自己黑自己做的网站,wordpress新建页面显示数据,wordpress如何cdn优化,河北哪些大学网站建设专业比较好文章目录 中值定理、反函数定理 本篇文章适合个人复习翻阅#xff0c;不建议新手入门使用 中值定理、反函数定理
定理#xff1a;Rolle#xff08;罗尔#xff09;中值定理 设实值函数 f ∈ C 0 [ a , b ] f\in C^0[a,b] f∈C0[a,b] 且在 ( a , b ) (a,b) (a,b) 上可微不建议新手入门使用 中值定理、反函数定理
定理Rolle罗尔中值定理 设实值函数 f ∈ C 0 [ a , b ] f\in C^0[a,b] f∈C0[a,b] 且在 ( a , b ) (a,b) (a,b) 上可微若 f ( a ) f ( b ) f(a)f(b) f(a)f(b)则存在 x 0 ∈ ( a , b ) x_0\in(a,b) x0∈(a,b)使得 f ′ ( x 0 ) 0 f(x_0)0 f′(x0)0
证明 设 f f f 非常值函数设 x 0 x_0 x0 是 f ( x ) f(x) f(x) 的最大值则 f ′ ( x 0 ) 0 f(x_0)0 f′(x0)0
定理Lagrange拉格朗日中值定理 设实值函数 f ∈ C 0 [ a , b ] f\in C^0[a,b] f∈C0[a,b] 且在 ( a , b ) (a,b) (a,b) 上可微则存在 x 0 ∈ ( a , b ) x_0\in(a,b) x0∈(a,b)使得 f ′ ( x 0 ) f ( b ) − f ( a ) b − a f(x_0)\frac{f(b)-f(a)}{b-a} f′(x0)b−af(b)−f(a)
证明思路 构造辅助函数 g ( x ) f ( x ) − f ( b ) − f ( a ) b − a ( x − a ) g(x)f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) g(x)f(x)−b−af(b)−f(a)(x−a) 以及Rolle中值定理可得
定理Cauchy中值定理 设实值函数 f , g ∈ C 0 [ a , b ] f,g\in C^0[a,b] f,g∈C0[a,b]且 f , g f,g f,g 在 ( a , b ) (a,b) (a,b) 上均可微设对任意的 x ∈ ( a , b ) , g ′ ( x ) ≠ 0 x\in(a,b),g(x)\neq 0 x∈(a,b),g′(x)0则存在 x 0 ∈ ( a , b ) x_0\in(a,b) x0∈(a,b)使得 f ′ ( x 0 ) g ′ ( x 0 ) f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) \frac{f(x_0)}{g(x_0)}\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} g′(x0)f′(x0)g(b)−g(a)f(b)−f(a)
证明思路 法1构造辅助函数 F ( x ) f ( x ) − f ( a ) − f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) ( g ( x ) − g ( a ) ) F(x)f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a)) F(x)f(x)−f(a)−g(b)−g(a)f(b)−f(a)(g(x)−g(a))
注意到 F ( a ) F ( b ) 0 F(a)F(b)0 F(a)F(b)0使用Rolle中值定理即得
法2由 g ′ ( x ) ≠ 0 g(x)\neq 0 g′(x)0故 g : I [ a , b ] → J [ g ( a ) , g ( b ) ] g:I[a,b]\to J[g(a),g(b)] g:I[a,b]→J[g(a),g(b)] 是同胚 考虑映射 f ∘ g − 1 : J → Y f\circ g^{-1}:J\to Y f∘g−1:J→Y存在 c ∈ J c\in J c∈J使得 f ∘ g − 1 ( g ( a ) ) − f ∘ g − 1 ( g ( b ) ) g ( a ) − g ( b ) ( f ∘ g − 1 ) ′ ( c ) \frac{f\circ g^{-1}(g(a))-f\circ g^{-1}(g(b))}{g(a)-g(b)}(f\circ g^{-1})(c) g(a)−g(b)f∘g−1(g(a))−f∘g−1(g(b))(f∘g−1)′(c)
注Cauchy中值定理的几何直观 考虑如下的向量值函数 F : [ a , b ] → R , x ↦ ( f ( x ) g ( x ) ) F:[a,b]\to\mathbb{R},x\mapsto \begin{pmatrix} f(x)\\g(x)\\ \end{pmatrix} F:[a,b]→R,x↦(f(x)g(x))
Cauchy中值定理说的是存在曲线上一点 x 0 x_0 x0使得其切线方向 F ′ ( x 0 ) F(x_0) F′(x0) 与两个端点的连线 ( f ( b ) g ( b ) ) − ( f ( a ) g ( a ) ) \begin{pmatrix} f(b)\\g(b)\\ \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} f(a)\\g(a)\\ \end{pmatrix} (f(b)g(b))−(f(a)g(a)) 是同方向的
也可以这么理解考虑单位圆上的切线方向函数 F ^ : [ a , b ] → S 1 , x ↦ ( g ′ ( x ) , f ′ ( x ) ) f ′ ( x ) 2 g ′ ( x ) 2 \hat{F}:[a,b]\to S^1,x\mapsto \frac{(g(x),f(x))}{\sqrt{f(x)^2g(x)^2}} F^:[a,b]→S1,x↦f′(x)2g′(x)2 (g′(x),f′(x))
Cauchy中值定理说的是对单位圆上任意一点的切线方向总可以找到圆上两点 ( g ( b ) g ( b ) 2 f ( b ) 2 , f ( b ) g ( b ) 2 f ( b ) 2 ) (\frac{g(b)}{\sqrt{g(b)^2f(b)^2}},\frac{f(b)}{\sqrt{g(b)^2f(b)^2}}) (g(b)2f(b)2 g(b),g(b)2f(b)2 f(b)) ( g ( a ) g ( a ) 2 f ( a ) 2 , f ( a ) g ( a ) 2 f ( a ) 2 ) (\frac{g(a)}{\sqrt{g(a)^2f(a)^2}},\frac{f(a)}{g(a)^2f(a)^2}) (g(a)2f(a)2 g(a),g(a)2f(a)2f(a)) 使得它们的连线方向与其相同
定理反函数定理 设开区间 I ⊂ R I\subset \mathbb{R} I⊂R f ∈ C 1 ( I ; R ) f\in C^1(I;\mathbb{R}) f∈C1(I;R)即连续可微的实值函数若 f ′ ( x 0 ) ≠ 0 f(x_0)\neq 0 f′(x0)0那么 f f f 在 x 0 x_0 x0 的一个邻域内是 C 1 C^1 C1 同胚即 f f f 在 x 0 x_0 x0 的某邻域内是有连续逆的双射
证明思路 不妨设 f ′ ( x 0 ) 0 f(x_0)0 f′(x0)0则在 x 0 x_0 x0 附近 f ′ ( x 0 ) 0 f(x_0)0 f′(x0)0则 f f f 严格单调递增则 f − 1 f^{-1} f−1 存在且可微又 ( f − 1 ) ′ ( y ) 1 f ′ ( f − 1 ( y ) ) (f^{-1})(y)\frac{1}{f(f^{-1}(y))} (f−1)′(y)f′(f−1(y))1 说明 f − 1 f^{-1} f−1 连续可微
推论 上述定理若进一步要求 f f f 是光滑的即无限次可微则 f − 1 f^{-1} f−1 也光滑 参考书 《数学分析》陈纪修 於崇华 金路《数学分析之课程讲义》清华大学数学系及丘成桐数学中心《数学分析习题课讲义》谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 著
