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A题 购房中的数学问题
原题再现 随着现代社会经济的快速发展#xff0c;房地产成为国家经济发展中重要的经济增长点之一。为了充分利用楼房建设的土地面积#xff0c;开发商经常会选择建筑高层住宅。在购买住房时#xff0c;影响消费者选择购房的因素…2016年五一杯数学建模
A题 购房中的数学问题
原题再现 随着现代社会经济的快速发展房地产成为国家经济发展中重要的经济增长点之一。为了充分利用楼房建设的土地面积开发商经常会选择建筑高层住宅。在购买住房时影响消费者选择购房的因素较多其中主要有地理位置、周边环境、交通便利性、住房户型、住房价格、采光、噪音污染、空气污染等。 目前在东经 117.17o北纬 34.18o 地理位置 A 处有高层建筑小区小区规划图见附件 1。不考虑降雨、下雪等影响日照的天气解决下列问题 问题 1建立数学模型求解 A 小区 14-2-802 房间(客厅)在冬至日9:00-16:00 间可以享受日照的时间区间(具体楼高和楼间距等相关参数见附件 1 和 4)。 问题 2 在问题 1 的基础上建立数学模型以 A 小区 14-2-802 房间(客厅)为例描述全年 365 天每一天可以享受日照的累计时间并给出 14-2-802房间(客厅)全年享受日照时间超过 6 小时的天数和日期。 问题 3假设在消费者 C 购房之前已经有一部分房间售出数据见附件2在仅考虑采光影响的条件下给出消费者 C 的最优选房方案。 问题 4在问题 3 的基础上建立选房模型要求考虑价格、交通、环境和噪音的影响给出此时消费者 C 最优选房方案。相关信息如下该小区售房价格方案:1-8 层为基价然后逐层增加层价最顶层单价为次顶层的 85%1-14#楼除 10、11、12 号楼三处河景房的基价为 4450 元/m2其他楼的基价为 4250 元/m2所有楼的层价均为 10 元/层。 小区北侧有一条美丽的河流河流北岸已经计划开发高架桥高架桥北300m 处为规划地铁口小区东侧为乡村公路和国有铁路西侧为国道南侧为街道且距离小区南侧 500m 有发电厂烟囱。 问题 5汽车停车位分布对于住户出行非常重要建立数学模型并说明附件 3 中 7#楼汽车车位分布是否合理考虑从停车位到电梯距离、楼层高度、上下班高峰期人流量等影响建立数学模型针对 7#楼重新设计合理的汽车车位分布方案。附件 3 中每车位的方格中第一行是车位号第二行是对应的房间号。
整体求解过程概述(摘要) 针对于问题一,通过观察14#的分布发现7 #和8#会影响14-8-802客厅的采光利用公式sinzsinxsinycosxcosycosv计算出冬至日不同时刻的太阳高度角[1]通过公式 H1H-L*tan(x)和H2H1/h计算出14#被前面的楼遮挡的高度,并以此作为依据得到 A 小区 14-2-802 房间(客厅)在冬至日 9:00-16:00 间可以享受日照的时间区间为[9:00,10:28]; [12:3114:19];[15:5116:00]。 针对于问题二根据公式4.4计算得出计算二十四个节气的太阳赤纬角以此得到每个节气14-2-802客厅采光的时间长度并用二十四个节气的太阳赤纬角近似这个节气中每一天的太阳赤纬角进而计算出全年日照总时间为 2015.175 个小时分析每个节气的采光时间找出采光时间为 6 个小时的日期区间根据模型一反推出太阳赤纬角的正弦值0.5843再计算出太阳赤纬角的正弦值0.5873相比较得到惊蛰后的第 11 天采光时间为 6 小时即 3 月 17 日同理可计算出寒露和秋分之间的采光时间为 6 小时的日期为 10 月 12 日由此可得14-2-802客厅全年享受日照时间超过 6 小时的天数为 209 天。 针对于问题三在仅考虑采光问题时我们从房间的日照时间和房间的类型等因素对每栋楼和每个单元进行综合评价。首先仅考虑在正午时刻南北方向楼栋间的遮挡楼层数。其次考虑在任意时刻楼栋间的遮挡楼层数及被遮挡日照的时间区间。最后利用点坐标求出楼间距和时角从而求出该楼在任意时刻被前面的楼所遮挡的时间区间。在仅考虑采光问题时综合被出售过的房间我们给出 C 消费者最优的购房方案为1-1,4#,5-2,6#整栋楼在冬至日任意时刻采光都较好。 针对于问题四本文在问题 3 的基础上从购房者角度出发综合考虑采光、价格、交通、环境、噪音等因素采用层次分析法[3]构建层次结构选房模型将采光、价格、交通、环境、噪音 5 个因素作为评价准则对文中所给条件进行量化并用楼号数和楼层两个因素来确定房间位置划分房间等级其中最优房间为 A类房间B 类房间次之包括 7#26-34 层8#26-34 层9#26-34 层。 针对于问题五通过分析7#的泊车位我们发现了 3 个不合理的地方。第一传统的平行泊车位第二7#本身是有一定的倾斜角度为9.15 第三车位排列分布不合理。进而我们通过汽车的最小转弯半径[10]建立数学模型利用公式4.10可以求出最优角度x58.20 再与楼的倾斜角度取平均得到x169.525在安排泊车位排列顺序的时候我们把楼层相对高的停车位安排到电梯附近从电梯附近依次向周围排列泊车位。
