , y , z ) d v \iiint_{\Omega}\rho(x,y,z)\mathrm{d}v ∭Ωρ(x,y,z)dv(7) 类似的,若空间体是均匀的,则体密度 ρ \rho ρ是常数,可以提出到积分号前面 则 M M M ρ ∭ Ω d v \rho\iiint_{\Omega}\mathrm{d}v ρ∭Ωdv ρ V \rho{V} ρV(7-1),其中 V V V ∭ Ω d v \iiint_{\Omega}\mathrm{d}v ∭Ωdv表示 Ω \Omega Ω的体积,即有 1 M ρ \frac{1}{M}\rho M1ρ 1 V \frac{1}{V} V1(7-2),从而有(8) x ‾ \overline{x} x 1 V ∭ Ω x d v \frac{1}{V}\iiint_{\Omega}x\mathrm{d}v V1∭Ωxdv y ‾ \overline{y} y 1 V ∭ Ω y d v \frac{1}{V}\iiint_{\Omega}y\mathrm{d}v V1∭Ωydv z ‾ \overline{z} z 1 V ∭ Ω z d v \frac{1}{V}\iiint_{\Omega}z\mathrm{d}v V1∭Ωzdv
均匀半球的质心
整个均匀球的质心容易确定就是球心,现在我们看半球的质心取半球体的对称轴 z z z轴,原点取在球心上,又设半径为 a a a 半球体所占空间闭区域 Ω \Omega Ω { ( x , y , z ) ∣ x 2 y 2 z 2 ⩽ a 2 , z ⩾ 0 } \set{(x,y,z)|x^2y^2z^2\leqslant{a^2},z\geqslant{0}} {(x,y,z)∣x2y2z2⩽a2,z⩾0}显然,质心在 z z z轴上,故 x ‾ y ‾ 0 \overline{x}\overline{y}0 xy0而由公式(8-3), z ‾ \overline{z} z 1 V ∭ Ω z d v \frac{1}{V}\iiint_{\Omega}z\mathrm{d}v V1∭Ωzdv 其中 V 2 3 π a 3 V\frac{2}{3}\pi{a^3} V32πa3为半球的体积用球坐标计算: ∭ Ω z d v \iiint_{\Omega}z\mathrm{d}v ∭Ωzdv ∭ Ω r cos ϕ ⋅ r 2 sin ϕ d r d ϕ d θ \iiint_{\Omega}r\cos\phi\cdot{r^2\sin\phi}\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta ∭Ωrcosϕ⋅r2sinϕdrdϕdθ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π 2 sin ϕ cos ϕ d ϕ ∫ 0 a r 3 d r \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\phi\cos\phi\mathrm{d}\phi \int_{0}^{a}r^3\mathrm{d}r ∫02πdθ∫02πsinϕcosϕdϕ∫0ar3dr 2 π ⋅ 1 2 ⋅ a 4 4 2\pi\cdot{\frac{1}{2}}\cdot\frac{a^4}{4} 2π⋅21⋅4a4 π a 4 4 \frac{\pi{a^{4}}}4 4πa4 从而 z ‾ \overline{z} z 3 8 \frac{3}{8} 83 则质心为 ( 0 , 0 , 3 8 a ) (0,0,\frac{3}{8}a) (0,0,83a)
转动惯量
平面薄片的转动惯量 设在平面 x O y xOy xOy上有 n n n个质点,它们分别位于点 P 1 ( x 1 , y 1 ) , ⋯ , P n ( x n , y n ) P_1(x_1,y_1),\cdots,P_n(x_n,y_n) P1(x1,y1),⋯,Pn(xn,yn)处,质量分别为 m 1 , ⋯ , m n m_1,\cdots,m_n m1,⋯,mn 由力学知识,该质点系 P P P对于 x x x轴和 y y y轴的转动惯量依次为 I x I_{x} Ix ∑ i 1 n m i y i 2 {\sum_{i1}^{n}m_{i}}y^2_{i} ∑i1nmiyi2 I y I_y Iy ∑ i 1 n m i x i 2 {\sum_{i1}^{n}m_{i}}x_{i}^2 ∑i1nmixi2 设有一平面薄片,占有坐标面 x O y xOy xOy面上的闭区域 D D D 在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处的面密度为 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y),假定 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y)在 D D D上连续,现在要求该薄片对 x x x轴的转动惯量 I x I_x Ix以及对于 y y y轴的转动惯量 I y I_{y} Iy
计算方法
应用元素法在闭区域 D D D上任意取一直径很小的闭区域 d σ \mathrm{d}\sigma dσ(设其面积也记为 d σ \mathrm{d}\sigma dσ) P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)是小闭区域上的一个点,因为 d σ \mathrm{d}\sigma dσ的直径很小,且 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y)在 D D D上连续,所以薄片中相应于 d σ \mathrm{d}\sigma dσ部分的质量近似等于 μ ( x , y ) d σ \mu(x,y)\mathrm{d}\sigma μ(x,y)dσ,这部分质量可以近似看作集中在点 P P P上,于是有薄片对于 x x x轴以及对于 y y y轴的转动惯量元素 d I x \mathrm{d}I_{x} dIx