大连网站建设开发,清理空壳网站,网站建设南通,小程序公司排名前十线性方程组的迭代解法
2024年1月1日 #analysis 文章目录 线性方程组的迭代解法基本迭代法Jacobi迭代高斯-赛德尔#xff08;GS#xff09;迭代SOR迭代 迭代的收敛性分析和误差估计下链 基本迭代法
Jacobi迭代 A D − L − U AD-L-U AD−L−U D x ( k 1 ) ( L U ) x ( …线性方程组的迭代解法
2024年1月1日 #analysis 文章目录 线性方程组的迭代解法基本迭代法Jacobi迭代高斯-赛德尔GS迭代SOR迭代 迭代的收敛性分析和误差估计下链 基本迭代法
Jacobi迭代 A D − L − U AD-L-U AD−L−U D x ( k 1 ) ( L U ) x ( k ) b Dx^{(k1)}(LU)x^{(k)}b Dx(k1)(LU)x(k)b B j D − 1 ( L U ) I − D − 1 A B_j D^{-1}(LU)I-D^{-1}A BjD−1(LU)I−D−1A matlab实现
%% 迭代法例子
A [2 -1 0;-1 3 -1;0 -1 2];
b [1 8 -5];
[x,i] jacobi(A,b,1e-5,10000)%% Jacobi迭代
% 输入矩阵A向量b精度最大迭代次数
% 输出解向量x迭代次数i
function [x,i] jacobi(A,b,eps,max_iter)D diag(diag(A));L D-tril(A);U D-triu(A);x zeros(size(b)); %!for i 1:max_iterx D\(bL*xU*x);err norm(b-A*x)/norm(b); %!if errepsbreak;endend
end高斯-赛德尔GS迭代 A D − L − U AD-L-U AD−L−U ( D − L ) x ( k 1 ) U x ( k ) b (D-L)x^{(k1)}Ux^{(k)}b (D−L)x(k1)Ux(k)b B g s ( D − L ) − 1 U I − ( D − L ) − 1 A B_{gs} (D-L)^{-1}UI-(D-L)^{-1}A Bgs(D−L)−1UI−(D−L)−1A matlab实现
%% 迭代法例子
A [2 -1 0;-1 3 -1;0 -1 2];
b [1 8 -5];
[x,i] GS(A,b,1e-5,10000)%% GS迭代
% 输入矩阵A向量b精度最大迭代次数
% 输出解向量x迭代次数i
function [x,i] GS(A,b,eps,max_iter)D diag(diag(A));L D-tril(A);U D-triu(A);x zeros(size(b)); %!for i 1:max_iterx (D-L)\(bU*x);err norm(b-A*x)/norm(b); %!if errepsbreak;endend
endSOR迭代 A D − L − U AD-L-U AD−L−U x ( k 1 ) x ( k ) ω D − 1 ( L x ( k 1 ) U x ( k ) − D x ( k ) b ) x^{(k1)}x^{(k)} \omega D^{-1}(Lx^{(k1)}Ux^{(k)}-Dx^{(k)}b) x(k1)x(k)ωD−1(Lx(k1)Ux(k)−Dx(k)b) x ( k 1 ) ( D − ω L ) − 1 [ ( 1 − ω ) D ω U ] x ( k ) ω ( D − ω L ) − 1 b x^{(k1)} (D- \omega L)^{-1}[(1- \omega )D \omega U]x^{(k)} \omega (D- \omega L)^{-1}b x(k1)(D−ωL)−1[(1−ω)DωU]x(k)ω(D−ωL)−1b B S O R ( D − ω L ) − 1 [ ( 1 − ω ) D ω U ] B_{SOR} (D- \omega L)^{-1}[(1- \omega )D \omega U] BSOR(D−ωL)−1[(1−ω)DωU] matlab实现
