_沈阳做网站,wordpress 網頁設計,开源影视cms系统,做网站所需要的项本专栏#xff1a;数学系的数字信号处理 的前置知识主要有#xff1a;数学分析#xff08;傅立叶级数的部分#xff09;#xff0c;泛函分析#xff08; L p L^p Lp空间的部分#xff09; 连续信号、滤波器与采样定理
我们在数学上粗略地定义信号和滤波器#xff0c;目… 本专栏数学系的数字信号处理 的前置知识主要有数学分析傅立叶级数的部分泛函分析 L p L^p Lp空间的部分 连续信号、滤波器与采样定理
我们在数学上粗略地定义信号和滤波器目的是快速理解相关知识的结构而不是花费大量的时间在细节上。 本文中的 F \mathscr{F} F 符号均指傅立叶变换我们也常记 F ( f ) \mathscr{F}(f) F(f) 为 f ^ \hat{f} f^
定义 信号即把实数域映到复数域的函数 f : R → C f:\mathbb{R}\to\mathbb{C} f:R→C一般是分段连续的
滤波器把信号映为信号的变换
定义时不变性 信号 f f f 的时不变算子是如下定义的 f a f_a fa f a ( t ) f ( t − a ) , a ∈ R f_a(t)f(t-a),a\in\mathbb{R} fa(t)f(t−a),a∈R滤波器 L L L 称为时不变的若对任意信号 f f f 和实数 a a a有 L ( f a ) ( L f ) a L(f_a)(Lf)_a L(fa)(Lf)a
定理线性时不变滤波器的结构 设 L L L 是分段连续信号 f f f 上的线性时不变滤波器则存在可积函数 h h h ,使得对任意信号 f f f 有 L ( f ) f ∗ h L(f)f*h L(f)f∗h 此时称 h h h 为冲激响应函数称 h h h 的傅立叶变换 h ~ \tilde{h} h~ 为系统函数
证明思路
引理线性时不变滤波器使输入输出同频 设线性时不变滤波器 L L L t t t 为自变量则 ∀ λ ∈ R \forall \lambda\in\mathbb{R} ∀λ∈R存在函数 h h h 使得 L ( e i λ t ) 2 π h ~ ( λ ) e i λ t L(e^{i\lambda t})\sqrt{2\pi}\tilde{h}(\lambda)e^{i\lambda t} L(eiλt)2π h~(λ)eiλt
引理的证明思路不严格 设 h λ ( t ) L ( e i λ t ) h^{\lambda}(t)L(e^{i\lambda t}) hλ(t)L(eiλt)由时不变性 h λ ( t − a ) L ( e i λ ( t − a ) ) h^{\lambda}(t-a)L(e^{i\lambda (t-a)}) hλ(t−a)L(eiλ(t−a))由线性性 L ( e i λ ( t − a ) ) e − i λ a h λ ( t ) L(e^{i\lambda (t-a)})e^{-i\lambda a}h^{\lambda}(t) L(eiλ(t−a))e−iλahλ(t)故 h λ ( t ) e i λ a h λ ( t − a ) h^{\lambda}(t)e^{i\lambda a}h^{\lambda}(t-a) hλ(t)eiλahλ(t−a)取 a t at at得到 h λ ( t ) e i λ t h λ ( 0 ) h^{\lambda}(t)e^{i\lambda t}h^{\lambda}(0) hλ(t)eiλthλ(0)再取 h ~ \tilde{h} h~使其满足 h ~ ( λ ) h λ ( 0 ) 2 π \tilde{h}(\lambda)\frac{h^{\lambda}(0)}{\sqrt{2\pi}} h~(λ)2π hλ(0)
注这个证明并没有解释结论形式的来源也未解释满足所要求 h ~ \tilde{h} h~ 的存在性
定理的证明不严格 L ( f ) ( t ) L F − 1 F ( f ) ( t ) L [ 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ^ ( λ ) e i λ t d λ ] L(f)(t)L\mathscr{F}^{-1}\mathscr{F}(f)(t)L[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\lambda)e^{i\lambda t}\mathrm{d}\lambda] L(f)(t)LF−1F(f)(t)L[2π 1∫−∞∞f^(λ)eiλtdλ]上式通过 Riemann 和近似可以得到 L ( f ) ( t ) ≈ L [ 1 2 π ∑ j f ^ ( λ j ) e i λ j t Δ λ ] 1 2 π ∑ j f ^ ( λ j ) L ( e i λ j t ) Δ λ ≈ 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ^ ( λ ) L ( e i λ t ) d λ 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ^ ( λ ) h ^ ( λ ) e i λ t d λ 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ∗ h ^ ( λ ) e i λ t d λ ( f ∗ h ) ( t ) \begin{split} L(f)(t)\approx L[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum\limits_j\hat{f}(\lambda_j)e^{i\lambda_j t}\Delta \lambda]\\ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum\limits_j\hat{f}(\lambda_j)L(e^{i\lambda_j t})\Delta \lambda\\ \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\lambda)L(e^{i\lambda t})\mathrm{d}\lambda\\ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\lambda)\hat{h}(\lambda)e^{i\lambda t}\mathrm{d}\lambda\\ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f*h}(\lambda)e^{i\lambda t}\mathrm{d}\lambda\\ (f*h)(t) \end{split} L(f)(t)≈L[2π 1j∑f^(λj)eiλjtΔλ]2π 1j∑f^(λj)L(eiλjt)Δλ≈2π 1∫−∞∞f^(λ)L(eiλt)dλ2π 1∫−∞∞f^(λ)h^(λ)eiλtdλ2π 1∫−∞∞f∗h^(λ)eiλtdλ(f∗h)(t)