模型假设 1. 周年以 2015 年记 2. 用二十四节气的太阳高度角去近似该节气 15 天的太阳高度角 3. 假设太阳光线经过A,B和C ,D时是匀速的 4. 在问题 3 中以冬至日正午时太阳高度角计算接受日照情况 5. 除考虑因素其他因素对房间好坏影响可忽略不计 6. 假设环境、交通、噪音、采光、价格 5 个评价准则的权重是相等的 7. 假设以同一种车型计算最小转弯半径、车库宽度以及车库长度 8. 不考虑车库边线的宽度 9. 假设每辆车都按规定停放不超出泊车位边界线。
问题分析 针对于问题一通过观察14#的分布我们发现7#和8#会影响14-8-802客厅的采光利用公式sinzsinxsinycosxcosycosv计算出冬至日不同时刻的太阳高度角主要计算A ,B,C,D四点利用太阳高度角和楼层高度通过公式H1H-Ltan(x)和H2H1/h就可以计算出14#被前面的楼遮挡的高度计算出遮挡区间即可得到享受日照时间。 针对于问题二一年中每一天的太阳赤纬角是不同的一天钟每一时刻的太阳高度角也是不同的计算出每一天的太阳赤纬角和该天中不同时刻的太阳高度角那么就可以计算出7#和8#对14-2-802客厅采光的影响。根据公式4.4可以计算出一年中任何时刻的太阳赤纬角为方便计算我们用二十四个节气的太阳赤纬角[2]去近似这个节气中每一天的太阳赤纬角即每一节气的 15 天都用该节气的太阳赤纬角计算。得到每个节气14-2-802客厅采光的时间长度进而计算出全年日照总时间分析每个节气的采光时间找出采光时间为 6 个小时的日期区间再通过太阳时角和楼间距根据模型一反推出太阳赤纬角的正弦值0.5843再计算出太阳赤纬角的正弦值0.5873进行比较得到采光 6 小时的日期由此求得14-2-802客厅全年享受日照时间超过 6 小时的天数。 针对于问题三在仅考虑采光问题时我们从房间的日照时间和房间的类型等因素对每栋楼和每个单元进行综合评价通过公式sinzsinxsinycosxcosycosv计算出冬至日不同时刻的太阳高度角利用太阳高度角和楼层高度和通过公式H1H-L*tan(x)和H2H1/h可以计算出每栋楼被前面的楼遮挡的高度。其次在仅考虑在正午时刻南北方向楼栋间的遮挡楼层数从而可以求出正午时刻被遮挡的楼层数。最后考虑在任意时刻楼栋间的遮挡楼层数及被遮挡日照的时间区间我们利用点坐标可以求出楼间距和时角从而求出该楼在任意时刻被前面的楼所遮挡的时间区间给出最优方案。 针对于问题四针对问题 4本文在问题 3 的基础上从购房者角度出发综合考虑采光、价格、交通、环境、噪音等因素采用层次分析法构建层次结构选房模型将采光、价格、交通、环境、噪音 5 个因素作为评价准则对文中所给条件进行量化并用楼号数和楼层两个因素来确定房间位置划分房间等级给出最优方案。 针对于问题五通过分析7#的泊车位我们发现了 3 个不合理的地方。第一传统的平行泊车位第二7#本身是有一定倾斜角度的为9.15第三车位排列分布不合理进而我们通过汽车的最小转弯半径建立数学模型可以求出最优角度再与楼的倾斜角度取平均。在安排泊车位排列顺序的时候我们把楼层相对高的停车位安排到电梯附近从电梯附近一次往周围排列泊车位。
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程序代码(代码和文档not free)
1a[23.45 23.45 23.45 23.45];b[34.3 34.3 34.3 34.3];c[-23.24 7.44 34.57 57.58];d[83.01 82.27
97.20 108.89];
aa*pi/180;bb*pi/180;cc*pi/180;dd*pi/180;
hsin(a).*sin(b)cos(a).*cos(b).*cos(c);
h1asin(h);
z98.6-d.*tan(h1);
