给人做网站的,团队架构,php 网站开发工程师,怎么推广app文章目录 SVD和EVD基本概念具体计算中的关系 SVD和EVD基本概念
奇异值分解#xff08;Singular Value Decomposition#xff0c;SVD#xff09;和特征值分解#xff08;Eigenvalue Decomposition#xff0c;EVD#xff09;是矩阵分解的两种常见方法#xff0c;它们在线… 文章目录 SVD和EVD基本概念具体计算中的关系 SVD和EVD基本概念
奇异值分解Singular Value DecompositionSVD和特征值分解Eigenvalue DecompositionEVD是矩阵分解的两种常见方法它们在线性代数、统计学和机器学习等领域中经常被使用。虽然它们有一些相似之处但也存在一些重要的区别。 定义和形式: SVD奇异值分解 对于任意矩阵 ( A A A)SVD 将其分解为三个矩阵的乘积 ( A U Σ V T A U \Sigma V^T AUΣVT)其中 ( U U U) 和 ( V V V) 是正交矩阵( Σ \Sigma Σ) 是一个对角矩阵对角线上的元素称为奇异值。 EVD特征值分解 对于一个方阵 ( A A A)EVD 将其分解为三个矩阵的乘积 ( A Q Λ Q − 1 A Q \Lambda Q^{-1} AQΛQ−1)其中 ( Q Q Q) 是特征向量矩阵( Λ \Lambda Λ) 是特征值矩阵。 适用条件: SVD 可以用于任何矩阵包括非方阵。因此SVD 可以应用于任何矩阵的分解包括非方阵、矩阵的秩不满秩等情况。 EVD 仅适用于方阵。如果矩阵不是方阵需要使用广义特征值分解Generalized Eigenvalue Decomposition。 性质: SVD 奇异值是非负实数而且是矩阵的奇异值分解总是存在的。 EVD 特征值可以是复数而且并非所有矩阵都具有特征值分解。 唯一性: SVD 对于任意矩阵它的奇异值分解是唯一的。 EVD 并非所有矩阵都具有唯一的特征值分解。有些矩阵可能有多个特征值分解。
尽管 SVD 和 EVD 在某些方面有相似性但它们在应用和性质上有很大的区别。SVD 更加通用适用于任意矩阵而 EVD 主要用于方阵。在实际应用中选择使用哪种分解方法通常取决于问题的性质和所处理的数据。
具体计算中的关系
让我们重新考察方阵 ( A A A) 的奇异值分解SVD和 ( A T A A^TA ATA) 的特征值分解EVD之间的关系。
对于方阵 ( A A A)假设它的奇异值分解为 ( A U Σ V T A U \Sigma V^T AUΣVT)其中 ( U U U) 和 ( V V V) 是正交矩阵( Σ \Sigma Σ) 是对角矩阵对角线上的元素是奇异值。那么 ( A T A A^TA ATA) 的特征值分解为 ( A T A W Λ W − 1 A^TA W \Lambda W^{-1} ATAWΛW−1)其中 ( W W W) 是特征向量矩阵( Λ \Lambda Λ) 是特征值矩阵。
现在我们有 ( A U Σ V T A U \Sigma V^T AUΣVT)我们可以计算 ( A T A A^TA ATA)
[ A T A ( U Σ V T ) T ( U Σ V T ) V Σ T U T U Σ V T V Σ T Σ V T A^TA (U \Sigma V^T)^T (U \Sigma V^T) V \Sigma^T U^T U \Sigma V^T V \Sigma^T \Sigma V^T ATA(UΣVT)T(UΣVT)VΣTUTUΣVTVΣTΣVT]
这里( V V V) 是 ( A T A A^TA ATA) 的特征向量矩阵( Σ T Σ \Sigma^T \Sigma ΣTΣ) 是 ( A T A A^TA ATA) 的特征值矩阵。
总结一下对于方阵 ( A A A)其奇异值分解 ( A U Σ V T A U \Sigma V^T AUΣVT) 中的 ( V V V) 与 ( A T A A^TA ATA) 的特征值分解 ( A T A W Λ W − 1 A^TA W \Lambda W^{-1} ATAWΛW−1) 中的 ( V V V) 对应。特别地( V V V) 是正交矩阵正是 ( A T A A^TA ATA) 特征值分解中的特征向量矩阵。这就是它们之间的关系。
非常抱歉之前的混淆感谢你的耐心。希望这次的解释更为准确清晰。
