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小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。
他发现这家包子铺有 N 种蒸笼#xff0c;其中第 i 种蒸笼恰好能放 Ai 个包子。
每种蒸笼都有非常多笼#xff0c;可以认为是无限笼。
每当有顾客想买 X 个包子#xff0c;卖包子的大叔就会迅速选出若干笼…题目描述
小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。
他发现这家包子铺有 N 种蒸笼其中第 i 种蒸笼恰好能放 Ai 个包子。
每种蒸笼都有非常多笼可以认为是无限笼。
每当有顾客想买 X 个包子卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来使得这若干笼中恰好一共有 X 个包子。
比如一共有 3 种蒸笼分别能放 3、4和 5 个包子。
当顾客想买 11个包子时大叔就会选 2 笼 3 个的再加 1 笼 5 个的也可能选出 1 笼 3 个的再加 2 笼 4 个的。
当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。
比如一共有 3 种蒸笼分别能放 4、5和 6 个包子。
而顾客想买 7 个包子时大叔就凑不出来了。
小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。
输入格式:
第一行包含一个整数 N。
接下来 N 行每行包含一个整数 Ai。
输出格式:
输出一个整数代表答案。
如果凑不出的数目有无限多个输出INF。
数据范围:
1≤N≤100, 1≤Ai≤100
输入样例1
2
4
5输出样例1
6输入样例2
2
4
6输出样例2
INF样例解释
对于样例1凑不出的数目包括1, 2, 3, 6, 7, 11。 对于样例2所有奇数都凑不出来所以有无限多个。
前情提要这道题目有关完全背包01背包这两道题目如果没看过这两道题目的题解大家可以去看看能帮助理解这道题目。链接我也放到这里了点击链接就行。
分析步骤 第一看到题目我们就能明白每一笼包子是可以选无数多笼的只要次数不超过我们指定的个数看看能组合出多少种组合来最后判断一下有多少个数组合出来了多少个数没有组合出来那么这就是答案。由此可以得出第一个特点题目是 组合问题是完全背包问题的变形有几个物品每个物品无限个每个物品选任意个能否凑到某个重量。 第二我们如何判断这个题目是否有无数个值会组合不出来呢我们想一下什么样的就组合不出来例如246最大公约数是2所以奇数组合不出来因为他只能组合出gcd的倍数。例如3060最大公约数是30所以只要不是30的倍数的就一定组合不出来由此我们可以发现一些问题组合数和gcd有关只要gcd不是1的话那么它就有无数种数组合不出来。这里用到裴蜀定理 任意两个数的组合必定是他们gcd的倍数同样可以推广到更多数如果这些数的gcd的d不是1那么有无数个数组合不出来 第三闫氏DP分析法 根据闫氏DP分析法我们可以知道dp问题可以将其分解为两个步骤第一种是状态表示第二种是状态计算。 我们所有的背包问题都是围绕我们对于集合的定义来的所以这个定义是非常重要的我们将集合定义为所有只从前i个包子中选择数量为j的集合是否能够达到题目要求的包子数是个bool数组。 状态计算由于完全背包是可以无限次的选择物品的所以我们不能和01背包一样只将其分解为选或者不选因为它可以有很多很多种选择可以不选可以选一种可以选两种...只要题目要求包子数量背包体积足够大就可以。 如果他不选择包子 i 那么这种情况相当于从1i - 1中选择数量不超过j的情况是一样的所以我们的表达式是f[i-1][j]。 如果他选择物品 i 那么这样又该如何表示呢我们并不知道他到底要选择几个物品那应该怎么做呢假如我们选择一个的话那么就应该写为f[i-1][j-vi];假如我们选择两个的话那么就应该写为f[i-1][j-2*vi];假如我们选择k个的话那么就应该写为f[i-1][j-k*vi]那么我们最终的答案就应该在这些集合之中。 所以f(i,j) f(i-1 , j) || f(i-1 , j - v) || f(i-1 , j - 2v) || ........|| f(i-1 , j - (j/v)*v); 所以f(i,j-v) f(i-1 , j - v) || f(i-1 , j - 2*v) || f(i-1 , 3*v) || ........f(i-1 , j - (j/v)*v); 由上述两个式子我们可以知道如果将 j 替换成 j-vi 两个式子非常相似。f[ i ] [ j ] f[ i -1][ j ] || f[ i ][ j - vi ] ; 第四书写主函数构建整体框架 输入值并且根据裴蜀定理求出最大公约数看看是不是1如果不是1那么必定有无数个值组合不出来那么直接输出INF。初始化一下我们的f数组全部赋值为0初始化我们的f[0][0] true。为什么根据我们对集合的定义来分析只从前i个包子中选择数量为j的集合是否能够达到题目要求的包子数。那么f[0][0]代表前0个包子中选择数量为0的集合是可能的所以初始化为true。 for(int i 1 ; i n ; i){for(int j 0 ; j 10000 ; j){f[i][j] f[i-1][j] || (j arr[i] ? f[i][j - arr[i]] : false) ;}} d1 的话我们就进入双重for循环。第一个for就是包子种类第二个for就是包子数量。那么问题来了。我们怎么确定数量最大值就是10000呢那么当qcd为1时最大不能表示出来的数必定有个上界因为两个数ab(当gcd1时)最大不能表示出数是(a-1)(b-1)-1。当数字更多的时候这个上界必然更小(可选的数字变多了)而99和98是100内最大的互质的数所以这个上界选择10000。 我们之前分析出了f[ i ] [ j ] f[ i -1][ j ] || f[ i ][ j - vi ] ;但是注意一个问题选择一个选择两个是在所需包子数大于我们的这一笼包子数的情况下才可以选假如所需包子数都要小于这一笼包子数的话就不可以选了所以我们选择了用三目运算符 (j arr[i] ? f[i][j - arr[i]] : false) ;这句话的意思是如果 j arr[i] 是对的话那么则返回f[i][j - arr[i]] 如果不对则返回false那么f[ i ] [ j ] f[ i -1][ j ] || f[ i ][ j - vi ]这就是错了就代表组合不出这个数。 最后我们只需要在遍历一遍看看哪些数是组合不出来的组合不出来就res。
#include iostream
#include cstring
#include algorithmusing namespace std;const int N 110 ;int n ;
bool f[N][10010];
int arr[N];int gcd(int a , int b){return b ? gcd(b,a%b):a;
}int main()
{cinn;int d 0;for(int i 1 ; i n ; i){cinarr[i];d gcd(d,arr[i]);}memset(f, 0, sizeof f);f[0][0] true;if(d ! 1) coutINFendl;else{for(int i 1 ; i n ; i){for(int j 0 ; j 10000 ; j){f[i][j] f[i-1][j] || (j arr[i] ? f[i][j - arr[i]] : false) ;}}int res 0;for(int i 0 ; i 10000 ; i ){if(!f[n][i]) res ;}coutres;
}return 0;
}01背包从后往前完全背包从前往后
