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首先#xff0c;概率论研究的基础是概率空间。概率空间由一个样本空间和一个概率测度组成#xff0c;样本空间包含了所有可能的结果… 概率是随机的基础在【概率论概要】这个部分中仅记录学习随机过程及应用的基本定义和结果。 前言
首先概率论研究的基础是概率空间。概率空间由一个样本空间和一个概率测度组成样本空间包含了所有可能的结果 而概率测度则描述了每个结果发生的可能性大小。研究者通过定义适当的概率测度可以更准确地描述各种随机现象的发生概率。 一、概率空间 (Ω,F,P)
Sample space 样本空间随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间记为 Ω。注每个结果需要互斥所有可能结果必须被穷举
Set of events 事件集合是Ω的一些子集构成的集合记为 F并且它需要满足以下三点特性也就是必须是δfield
Probability measure 概率测度或概率描述一次随机试验中被包含在F 中的所有事件的可能性记为P。
样本点(Sample point)随机试验E的每一个最简单的试验结果记为。样本空间( Sample space)全体样本点构成的集合称为样本空间Ω事件(Event):
样本空间的子集组成的集类F称为随机事件体域)。随机事件体F的任意元素A称为随机事件。
样本空间o和F的二元体(Ω,F)称为可测空间。概率(Probability)每个事件一个可能性的度量值。
1、随机试验
定义如果一个实验E满足下列条件
在相同的条件下可以重复进行 每次试验的结果不止一个并且能事先明确试验的所有结果 一次试验结束之前不能确定哪一个结果会出现。
称此试验为随机试验。 随机试验Experiment结果无法预先确定的试验。 随机试验的结果称为事件。
2、集论初步
在概率论中事件和事件的集合起主要作用。事件的数学理论和集论有密切关系用集论描述随机过程的事件。
把为了某种目的而研究的对象全体称为集合简称为集。有某些特定性质的对象的全体每一个属于这种集的对象,称为集元素。集合用大写字母A、B、C、…表示元素用小写字母a、b、c、e、w、…表示一些集组成的集叫类我们用草写字母表示。
不包含任何元素的集合称为空集包含所研究问题的全体对象即:包含所考虑的所有集的所有元素的“最大”集合称为空间Ω
集合的运算 3、样本空间、随机事件体
随机试验E的每一个最简单的试验结果称为样本点记为。全体样本点构成的集合称为样本空间记为Ω。 集合论和概率论的专业术语对应关系如下表所示 4、概率与概率空间 概率的性质与基本公式 6连续性 5、条件概率 6、乘法公式事件的独立性 随机事件的独立性 7、全概率公式与贝叶斯公式 二、随机变量及其分布
1、随机变量 2、分布函数 3、离散型随机变量及其分布律 4、连续型随机变量 5、常见的随机变量及其分布
两点分布
两点分布也称为伯努利分布是概率论中一种离散概率分布描述了一个随机变量取两个可能值之一的情况。这两个可能的取值通常被标记为0和1或者成功和失败。该分布得名的原因是它只涉及到两个点。
两点分布的概率质量函数PMF可以表示为 其中p 是成功的概率1−p 是失败的概率。这样的分布通常用于描述一次伯努利试验的结果其中只有两个可能的结果。
两点分布的期望值均值和方差分别为
E(X)pVar(X)p(1−p)
其中X 是随机变量p 是成功的概率。
二项分布
二项分布Binomial Distribution是概率论中一种离散概率分布描述了在进行一系列独立的伯努利试验中成功的次数。每次试验只有两种可能的结果通常称为成功success和失败failure。
假设进行了 n 次独立的伯努利试验每次试验成功的概率为 p失败的概率为 1−p。随机变量 X 表示成功的次数则 X 的概率质量函数Probability Mass FunctionPMF为 其中(kn) 表示组合数即从 n 次试验中选择 k 次成功的组合数。
