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news 2025/12/20 21:09:21

在线教育网站开发文档,家具网站开发设计任务书,如何开发app应用,大学生家教网站开发PAGEPAGE 10北大计算机考研高等数学真题解答2008 年(5 题 60 分)1 (12 分) f (x) 有连续的二阶导数#xff0c; f (a)  0 #xff0c;求limxa1f (x  a)  f (a)1f (a) 。2 (12 分) f (x) 在a,b上连续且 f (a)  f (b)  0 #xff0c; f (a) f (b) …PAGEPAGE 10北大计算机考研高等数学真题解答2008 年(5 题 60 分)1 (12 分) f (x) 有连续的二阶导数 f (a)  0 求limxa1f (x  a)  f (a)1f (a) 。2 (12 分) f (x) 在a,b上连续且 f (a)  f (b)  0 f (a) f (b)  0证明在a, b上必有一点u 使得 f (u)  0 。3 (12 分)求不定积分1  ln x(x  ln x)2dx 。0x tf (x2  t 204 (12 分) f (0)  0 且 f(0)  0 f (x) 有连续的导数求limx0dx 。x45 (12 分) f (x) 在0 附近可导且导数大于 0证明无穷级数 f ( 1 ) 发散无穷级n数(1)nf ( 1 )n收敛。2007 年(5 题 60 分)(12 分)求不定积分e2 x (tan x 1)2 dx 。解 e2 x (tan x 1)2 dx  e2 x sec2 xdx   e2 x 2 tan xdx  e2 xd tan x  e2x tan x   e2 xd tan x  e2x tan x  C 。1(12 分)求连续函数 f (x) 使它满足0 f (tx)dt 1f (x)  x sin x, f (0)  0 。解令u  tx, 则t  0 时 u  0 t  1时 u  x du  xdt 10 f (tx)dt 1x f (u)du x 0f (x)  xsin x  x f (u)du  xf (x)  x2 sin x 0f (x)  f (x)  xf (x)  2xsin x  x2 cos x  f (x)  2sin x  xcosx f (x)  cosx  xsin x  C f (0) 1 C  0  C  1 f (x)  cos x  xsin x 1。3 (12 分)设0  x1 y1 , xn1 xn ynyn1 xn  yn ,(n  1,2,) 。2证明 lim xn 和 lim yn 都存在并相等。n nxn yn解 y1  x1  0  xn  0, yn  0xn  yn  xn  yn xn ynyn1  xn1 (n  0,1,)  yn  xn (n  1,2,) yn  xn(n  1,2,)  yn1yn xn  yn  0  yxn ynxn ynxn xnn1 yn {yn }单调递减yn  xn (n  1,2,)  xn1 由以上两结论可知 xn  {xn } 单调递增yn  xn  x1  {yn } 有下界于是lim yn 存在nxn  yn    y1  {xn } 有上界于是lim xn 存在。nn令lim xnx A, lim ynxn B 由 xn1 xn ynyn1 xn  yn 有 2A ABB  A  B 解得 A  B  1所以lim x lim y 1 。2x nx nn4 (12 分)求和 S  x  22 x2  32 x3  n2 xn 。nnx解(1) 若 x  1 S  1 22  32  n2  n(n 1)(2n 1) / 6 nx(2) 若 x  1 Snx  1 22 x  32 x2  n2 xn1  T 0 (Snx)dx nnx  2x2  3x3  nxn  Tnnx  1 2x  3x2  nxn1 nnx23nx(1 x ) x(1 x ) 0 (Tnx)dx  x  x x  x 1 x Tn  x1 x nn1

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