小型企业建站公司,计算机软件开发工资高吗,微商城和小程序商城有什么区别?,做一个美食网站怎么做目录 对称矩阵 Symmetric matrices实特征值 Real eigenvalues正定矩阵 Positive definite matrices 对称矩阵是最重要的矩阵之一#xff0c;其特征值为实数并且拥有一套正交特征向量。正定矩阵的性质则更好。 对称矩阵 Symmetric matrices
包含特殊性质的矩阵#xff0c;例如… 目录 对称矩阵 Symmetric matrices实特征值 Real eigenvalues正定矩阵 Positive definite matrices 对称矩阵是最重要的矩阵之一其特征值为实数并且拥有一套正交特征向量。正定矩阵的性质则更好。 对称矩阵 Symmetric matrices
包含特殊性质的矩阵例如 Markov 矩阵其特征值和特征向量往往拥有一定特性。对称矩阵 A A T AA^T AAT的特征值为实数具有完全正交的特征向量。这里的“有”是指可以选出一套完全正交的特征向量例如在重特征值条件下可能存在一个平面内向量都可以作为特征向量。
如果 A 具有 n 个线性无关的特征向量可以对角化得到 A S Λ S − 1 ASΛS^{-1} ASΛS−1。而对于对称矩阵 A Q Λ Q − 1 Q Λ Q T AQΛQ^{-1}QΛQ^T AQΛQ−1QΛQT其中 Q 为正交矩阵列向量为标准正交基这个公式本身还显示了矩阵的对称性。矩阵能够进行这种分解在数学上称为“谱定理”spectral theorem将特征值视为“谱”在物理上称之为“主轴定理”。
实特征值 Real eigenvalues 对于对称矩阵 A Q Λ Q − 1 Q Λ Q T AQΛQ^{-1}QΛQ^T AQΛQ−1QΛQT可以写作
矩阵是 q k q k T ( q k q k T / ( q k T q k ) ) q_kq_k^T(q_kq_k^T/(q_k^Tq_k)) qkqkT(qkqkT/(qkTqk))是朝向向量 q k q_k qk 的投影矩阵所以每一个对称矩阵都是正交投影矩阵的线性组合。这是理解谱定理的另一种方法。
当确认矩阵特征值为实数后下一个要考虑的问题就是它是正还是负数因为这影响着微分方程中体系的稳定与否。但是对于大型矩阵通过计算 ∣ A − λ I ∣ \begin{vmatrix} A-λI \end{vmatrix} A−λI 得到特征值进行判定难以实现即使用 MATLAB 求解结果也不一定可靠但 MATLAB可以得到矩阵的主元而对称阵的主元中正负数的个数与特征值相同即正主元的数目等于正特征值的数目。
矩阵 AbI 的特征值比矩阵 A 的特征值大 b可以通过 AbI 的主元来了解矩阵 A 的特征值与 b 的大小关系因此利用这个性质可以估计特征值的状态。
正定矩阵 Positive definite matrices
正定矩阵 A 是特征值都为正数的对称矩阵。它的主元也均为正数。
例如矩阵 A [ 5 2 2 3 ] \begin{bmatrix} 52\\23 \end{bmatrix} [5223] 。主元为 5 和(detA)/511/5。主元都为正数且本身为对称矩阵因此 A 是正定矩阵。计算其特征值为 ∣ A − λ I ∣ λ 2 − 8 λ 11 0 , λ 4 ± 5 \begin{vmatrix} A-λI \end{vmatrix} λ^2-8λ110,λ 4±\sqrt{5} A−λI λ2−8λ110,λ4±5 。
因为主元和特征值都是正的可以知道正定矩阵的行列式也是正的。但是反之并不成立。矩阵 [ − 1 0 0 − 3 ] \begin{bmatrix} -10\\0-3 \end{bmatrix} [−100−3]的行列式也是正的但不是正定矩阵。
若将行列式作为正定的判据则要求 n 阶矩阵左上角的所有 k x k1 k n子行列式subdeterminant数值均为正矩阵才能确定为正定矩阵。
本讲的内容将之前教授的主元、行列式和特征值的概念结合在了一起对于正定矩阵这些都是正的当完全掌握了它们的性质后会推广到非对称矩阵甚至非方阵。