定义因果滤波器 输入信号到达后才有输出信号的滤波器即 ∀ a ∈ R , ∀ t a , i f : f ( t ) 0 , t h e n : L f ( t ) 0 \forall a\in\mathbb{R},\forall ta,if: f(t)0,then:Lf(t)0 ∀a∈R,∀ta,if:f(t)0,then:Lf(t)0
定理因果滤波器的刻画 设线性时不变滤波器 L L L 的冲激响应函数为 h h h则 L L L 因果当且仅当 h ( t ) 0 ( t 0 ) h(t)0(t0) h(t)0(t0) 不加证明
推论相应于 L L L 的系统函数 h ^ \hat{h} h^ 在 L L L 因果的条件下可改写为 h ^ ( λ ) ∫ 0 ∞ 1 2 π h ( t ) e − i λ t d t L ( h ) ( i λ ) 2 π \hat{h}(\lambda)\int_0^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}h(t)e^{-i\lambda t}\mathrm{d}t\frac{\mathscr{L}(h)(i\lambda)}{\sqrt{2\pi}} h^(λ)∫0∞2π 1h(t)e−iλtdt2π L(h)(iλ)其中 L \mathscr{L} L 为拉普拉斯变换 L ( f ) ( t ) ∫ 0 ∞ f ( λ ) e − λ t d λ \mathscr{L}(f)(t)\int_0^{\infty}f(\lambda)e^{-\lambda t}\mathrm{d}\lambda L(f)(t)∫0∞f(λ)e−λtdλ
定义频率带限信号 即满足存在 Ω 0 \Omega0 Ω0使得 F ( f ) ( λ ) 0 ( ∣ λ ∣ Ω ) \mathscr{F}(f)(\lambda)0(|\lambda|\Omega) F(f)(λ)0(∣λ∣Ω) 的信号 f f f当 Ω \Omega Ω 是使上述条件成立的最小频率时称 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \Omgea at position 19: …riangleq \frac{\̲O̲m̲g̲e̲a̲}{2\pi} 为自然频率Nyquist频率 2 v 2v 2v 称为Nyquist 抽样率
定理Shannon-Whittaker抽样定理 设 F ( f ) \mathscr{F}(f) F(f) 分段光滑且连续且信号 f f f 带限 Ω \Omega Ω则 f f f 可由可数个点确定即 f ( t ) ∑ j − ∞ ∞ f ( t j ) sin [ Ω ( t − t j ) ] Ω ( t − t j ) f(t)\sum\limits_{j-\infty}^{\infty}f(t_j)\frac{\sin{[\Omega(t-t_j)]}}{\Omega(t-t_j)} f(t)j−∞∑∞f(tj)Ω(t−tj)sin[Ω(t−tj)]其中 t j j π Ω , j 0 , ± 1 , ± 2 , … t_j\frac{j\pi}{\Omega},j0,\pm 1,\pm 2,\dots tjΩjπ,j0,±1,±2,…
证明 先将 f ^ ( λ ) \hat{f}(\lambda) f^(λ) 在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [−π,π] 上展为傅立叶级数则 f ^ ( λ ) ∑ k − ∞ ∞ c k e i π k λ Ω \hat{f}(\lambda)\sum\limits_{k-\infty}^{\infty}c_ke^{i\pi k\frac{\lambda}{\Omega}} f^(λ)k−∞∑∞ckeiπkΩλ其中 c k 1 2 Ω ∫ − Ω Ω f ^ ( λ ) e − i π k λ Ω d λ 2 π 2 Ω 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ^ ( λ ) e − i π k λ Ω d λ 2 π 2 Ω f ( − k π Ω ) \begin{split} c_k\frac{1}{2\Omega}\int_{-\Omega}^{\Omega}\hat{f}(\lambda)e^{-i\pi k\frac{\lambda}{\Omega}}\mathrm{d}\lambda\\ \frac{\sqrt{2\pi}}{2\Omega}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\lambda)e^{-i\pi k\frac{\lambda}{\Omega}}\mathrm{d}\lambda\\ \frac{\sqrt{2\pi}}{2\Omega}f(-\frac{k\pi}{\Omega}) \end{split} ck2Ω1∫−ΩΩf^(λ)e−iπkΩλdλ2Ω2π 2π 1∫−∞∞f^(λ)e−iπkΩλdλ2Ω2π f(−Ωkπ)则 f ( t ) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ^ ( λ ) e i λ t d λ ∫ − Ω Ω ∑ k − ∞ ∞ f ( t j ) 2 Ω e i λ ( t − t j ) d λ ∑ k − ∞ ∞ f ( t j ) 2 Ω ∫ − Ω Ω e i λ ( t − t j ) d λ ∑ j − ∞ ∞ f ( t j ) sin [ Ω ( t − t j ) ] Ω ( t − t j ) \begin{split} f(t)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\lambda)e^{i\lambda t}\mathrm{d}\lambda\\ \int_{-\Omega}^{\Omega}\sum\limits_{k-\infty}^{\infty}\frac{f(t_j)}{2\Omega}e^{i\lambda(t-t_j)}\mathrm{d}\lambda\\ \sum\limits_{k-\infty}^{\infty}\frac{f(t_j)}{2\Omega}\int_{-\Omega}^{\Omega}e^{i\lambda(t-t_j)}\mathrm{d}\lambda\\ \sum\limits_{j-\infty}^{\infty}f(t_j)\frac{\sin{[\Omega(t-t_j)]}}{\Omega(t-t_j)} \end{split} f(t)2π 1∫−∞∞f^(λ)eiλtdλ∫−ΩΩk−∞∑∞2Ωf(tj)eiλ(t−tj)dλk−∞∑∞2Ωf(tj)∫−ΩΩeiλ(t−tj)dλj−∞∑∞f(tj)Ω(t−tj)sin[Ω(t−tj)]
注此定理中的级数一致收敛但收敛速度很慢
定义分辨率 设 f ∈ L 2 ( R ) f\in L^2(\mathbb{R}) f∈L2(R)则 f f f 在 a ∈ R a\in\mathbb{R} a∈R 处的分辨率定义为 Δ a f ∫ − ∞ ∞ ( t − a ) 2 ∣ f ( t ) ∣ 2 d t ∫ − ∞ ∞ ∣ f ( t ) ∣ 2 d t \Delta_af\frac{\int_{-\infty}^{\infty}(t-a)^2|f(t)|^2\mathrm{d}t}{\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2\mathrm{d}t} Δaf∫−∞∞∣f(t)∣2dt∫−∞∞(t−a)2∣f(t)∣2dt
性质 f f f 的图像越集中在 t a ta ta 处则 Δ a f \Delta_af Δaf 越小
定理不确定性原理 设 f ∈ L 2 ( R ) , f ( ∞ ) 0 f\in L^2(\mathbb{R}),f(\infty)0 f∈L2(R),f(∞)0则对任意 a , α ∈ R a,\alpha\in\mathbb{R} a,α∈R有 Δ a f Δ α f ^ ≥ 1 4 \Delta_af\Delta_{\alpha}\hat{f}\geq \frac{1}{4} ΔafΔαf^≥41
证明 可以验证 { ( d d t − i α ) ( t − a ) } f − { ( t − a ) ( d d t − i α ) } f f \{(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-i\alpha)(t-a)\}f-\{(t-a)(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-i\alpha)\}ff {(dtd−iα)(t−a)}f−{(t−a)(dtd−iα)}ff不失一般性设 ∣ ∣ f ∣ ∣ 1 ||f||1 ∣∣f∣∣1 则 ∣ ∣ f ∣ ∣ ( d d t − i α ) ( t − a ) f , f ( t ) − ( t − a ) ( d d t − i α ) f , f ( t ) ( t − a ) f ( t ) , ( − d d t i α ) f − ( d d t − i α ) f , ( t − a ) f ( t ) 1 \begin{split} ||f||(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-i\alpha)(t-a)f,f(t)-(t-a)(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-i\alpha)f,f(t)\\ (t-a)f(t),(-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}i\alpha)f-(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-i\alpha)f,(t-a)f(t)\\ 1 \end{split} ∣∣f∣∣(dtd−iα)(t−a)f,f(t)−(t−a)(dtd−iα)f,f(t)(t−a)f(t),(−dtdiα)f−(dtd−iα)f,(t−a)f(t)1结合三角不等式Schwarz不等式有 1 ≤ 2 ∣ ∣ ( d d t − i α ) f ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ( t − a ) f ( t ) ∣ ∣ 2 ∣ ∣ ( λ − a ) f ^ ( λ ) ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ( t − a ) f ( t ) ∣ ∣ 2 Δ a f Δ α f ^ \begin{split} 1\leq 2||(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-i\alpha)f||\cdot ||(t-a)f(t)||\\ 2||(\lambda-a)\hat{f}(\lambda)||\cdot||(t-a)f(t)||\\ 2\sqrt{\Delta_af\Delta_{\alpha}\hat{f}} \end{split} 1≤2∣∣(dtd−iα)f∣∣⋅∣∣(t−a)f(t)∣∣2∣∣(λ−a)f^(λ)∣∣⋅∣∣(t−a)f(t)∣∣2ΔafΔαf^
