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贝赛尔曲线的前世今生#xff1a;
贝塞尔曲线#xff0c;这个命名规则一眼看上去大概是一个叫贝塞尔的数学家发明的。但#xff0c;贝塞尔曲线依据…文章参考于https://www.jianshu.com/p/0c9b4b681724 https://gameinstitute.qq.com/community/detail/129188
贝赛尔曲线的前世今生
贝塞尔曲线这个命名规则一眼看上去大概是一个叫贝塞尔的数学家发明的。但贝塞尔曲线依据的最原始的数学公式是在1912年在数学界广为人知的伯恩斯坦多项式。简单理解伯恩斯坦多项式可以用来证明在[ a, b ] 区间上所有的连续函数都可以用多项式来逼近并且收敛性很强也就是一致收敛。再简单点就是一个连续函数你可以将它写成若干个伯恩斯坦多项式相加的形式并且随着 n→∞这个多项式将一致收敛到原函数这个就是伯恩斯坦斯的逼近性质。
时光荏苒岁月如梭镜头切换到了1959年。当时就职于雪铁龙的法国数学家 Paul de Casteljau 开始对伯恩斯坦多项式进行了图形化的尝试并且提供了一种数值稳定的德卡斯特里奥de Casteljau 算法。多数理论公式是建立在大量且系统的数学建模基础之上研究的规律性成果根据这个算法就可以实现 通过很少的控制点去生成复杂的平滑曲线也就是贝塞尔曲线。
但贝塞尔曲线的声名大噪不得不提到1962年就职于雷诺的法国工程师皮埃尔·贝塞尔Pierre Bézier他使用这种方法来辅助汽车的车体工业设计最早计算机的诞生则是为了帮助美国海军绘制弹道图并且广泛宣传典型的理论联系实际并获得成功的示例因此大家称为贝塞尔曲线 。
贝赛尔曲线的数学理论
既然贝赛尔曲线的本质是通过数学计算公式去绘制平滑的曲线那就可以通过数学工具进行实际求证以及解释说明。当然对其进行数学求证就没必要了因为这些伟大的数学家们已经做过了这里只是解释说明
步骤一在平面内选3个不同线的点并且依次用线段连接。如下所示..3点连线步骤二在AB和BC线段上找出点D和点E使得 AD/AB BE/BC AD/AB BE/BC 步骤三连接DE在DE上寻找点FF点需要满足DF/DE AD/AB BE/BC DF/DE AD/AB BE/BC 步骤四最最重要的根据DE线段和计算公式找出所有的F点记住是所有的F点然后将其这些点连接起来。那连接规则是什么以上图为例第一个连接点是A-F第二连接点是A-F1这个F1必须满足DF1/DE AD/AB BE/BC以此类推直到最后连接上C点下面上一个动图加深理解 贝塞尔曲线 可能有些朋友还是不理解那么这个GIF我截下其中的一张图说明如下图 示例说明 动图里的P0、P1、P2分别代表的是上图的P0 AP1 BP2 C。那么这个黑色点代表的就是F点绿色线段的2个端点P0-P1线段上的绿色点代表是就是D点P0-P2线段上的绿色点代表是就是E点。线段上面点的获取必须要满足等比关系。 关于贝赛尔曲线的基本数学理论大概就是上面的内容。两个线段根据等比关系找点的贝塞尔曲线一般也称为二阶贝塞尔曲线。 贝赛尔曲线的N阶拓展三阶贝塞尔与N阶贝塞尔曲线 刚才说到上面的贝赛尔曲线一般称为二阶贝塞尔曲线既然是二阶贝塞尔曲线那肯定有三阶贝塞尔曲线、四阶贝赛尔曲线等等。其实三阶贝塞尔与四阶贝赛尔曲线以及N阶贝赛尔曲线曲线的规则都是一样的都是先在线段上找点这个点必须要满足等比关系然后依次连接下面是三阶贝赛尔曲线的解释说明 步骤一三阶贝赛尔曲线简单理解就是在平面内选4个不同线的点并且依次用线段连接也就是三条线。如下所示 四点三线 步骤二同二阶贝塞尔曲线一样首先需要在线段上找对应的点E、F、G对应的点必须要符合等比的计算规则计算规则如下AE/AB BF/BC CG/CD找到对应的点以后接着依次链接EF、FG接着在EF、FG线段上面继续找点H、I对应的点依旧要符合等比的计算规则也就是 EH/EF FI/FG最后连接H、I线段在HI线段上面继续找点J、点J的计算规则需要符合EH/EF FI/FG HJ/HI 三阶贝赛尔曲线找点 步骤三重复步骤二的动作找到所有的J点依次将J点连接起来这样最终完成了三阶贝赛尔曲线。 J点依次连线 整一个三阶贝赛尔曲线的动作加起来就是下面的一张动图 三阶贝塞尔 那么四阶贝赛尔曲线的实现步骤也是一样的平面上先选取5个点5点4线、依次选点满足等比关系、依次连接、根据计算规则找到所有的点逐个连接。。。。。。 四阶贝赛尔曲线 貌似都是从二阶贝塞尔曲线说起的那么一阶贝赛尔又是怎么样的一阶贝赛尔如图 一阶贝赛尔 可以看到一阶贝赛尔是一条直线因此N阶贝赛尔不仅可以画平滑的曲线也可以画直线因此自定义控件画直线又多了一种可选择的方式但是一般用贝赛尔主要是画曲线这里只是提供了一种别的解决思路另外在Android属性动画系统为我们提供了一个PathInterpolator插值器。这个PathInterpolator里面就有贝塞尔曲线的身影。有兴趣的小伙伴也可以去了解一下。
