建立一个属于自己的网站,数据展示网站,wordpress上传的文件在哪,网站设计师证书文章目录一、综述二、奇异值分解三、使用SVD进行降维四、SVD的评价及应用一、综述
奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵分解方法#xff0c;它在图形的压缩等方面具有重要的意义及作用。
二、奇异值分解
三个引理#xff1a; AB 和 BA 非零的特征值完全相同#xff1b;…
文章目录一、综述二、奇异值分解三、使用SVD进行降维四、SVD的评价及应用一、综述
奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵分解方法它在图形的压缩等方面具有重要的意义及作用。
二、奇异值分解
三个引理 AB 和 BA 非零的特征值完全相同实对称矩阵的特征值一定为实数且一定可以相似对角化特征向量构成的矩阵可通过施密特正交化变为正交矩阵。AATAA^TAAT 一定是半正定矩阵因此其特征值不可能为负数。 奇异值分解 Am×nUm×m∑m×nVn×nTA_{m \times n} U_{m \times m}\sum_{m \times n}V^T_{n \times n}Am×nUm×m∑m×nVn×nT其中 UUU 和 VVV 都是正交矩阵且 ∑\sum∑ 是奇异值矩阵对角元素从大到小排列这些元素称为奇异值。其他元素为0 U的计算 先计算 AATAA^TAAT它是一个 mmm 阶的对称矩阵从而可以对 AATAA^TAAT 进行相似对角化同时将特征值从大到小排列从而 AATUΛ1UTAA^T U\Lambda_1U^TAATUΛ1UT从而可以求出矩阵 UUU。V的计算 先计算 ATAA^TAATA它是一个 nnn 阶的对称矩阵那么我们可以对 ATAA^TAATA 相似对角化同时也将特征值按从大到小排列从而 ATAVΛ2VTA^TA V\Lambda_2V^TATAVΛ2VT从而可以求出矩阵 VVV。∑\sum∑ 的计算 取出 AATAA^TAAT或者 ATAA^TAATA二者特征值相同的非零特征值并开方便得到了奇异值。然后将这些奇异值按照从大到小填充到 ∑\sum∑ 的主对角线上其他位置为0从而便得到了矩阵 ∑\sum∑。
三、使用SVD进行降维
所谓的使用SVD来进行降维就是使矩阵的秩减小矩阵的大小不变。 下面来看一个例子 该分解保留原矩阵的特征比例 8.454.948.454.941.11×100%92.34%\frac{8.45 4.94}{8.45 4.94 1.11} \times 100\% 92.34\%8.454.941.118.454.94×100%92.34% 除此之外我们还可以自定义需要保留的特征比例从而保留对应比例的矩阵。
四、SVD的评价及应用
评价 优点简化数据去除噪声点对数据进行降维。缺点数据的转换难以理解 应用 对图片和视频数据进行压缩图片主要是像素点以及RGB色彩混合而形成的图像可以对其进行SVD分解从而达到压缩目的。潜在语义索引推荐系统
