厦门酒店团购网站建设,建站软件排名,正品手表网站,网络建站公司源码本文是将文章《线性可分支持向量机的原理推导》中的公式单独拿出来做一个详细的解析#xff0c;便于初学者更好的理解。 公式 9-29 是支持向量机#xff08;SVM#xff09;优化过程中 Karush-Kuhn-Tucker#xff08;KKT#xff09; 条件的一个部分#xff0c;表示对偶可行…本文是将文章《线性可分支持向量机的原理推导》中的公式单独拿出来做一个详细的解析便于初学者更好的理解。 公式 9-29 是支持向量机SVM优化过程中 Karush-Kuhn-TuckerKKT 条件的一个部分表示对偶可行性条件Dual Feasibility Condition。它要求拉格朗日乘子 α i ∗ \alpha_i^* αi∗ 必须是非负的。这个条件是拉格朗日对偶问题的基本要求之一用于确保优化问题的解在对偶空间是可行的。
公式 9-29 的表达式如下 α i ∗ ≥ 0 , i 1 , 2 , … , N \alpha_i^* \geq 0, \quad i 1, 2, \dots, N αi∗≥0,i1,2,…,N
1. 公式的含义
公式 9-29 表示在支持向量机的优化问题中所有拉格朗日乘子 α i ∗ \alpha_i^* αi∗ 必须是非负的 α i ∗ \alpha_i^* αi∗ 是第 i i i 个样本点对应的最优拉格朗日乘子。这些乘子用于表示每个样本对优化问题的贡献。非负性要求 α i ∗ ≥ 0 \alpha_i^* \geq 0 αi∗≥0 的意思是拉格朗日乘子 α i ∗ \alpha_i^* αi∗ 不能是负值。只有正的或零的拉格朗日乘子才是合理的因为它们代表样本对分类器构造的贡献程度。
2. 公式的背景与推导
SVM 的优化问题是一个带有约束条件的优化问题通过拉格朗日乘子法进行求解。具体来说SVM 的目标是最小化超平面的法向量 w w w 的二次范数 1 2 ∥ w ∥ 2 \frac{1}{2} \|w\|^2 21∥w∥2同时满足分类约束 y i ( w T x i b ) ≥ 1 , i 1 , 2 , … , N y_i (w^T x_i b) \geq 1, \quad i 1, 2, \dots, N yi(wTxib)≥1,i1,2,…,N
为了处理这些约束SVM 构造了拉格朗日函数将目标函数和约束结合在一起 L ( w , b , α ) 1 2 ∥ w ∥ 2 − ∑ i 1 N α i ( y i ( w T x i b ) − 1 ) L(w, b, \alpha) \frac{1}{2} \|w\|^2 - \sum_{i1}^{N} \alpha_i \left( y_i (w^T x_i b) - 1 \right) L(w,b,α)21∥w∥2−i1∑Nαi(yi(wTxib)−1) α i \alpha_i αi 是拉格朗日乘子它们表示约束对目标函数的贡献。拉格朗日乘子法的理论要求对于不等式约束如 y i ( w T x i b ) ≥ 1 y_i (w^T x_i b) \geq 1 yi(wTxib)≥1拉格朗日乘子 α i \alpha_i αi 必须是非负的即 α i ≥ 0 \alpha_i \geq 0 αi≥0。
这就是为什么我们有公式 9-29 的约束条件。
3. 对偶可行性条件的解释
对偶可行性条件Dual Feasibility Condition要求拉格朗日乘子必须为非负值这在优化理论中是处理不等式约束的基本要求。该条件确保解的合理性即样本点的贡献程度不能是负的。否则它将违反物理或逻辑意义上的约束。
原因
拉格朗日乘子 α i \alpha_i αi 用来表示样本点的影响力。如果 α i 0 \alpha_i 0 αi0这意味着对应样本对分类器的影响是“反向的”或不合理的。在支持向量机中只有那些 α i ∗ 0 \alpha_i^* 0 αi∗0 的点即支持向量对超平面的构造有影响。如果 α i ∗ 0 \alpha_i^* 0 αi∗0则该样本点不会对分类器的构造产生影响。
因此非负性条件 α i ∗ ≥ 0 \alpha_i^* \geq 0 αi∗≥0 确保每个样本对分类器的贡献是非负的这符合拉格朗日乘子法处理不等式约束的要求。
4. 几何意义
几何上公式 9-29 保证了在 SVM 的分类过程中只有那些距离超平面较近的点即支持向量会对分类器的构造产生影响而远离超平面的点非支持向量的拉格朗日乘子 α i ∗ 0 \alpha_i^* 0 αi∗0它们对分类器的构造没有影响。 支持向量对于 α i ∗ 0 \alpha_i^* 0 αi∗0 的样本点它们是支持向量位于分类超平面的边界上直接影响超平面的构造。 非支持向量对于 α i ∗ 0 \alpha_i^* 0 αi∗0 的样本点它们远离分类超平面虽然被正确分类但不影响分类器的构造。
5. 物理解释 正值拉格朗日乘子当 α i ∗ 0 \alpha_i^* 0 αi∗0 时表示该样本点是支持向量对分类器超平面的构造起到了实际作用。它们位于分类边界上定义了分类器的决策边界。 零拉格朗日乘子当 α i ∗ 0 \alpha_i^* 0 αi∗0 时表示该样本点距离分类超平面较远它不会对分类器的决策边界产生任何影响。这些点不作为支持向量。
这个条件确保了支持向量机在优化过程中只会选择对超平面有实际影响的样本点参与构造超平面而忽略那些对分类器没有影响的样本。
6. 在 SVM 中的作用
在 SVM 的优化过程中公式 9-29 的作用是筛选支持向量。它确保只有那些 α i ∗ 0 \alpha_i^* 0 αi∗0 的点才对分类器有影响而其他 α i ∗ 0 \alpha_i^* 0 αi∗0 的点不会影响分类器的构造。这是对偶可行性条件的基本作用。
具体作用如下
确保非负性公式 9-29 确保了拉格朗日乘子 α i ∗ \alpha_i^* αi∗ 的非负性避免了违反物理意义的解出现。筛选支持向量它通过非负性条件筛选出哪些点对分类器有实际影响支持向量哪些点没有影响非支持向量。优化问题的合理性拉格朗日乘子法在处理不等式约束时必须满足拉格朗日乘子的非负性条件。公式 9-29 正是这个非负性条件在 SVM 优化中的体现确保优化问题的合理解。
7. 总结
公式 9-29 是支持向量机中的一个关键条件它是拉格朗日乘子法中的对偶可行性条件要求所有拉格朗日乘子 α i ∗ \alpha_i^* αi∗ 必须为非负。这确保了优化问题在对偶空间的合理性并且通过这一条件SVM 能够筛选出哪些样本点对分类超平面的构造产生实际影响支持向量。
