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矩阵既可以理解为一组#xff08;列#xff09;基向量#xff0c;也可以理解为线性变换。
某个向量左乘矩阵表示向量在用新的基向量表示对应在原始坐标系下的坐标#xff0c;也可以视为经过线性变换后的坐标。
原始基向量都是单位矩阵#xff0c;其他矩阵都…矩阵的意义
矩阵既可以理解为一组列基向量也可以理解为线性变换。
某个向量左乘矩阵表示向量在用新的基向量表示对应在原始坐标系下的坐标也可以视为经过线性变换后的坐标。
原始基向量都是单位矩阵其他矩阵都是原始基向量经过变换后的基向量。
线性变换二维为例
原点不动网格仍为直线网格线平行等间距
行列式的意义
二维中其绝对值表示一个两个不共线的向量构成区域经过线性变换后的面积与之前的面积之比正负可以理解为平面空间是否发生了反转类似于纸张的翻面。特别地行列式为 0 0 0说明任意区域经过矩阵的变换后面积是之前的 0 0 0 倍即变换后的全部向量均共线亦将二维平面压缩至一维直线。
三维中其绝对值表示一个区域经过线性变换后的体积与之前的体积之比正负可以理解为三个基向量是可以通过左手准则表达还是右手准则表达。特别地行列式为 0 0 0说明任意区域经过矩阵的变换后体积是之前的 0 0 0 倍即变换后的全部向量均共面亦将三维平面压缩至平面或直线。
逆矩阵的几何意义
左乘矩阵相当于是对原始向量进行线性变换而左乘逆矩阵相当于将变换后的向量恢复到原来的状态。
解方程组的意义 A x v Axv Axv
当系数矩阵 A A A 为方阵时可以认为 x x x 经过线性变换 A A A 得到了 v v v现在 x x x 是未知的已知经过线性变换 A A A 得到了 v v v求在原始基向量中向量 x x x 的坐标这就是解方程组。
如果 A A A 的行列式为 0 0 0那么说明经过变换后出现了共线或共面的情况即出现经变换后向量从高维被压缩到低维的情形 v v v 处于低维空间而 x x x 处于高维空间显然不能将一个低维向量解压缩为高维向量可以理解为压缩变换导致部分信息丢失因此无法完美地恢复求解原始向量。 当然也可能足够幸运向量 v v v 刚好在压缩后的直线或平面上只不过会对应多个 x x x 。对于三维变换而言如果行列式为 0 0 0空间被压缩到一条直线和一个平面找到解 x x x 的难度是不同的尽管二者对应的行列式都为 0 0 0 。
秩的意义
如果经过矩阵的线性变换空间被压缩到一维那么矩阵的秩就是 1 1 1空间被压缩到二维那么矩阵的秩就是 2 2 2 。也就是说秩代表变换后空间矩阵张成空间的维数。
对比一下行列式。行列式为 0 0 0 也能说明空间存在压缩但是不能具体描述出空间被压缩到了几维而秩不仅可以说明空间被压缩还能说明压缩的几维。
零空间某些向量经过矩阵变换后落到原点零向量这些向量构成矩阵的零空间。
这也就是为什么在矩阵不满秩时齐次线性方程的解有无数这些解就是零空间中的向量类似的道理当矩阵不满秩时空间维度没有变化只有原始空间的零向量能保证变换后还是零向量。
非方阵的意义
对于一个 3 × 2 3×2 3×2 矩阵而言它有两个基向量每个基向量是三维的可见原来空间中的全部向量可以由两个基向量表示变换后的基向量需要三个坐标信息描述显然实现了从二维到三维的变换对于一个 1 × 2 1×2 1×2 矩阵而言最初有两个基向量描述二维空间该矩阵表示的是变换后的基向量坐标每个基向量都是一维表示的说明基向量变换为一维坐标了实现了从二维到一维的变换。
特征向量的意义
在进行矩阵变换后仍然处于变换之前所张成空间的向量称为特征向量。以二维为例如果某一条直线上的向量在经过矩阵变换后仍然在这条直线上仅发生了放缩那么这条直线上的向量就称为特征向量且这些变量放缩后的长度与放缩前有固定倍数关系这个倍数称为特征值。
很显然经过线性变换特征向量仅发生数乘不会发生旋转等变换更有助于我们理解线性变换。