az/2.9
2%A 点
x[-23.45 -22.58 -20.08 -16.25 -11.37 -5.83 0 6.02 11.5 16.38 20.18 22.62 23.45 22.58 20.08 16.25 11.37
5.83 0 -6.02 -11.5 -16.38 -20.18 -22.62];
xx*pi/180;
hsin(x)*sin(34.3*pi/180)cos(x)*cos(34.3*pi/180)*cos(-23.3*pi/180);
h1asin(h);
z98.6-83.01*tan(h1);
az/2.9
3%B 点
x[-23.45 -22.58 -20.08 -16.25 -11.37 -5.83 0 6.02 11.5 16.38 20.18 22.62 23.45 22.58 20.08 16.25 11.37
5.83 0 -6.02 -11.5 -16.38 -20.18 -22.62];
xx*pi/180;
hsin(x)*sin(34.3*pi/180)cos(x)*cos(34.3*pi/180)*cos(7.44*pi/180);
h1asin(h);
z98.6-82.27*tan(h1);
bz/2.9
4 %C 点
x[-23.45 -22.58 -20.08 -16.25 -11.37 -5.83 0 6.02 11.5 16.38 20.18 22.62 23.45 22.58 20.08 16.25 11.37
5.83 0 -6.02 -11.5 -16.38 -20.18 -22.62];
xx*pi/180;
hsin(x)*sin(34.3*pi/180)cos(x)*cos(34.3*pi/180)*cos(34.57*pi/180);
h1asin(h);
z98.6-97.20*tan(h1);
cz/2.9
5 %D 点
x[-23.45 -22.58 -20.08 -16.25 -11.37 -5.83 0 6.02 11.5 16.38 20.18 22.62 23.45 22.58 20.08 16.25 11.37
5.83 0 -6.02 -11.5 -16.38 -20.18 -22.62];
xx*pi/180;
hsin(x)*sin(34.3*pi/180)cos(x)*cos(34.3*pi/180)*cos(57.58*pi/180);
h1asin(h);
z98.6-108.89*tan(h1);
dz/2.9%二十四节气日照时间计算
x[-23.45 -22.58 -20.08 -16.25 -11.37 -5.83 0 6.02 11.5 16.38 20.18 22.62 23.45 22.58 20.08 16.25 11.37
5.83 0 -6.02 -11.5 -16.38 -20.18 -22.62];
for i1:24
a[x(i) x(i) x(i) x(i)];b[34.3 34.3 34.3 34.3];c[-23.24 7.44 34.57 57.58];d[83.01 82.27 97.20 108.89];
aa*pi/180;bb*pi/180;cc*pi/180;dd;
hsin(a).*sin(b)cos(a).*cos(b).*cos(c);
h1asin(h);
z98.6-d.*tan(h1);fprintf(第%f 次输出,i);
lcsz/2.9
endnlength(a);
RI[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51];
wzeros(n,n);
%将矩阵 a 各列归一化
ssum(a);
for j1:n
a1(:,j)a(:,j)/s(j);
end
%将归一化的矩阵的各行相加
wsum(a1);
%将得到的和向量归一化得到特征向量
ssum(w);
ww/s;
%计算特征值
ca*w;
s0;
for i1:nssc(i)/w(i);
end
disp(特征值为)
lumdas/n
%进行一致性检验
CI(lumda-n)/(n-1);
CRCI/RI(n)
if CR0.1disp(通过一致性检验)disp(特征向量权重为)
w
else disp(没通过一致性检验,请重新进行成对比较)
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