线性公式
给定点P0、P1线性贝兹曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出 // 线性Vector3 Bezier(Vector3 p0, Vector3 p1, float t)return (1 - t) * p0 t * p1;
且其等同于线性插值。 二次方公式
二次方贝兹曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数Bt追踪 // 二阶曲线Vector3 Bezier(Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2, float t)Vector3 p0p1 (1 - t) * p0 t * p1;Vector3 p1p2 (1 - t) * p1 t * p2;Vector3 result (1 - t) * p0p1 t * p1p2;return result;
TrueType字型就运用了以贝兹样条组成的二次贝兹曲线。 三次方公式
P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝兹曲线。曲线起始于P0走向P1并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2这两个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距决定了曲线在转而趋进P3之前走向P2方向的“长度有多长”。
曲线的参数形式为 // 三阶曲线Vector3 Bezier(Vector3 p0, Vector3 p1, Vector3 p2, Vector3 p3, float t)Vector3 result;Vector3 p0p1 (1 - t) * p0 t * p1;Vector3 p1p2 (1 - t) * p1 t * p2;Vector3 p2p3 (1 - t) * p2 t * p3;Vector3 p0p1p2 (1 - t) * p0p1 t * p1p2;Vector3 p1p2p3 (1 - t) * p1p2 t * p2p3;result (1 - t) * p0p1p2 t * p1p2p3;return result;现代的成像系统如PostScript、Asymptote和Metafont运用了以贝兹样条组成的三次贝兹曲线用来描绘曲线轮廓。
n次方公式 最后一个最难的n次方的公式其实这个只要能把前面两个理解了最后一个也不难都是有规律的就是不停的去计算插值点1和点2插值产生出新的点点2和点3插值又产生一个点依次循环直到最后只剩下一个点。 // n阶曲线递归实现public Vector3 Bezier(float t, ListVector3 p)if (p.Count 2)return p[0];ListVector3 newp new ListVector3();for (int i 0; i p.Count - 1; i)Debug.DrawLine(p[i], p[i 1]);Vector3 p0p1 (1 - t) * p[i] t * p[i 1];newp.Add(p0p1);return Bezier(t, newp);// transform转换为vector3在调用参数为ListVector3的Bezier函数public Vector3 Bezier(float t, ListTransform p)if (p.Count 2)return p[0].position;ListVector3 newp new ListVector3();for (int i 0; i p.Count; i)newp.Add(p[i].position);return Bezier(t, newp);
在unity里实现的效果
