网站规划与设计案例,上海搬家公司排名第一,微信支付 网站备案,化妆品网站建设案例1 引言傅里叶级数 (Fourier Series, FS) 是《高等数学》中遇到的一个重要的级数#xff0c;它可以将任意一个满足狄利克雷条件的函数为一系列三角级数的和。最早由法国数学家傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出#xff0c;极大地推动了偏微分方程理论的发展。根据欧拉公…1 引言傅里叶级数 (Fourier Series, FS) 是《高等数学》中遇到的一个重要的级数它可以将任意一个满足狄利克雷条件的函数为一系列三角级数的和。最早由法国数学家傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出极大地推动了偏微分方程理论的发展。根据欧拉公式及其推导式傅里叶级数又可以推导出《信号与系统》中最重要的傅里叶变换(Fourier Transform, FT)。FT由于可以将信号从时域到频域来回变换分析信号的成分从而广泛应用于信号处理领域。在计算机处理中信号被离散化为采样点针对离散采样点的傅里叶变换成为了《数字信号处理》中的离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform, DFT)。但是由于DFT计算量过于庞大计算复杂度高1965年由J.W.库利和T.W.图基提出了最早版本的快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform, FFT)将计算量减少了几个量级从而使得计算机更加快速地处理信号从而促进通信、信号处理领域的快速发展。近年来由于量子计算机的兴起量子傅里叶变换Quantum Fourier Transform, QFT更是可以对FFT进行指数级别的加速。 由于这一系列变换出现在不同学科中老师在讲课时也是各自独立讲解所以大多数同学包括我对其中的似曾相识的公式一直分不清有什么区别和联系这篇文章着重于这一系列傅里叶算法的直接的相互推导。2 一维傅里叶级数(FS)2.1 周期性 首先写出傅里叶级数的表达式其中 , 是FS的系数也是我们需要求的参数若它们确定则即可被分解为N阶的FS。由于 因此上式可以改写为当 时 是周期为 的周期函数也是FS中周期最大的一组分量。我们取周期 其他分量在 中应该包含了多个完整的周期。此时有2.2 正交性 何为正交正交是线性代数中的概念即列向量a, b的内积为0就称这两向量正交。正交还可以不严谨地理解为这两组向量之间没有关系。同样地借鉴这个定义在连续函数中的正交为此时我们令 ,有积分是一个线性算符积分和等于和的积分上式可以看做两个三角函数分别积分。当 时无论 还是 均大于等于1因此它们的周期必然小于等于 。根据前面的结论有当 时上式变为前一项积分明显为0后一项为 。同理还可以尝试令 在此不再赘述可以得到结论在FS中每两个不同的级数之间存在两两正交关系。2.3 求系数 , 首先看 怎么求。令就是把要分解的函数和傅里叶级数同时做了积分等号右边可以拆为2N1个积分和根据前面的周期性可知除了第一项以外后面的项的积分均为0。故上式可以化简为这里的表达式就说明了 其实是函数的均值。接着我们尝试求 令其中 也是1~N中的一个值为了便于和 区分开来方便叙述。利用上面证明的周期性和正交性我们可以知道只有当 时积分结果才不为0其余均为0。故上式可以化简为故同理我们可以得到正弦分量的系数。最后结果为到这里所有FS的系数就能求出来了。但是这里有个比较诡异的地方当 时上式算出的 与我们之前算出的 不等为了保持k的延续性通常情况是用 表示FS的第一项。3 傅里叶变换(FT)3.1 FT和FS之间的关系 首先把傅里叶变换的公式写出来然后回到傅里叶级数。根据欧拉公式及其一个简单的变形代入到傅里叶级数中令 傅里叶级数变为变换后的系数 求解方式可以根据上面 求得。若 的定义域是 且 是非周期函数我们可以对 进行周期延拓认为它在定义域内为一个周期而 和 前所述在 中最少有1个周期上式不妨写为 所以当 时 与 间隔很小可视作连续。由于 在 内为一个周期也可以表示为在 内也是一个周期周期延拓。故上式写为令 , 由 替换 由 替换就出现了傅里叶变换的公式3.2离散傅里叶变换在计算机中我们不可能令 ,这样 与 仍被当做离散量这样一来积分号就变成了求和号上式可以写作因此我们就得到了能够被计算机执行的离散傅里叶变换的函数式。为便于理解先带个具体数据进去考虑。若采样的数据点为8频率分量个数也为8。用 来表示这种情况下的DFT函数。上面这些式子用矩阵表示为假设有个矩阵 右乘一个时域组成的列向量得到一个频域组成的列向量。将上面的一组求和式翻译成矩阵 为了便于观察令 矩阵中的 。上式可以写为根据 的周期性 可进一步化简。3.3 快速傅里叶变换从3.2节我们知道了要完成一次DFS需要用一个矩阵去乘以一个时域组成的列向量而这个矩阵大小与时域上的采样点和频域分量的个数有关。若它们的个数为 则上面的一个矩阵乘法包含 次数值乘法这当 较大时需要消耗大量的计算机资源。好在构成DFS的矩阵有着一定的特殊规律可以使用分治法使其只需要大约 次数值乘法即可完成工作。仍然以 为例不难看出 是一个正交对称阵实际上所有DFS构成的矩阵都是正交对称阵。交换 偶数列位置提到奇数列前面。而 与 只差一个奇偶置换矩阵 同样地我们还可以写出 同样地令 矩阵中的 值得注意的是 周期性故 又可以写为 左边4列中包含了两个 而右边4列是由系数和 共同组成。因此 又可以被写为其中 为单位阵 是一个对角阵。最后这样一来上面这个矩阵需要多少次乘法呢由于 是奇偶置换矩阵在计算机中是只需要移位不需要做乘法运算故显然主要的计算量在于 和 ,共计 次数值乘法 是对角阵需要额外4次乘法 是它的相反数不计入乘法次数。最后我们就将原本需要 次乘法变为了 次乘法。 同理我们还可以对 进一步拆分为 带入 中化简下此时需要的乘法数量为 推广到更一般的情况仍然可以使用类似上述的递归方式最后FFT的计算复杂度变为 4、量子傅里叶变换如果对量子逻辑门有一定了解的同学看到上面最终的递归化简式已经发现和量子逻辑门很像了。比如我们看那这不就是 门嘛。再比如 也可以分解成量子门的形式中间省略了归一化参数其中 为哈德玛门 为 的单位阵 为受控S门。 也可以分解成量子门的形式中间省略了归一化参数其中 相当于 的单位阵。 相当于 门。接着 我们观察置换矩阵 列出这两个的真值表不难发现 就相当于SWAP门根据 的递归表达式可以看出矩阵左乘向量顺序为先 再 它们的真值表变换如下列出合并后的真值表那这不就是1,3 qubit交换位置嘛。即整个 的递归式就可以写成中间省略了归一化参数量子电路如下有兴趣的可以对比一下与《量子计算与量子信息》书中盒子5.1是否是等价的电路。如果以基本量子门作为计算单元的话QFT的复杂度则只需