y 2 μ ( x , y ) d σ y^2\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma y2μ(x,y)dσ(1-1) d I y \mathrm{d}I_{y} dIy x 2 μ ( x , y ) d σ x^2\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma x2μ(x,y)dσ(1-2) 以这些元素为被积表达式,在闭区域 D D D上积分,便得 I x I_{x} Ix ∬ D y 2 μ ( x , y ) d σ \iint_{D}y^2\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma ∬Dy2μ(x,y)dσ(2-1) I y I_y Iy ∬ D x 2 μ ( x , y ) d σ \iint_{D}x^2\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma ∬Dx2μ(x,y)dσ(2-2)
空间体的情形
设占有空间有界闭区域 Ω \Omega Ω,在点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)处的密度(体密度)为 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z) 假定 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z)在 Ω \Omega Ω上连续 则物体对 x , y , z x,y,z x,y,z轴的转动惯量分别为(6): I x I_{x} Ix ∭ Ω ( y 2 z 2 ) ρ ( x , y , z ) d v \iiint_{\Omega}(y^2z^2)\rho(x,y,z)\mathrm{d}v ∭Ω(y2z2)ρ(x,y,z)dv I y I_{y} Iy ∭ Ω ( z 2 x 2 ) ρ ( x , y , z ) d v \iiint_{\Omega}(z^2x^2)\rho(x,y,z)\mathrm{d}v ∭Ω(z2x2)ρ(x,y,z)dv I z I_{z} Iz ∭ Ω ( x 2 y 2 ) ρ ( x , y , z ) d v \iiint_{\Omega}(x^2y^2)\rho(x,y,z)\mathrm{d}v ∭Ω(x2y2)ρ(x,y,z)dv 其中 M M M ∭ Ω ρ ( x , y , z ) d v \iiint_{\Omega}\rho(x,y,z)\mathrm{d}v ∭Ωρ(x,y,z)dv(7)类似的,若空间体是均匀的,则体密度 ρ \rho ρ是常数,可以提出到积分号前面公式的应用:以公式(6-1)为例可以看出,计算转动惯量需要 建立合适的坐标系被转动的 Ω \Omega Ω以及体密度 ρ \rho ρ, 被积函数中的 y 2 z 2 y^2z^2 y2z2则是公式中固定的部分 而若 ρ \rho ρ是常数时,提到积分号前,则公式的计算关键就取决于 Ω \Omega Ω的形状
例
求半径为 a a a的均匀半圆薄片对于其直径边的转动惯量 I I I 设密度为常数 μ \mu μ 解 取半圆的直径中点为坐标系原点,直径和 x x x轴重合(半圆和 x x x轴交于 ( − a , 0 ) , ( a , 0 ) (-a,0),(a,0) (−a,0),(a,0)) 则薄片所占闭区域 D { ( x , y ) ∣ x 2 y 2 ⩽ a 2 , y ⩾ 0 } D\set{(x,y)|x^2y^2\leqslant{a^2},y\geqslant{0}} D{(x,y)∣x2y2⩽a2,y⩾0} 则所求转动惯量即半圆薄片对于 x x x轴的转动惯量 I x I_{x} Ix ∬ D y 2 μ d σ \iint_{D}y^2\mu\mathrm{d}\sigma ∬Dy2μdσ μ ∬ D ρ 3 sin 2 θ d ρ d θ \mu\iint_{D}\rho^3\sin^{2}\theta\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta μ∬Dρ3sin2θdρdθ μ ∫ 0 π d θ ∫ 0 a ρ 3 sin 2 θ d ρ \mu\int_{0}^{\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{a}\rho^3\sin^{2}\theta\mathrm{d}\rho μ∫0πdθ∫0aρ3sin2θdρ 1 4 μ a 4 π 2 \frac{1}{4}\mu{a^4}\frac{\pi}{2} 41μa42π μ a 4 π 8 \frac{\mu{a^{4}}\pi}{8} 8μa4π若记为半圆薄片的质量 M M M 1 2 π a 2 μ \frac{1}{2}\pi{a^2}\mu 21πa2μ则 I x I_{x} Ix 1 4 M a 2 \frac{1}{4}Ma^{2} 41Ma2
例
求密度为 ρ \rho ρ的均匀球对于过球心的一条轴 l l l的转动惯量解 取球心为坐标原点, x x x轴与 l l l轴重合,又设球的半径为 a a a,则球所占空间闭区域为 Ω \Omega Ω { ( x , y , z ) ∣ x 2 y 2 z 2 ⩽ a 2 } \set{(x,y,z)|x^2y^2z^2\leqslant{a^2}} {(x,y,z)∣x2y2z2⩽a2} 所求转动惯量即球对于 z z z轴的转动惯量为 I x I_{x} Ix ∭ Ω ( y 2 z 2 ) ρ d v \iiint_{\Omega}(y^2z^2)\rho\mathrm{d}v ∭Ω(y2z2)ρdv ρ ∭ Ω ( y 2 z 2 ) d v \rho\iiint_{\Omega}(y^2z^2)\mathrm{d}v ρ∭Ω(y2z2)dv该积分使用球坐标计算: I x I_{x} Ix ρ ∭ Ω ( ( r sin ϕ cos θ ) 