二项分布的期望值均值和方差分别为
E(X)np
Var(X)np(1−p)
这表明在进行多次独立的伯努利试验时成功的次数的期望值等于每次试验成功的概率乘以试验次数方差等于期望值乘以失败的概率。
二项分布在概率论和统计学中广泛应用特别是在描述二元事件的发生次数的情况下如硬币抛掷、医学研究中的治疗效果、制造业的质检等。
均匀分布
在二维均匀分布中随机变量(X,Y) 在一个矩形区域内均匀分布。概率密度函数为 其中区域的面积决定了概率密度的大小。
均匀分布具有简单且直观的性质适用于许多实际问题的建模例如在一定范围内的随机实验或随机变量。均匀分布在统计学、概率论、模拟和随机过程等领域中经常被使用。
高斯分布
高斯分布也被称为正态分布Normal Distribution是概率论和统计学中最为重要的分布之一。它具有许多重要的性质对于自然界中的许多现象和实验结果都有很好的描述。
高斯分布的概率密度函数Probability Density FunctionPDF为 其中x 是随机变量的取值μ 是均值期望值σ 是标准差。这个分布的图像呈钟形关于均值对称。
高斯分布的期望值均值为 μ方差为 2σ2。标准差 σ 控制了曲线的宽度曲线越宽表示数据越分散。
高斯分布在自然界中的许多现象中都能够找到比如测量误差、身高分布、温度分布等。中心极限定理表明当独立随机变量的和足够多时它们的分布趋向于高斯分布。这使得高斯分布在统计学和概率论中被广泛应用特别是在推断统计、假设检验和机器学习等领域。
三、随机变量的数字特征
1、数字期望 2、方差 3、矩、协方差 4、随机变量数字特征的性质 四、条件数学期望
五、特征函数
1、定义与性质
一般而言对于随机变量X的分布大家习惯用概率密度函数来描述虽然概率密度函数理解起来很直观但是确实随机变量的分布还有另外的描述方式比如特征函数。
特征函数的本质是概率密度函数的泰勒展开每一个级数表示原始概率密度函数的一个特征如果两个分布的所有特征都相同那我们就认为这是两个相同的分布矩是描述概率分布的重要特征期望、方差等概念都是矩的特殊形态
随机变量X的特征函数 其中i是虚数单位t是任意实数E[⋅]表示期望。
性质 存在性 对于任何随机变量X它的特征函数总是存在的。 唯一性 不同的随机变量可能具有相同的特征函数但如果两个随机变量的特征函数在某个范围内相等则它们在分布上相同。 特征函数与分布的关系 如果两个随机变量具有相同的特征函数则它们具有相同的分布。 特征函数的对称性 如果X是一个实随机变量其特征函数为φ(t)则对于任意实数t有 ϕ(−t)ϕ(t)其中ϕ(t)表示φ(t)的共轭复数。 特征函数的加法性 如果X和Y是相互独立的随机变量它们的特征函数分别为φX(t)和φY(t)那么它们的和Z X Y 的特征函数为 ϕZ(t)ϕX(t)⋅ϕY(t)。 中心极限定理 如果X1, X2, ..., Xn是独立同分布的随机变量具有相同的期望μ和方差σ^2则它们的和标准化后的特征函数在n趋于无穷大时趋近于正态分布的特征函数。
特征函数在概率论和统计学中有广泛的应用它提供了一种便捷的方式来研究随机变量的性质和相互关系。
针对概率密度函数为f ( x )的连续随机变量X特征函数写作 2、多维随机变量的特征函数 存在性 对于任何多维随机变量 X其特征函数总是存在的。 唯一性 不同的随机变量可能具有相同的特征函数但如果两个随机变量的特征函数在某个范围内相等则它们在分布上相同。 特征函数与分布的关系 如果两个多维随机变量具有相同的特征函数则它们具有相同的分布。 特征函数的对称性 如果多维随机变量 X 的特征函数为ϕX(t)则对于任意实数向量 t有 ϕX(−t)ϕX(t)其中 ϕX(t) 表示特征函数的共轭复数。 多维随机变量的独立性 如果多维随机变量 X 和 Y 是相互独立的它们的特征函数分别为 ϕX(t) 和 ϕY(t)那么它们的组合 ZXY 的特征函数为 ϕZ(t)ϕX(t)⋅ϕY(t)。
六、收敛性与极限定理
1、收敛性 2、大数定理 3、中心极限定理 总结
以上就是今天要讲的内容仅仅简单介绍了一些概率论的基本概念。