2 ( r sin ϕ cos θ ) 2 ) ⋅ r 2 sin ϕ d r d ϕ d θ \rho\iiint_{\Omega}((r\sin\phi\cos\theta)^2(r\sin\phi\cos\theta)^2)\cdot{r^2\sin\phi} \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta ρ∭Ω((rsinϕcosθ)2(rsinϕcosθ)2)⋅r2sinϕdrdϕdθ ρ ∭ Ω r 4 sin 3 ϕ d r d ϕ d θ \rho\iiint_{\Omega} r^4\sin^{3}\phi\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta ρ∭Ωr4sin3ϕdrdϕdθ ρ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π sin 3 ϕ d ϕ ∫ 0 a r 4 d r \rho\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\phi\mathrm{d}\phi\int_{0}^{a}r^{4}\mathrm{d}r ρ∫02πdθ∫0πsin3ϕdϕ∫0ar4dr 2 5 a 2 M \frac{2}{5}a^2M 52a2M其中 M M M 4 3 π a 3 ρ \frac{4}{3}\pi{a^3}\rho 34πa3ρ为球的质量
引力(*) 这里讨论的是:空间一物体对于物体外一点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_{0}(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)处单位质量的质点的引力 仍然使用元素法, 设占有空间有界闭区域 Ω \Omega Ω,在点 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z)处的密度(体密度)为 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z),并假定 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z)在 Ω \Omega Ω上连续;在物体内任意取一直径很小的闭区域 d v \mathrm{d}v dv,其体积也记为 d v \mathrm{d}v dv P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z)是这一小块闭区域上的一个点,因为 d σ \mathrm{d}\sigma dσ的直径很小,且 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z)在 D D D上连续,所以这一小块物体的质量 ρ d v \rho\mathrm{d}v ρdv近似看作集中在点 P P P上 并由两质点间的引力公式,可得元素对应的小块物体对位于 P 0 P_0 P0处的单位质量质点的引力近似为 d F \mathrm{d}\bold{F} dF ( d F x , d F y , d F z ) (\mathrm{d}F_{x},\mathrm{d}F_{y},\mathrm{d}F_{z}) (dFx,dFy,dFz) ( G ρ ( x , y , z ) ( x − x 0 ) r 3 d v , G ρ ( x , y , z ) ( y − y 0 ) r 3 d v , G ρ ( x , y , z ) ( z − z 0 ) r 3 d v ) \Large(G\frac{\rho(x,y,z)(x-x_0)}{r^3}\mathrm{d}v, G\frac{\rho(x,y,z)(y-y_0)}{r^3}\mathrm{d}v, G\frac{\rho(x,y,z)(z-z_0)}{r^3}\mathrm{d}v) (Gr3ρ(x,y,z)(x−x0)dv,Gr3ρ(x,y,z)(y−y0)dv,Gr3ρ(x,y,z)(z−z0)dv) d F x , d F y , d F z \mathrm{d}F_{x},\mathrm{d}F_{y},\mathrm{d}F_{z} dFx,dFy,dFz为引力元素 d F \mathrm{d}\bold{F} dF在三个坐标轴上的分量 G G G为引力常数 对 d F x , d F y , d F z \mathrm{d}F_{x},\mathrm{d}F_{y},\mathrm{d}F_{z} dFx,dFy,dFz在 Ω \Omega Ω上分别积分,得 F \bold{F} F ( F x , F y , F z ) (F_{x},F_{y},F_{z}) (Fx,Fy,Fz) ( ∭ Ω G ρ ( x , y , z ) ( x − x 0 ) r 3 d v , ∭ Ω G ρ ( x , y , z ) ( y − y 0 ) r 3 d v , ∭ Ω G ρ ( x , y , z ) ( z − z 0 ) r 3 d v ) \Large(\iiint_{\Omega}G\frac{\rho(x,y,z)(x-x_0)}{r^3}\mathrm{d}v, \iiint_{\Omega}G\frac{\rho(x,y,z)(y-y_0)}{r^3}\mathrm{d}v, \iiint_{\Omega}G\frac{\rho(x,y,z)(z-z_0)}{r^3}\mathrm{d}v) (∭ΩGr3ρ(x,y,z)(x−x0)dv,∭ΩGr3ρ(x,y,z)(y−y0)dv,∭ΩGr3ρ(x,y,z)(z−z0)dv) 对于薄片情形,将 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z)换为 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y)(体密度换为面密度),三重积分化为二重积分即可得到相应公式