%% 迭代法例子
A [2 -1 0;-1 3 -1;0 -1 2];
b [1 8 -5];
[x,i] SOR(A,b,1e-5,10000,1.1)%% SOR迭代
% 输入矩阵A向量b精度最大迭代次数
% 输出解向量x迭代次数i
function [x,i] SOR(A,b,eps,max_iter,w)D diag(diag(A));L D-tril(A);U D-triu(A);x zeros(size(b)); %!for i 1:max_iterx (D-w*L)\(((1-w)*Dw*U)*x w*b);err norm(b-A*x)/norm(b); %!if errepsbreak;endend
end迭代的收敛性分析和误差估计
排列矩阵 每行每列仅有唯一非零元的方阵。 可约矩阵 A {A} A 是 n {n} n 阶矩阵 n ≥ 2 {n\ge2} n≥2 如果存在 n {n} n 阶排列矩阵 P {P} P 使得 P T A P [ A 11 A 12 0 A 22 ] P^ \mathrm TAP \begin{bmatrix} A_{11} A_{12} \\ 0 A_{22} \end{bmatrix} PTAP[A110A12A22] 其中 A 11 {A_{11}} A11 和 A 22 {A_{22}} A22 分别为 r {r} r 阶和 n − r {n-r} n−r 阶方阵 1 ≤ r ≤ n − 1 {1\le r\le n-1} 1≤r≤n−1 则称 A {A} A 为可约矩阵否则为不可约矩阵。 对角占优矩阵 A {A} A 是 n {n} n 阶矩阵满足 ∣ a i i ∣ ≥ ∑ j 1 , j ≠ i n ∣ a i j ∣ , i 1 , 2 , ⋯ , n | a_{ii} |\ge \sum_{j1,j\ne i}^{ n}|a_{ij}| \,\,,\,\, i1,2,\cdots,n ∣aii∣≥j1,ji∑n∣aij∣,i1,2,⋯,n 即对角元素大于等于该行其他元素的和如果 A {A} A 中至少有一行使不等式严格成立则称A为弱对角占优矩阵如果每一行都使不等式严格成立则称 A {A} A 为严格行对角占优矩阵。
一些定理
如果 n {n} n 阶矩阵 A {A} A 是严格对角占优矩阵或不可约弱对角占优矩阵则 A {A} A 是非奇异矩阵 n {n} n 阶矩阵 A {A} A 的 k {k} k 次幂 A k → 0 {A^k\to0} Ak→0 的充要条件为谱半径 ρ ( A ) 1 {\rho (A)1} ρ(A)1任一矩阵 A {A} A 的谱半径均不大于 A {A } A 的任一与某一向量范数相容的矩阵范数即 ρ ( A ) ≤ ∣ ∣ A ∣ ∣ {\rho(A)\le ||A||} ρ(A)≤∣∣A∣∣对于迭代格式 x ( k 1 ) B x ( k ) g x^{(k1)}Bx^{(k)}g x(k1)Bx(k)g 给定任意的初值 x ( 0 ) {x^{(0)}} x(0) 有下列收敛结果和误差估计0 迭代格式收敛的充要条件为谱半径 ρ ( B ) 1 {\rho(B)1} ρ(B)1如果 ∣ ∣ B ∣ ∣ 1 {||B||1} ∣∣B∣∣1 则有估计 ∣ ∣ x ( k ) − x ∗ ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ B ∣ ∣ k 1 − ∣ ∣ B ∣ ∣ ∣ ∣ x ( 1 ) − x ( 0 ) ∣ ∣ ∣ ∣ x ( k ) − x ∗ ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ B ∣ ∣ 1 − ∣ ∣ B ∣ ∣ ∣ ∣ x ( k ) − x ( k − 1 ) ∣ ∣ \begin{align*} ||x^{(k)}-x ^{*} ||\le \frac{||B||^k}{1-||B||}||x^{(1)}-x^{(0)}|| \\ \\ ||x^{(k)}-x ^{*} ||\le \frac{||B||}{1-||B||}||x^{(k)}-x^{(k-1)}|| \end{align*} ∣∣x(k)−x∗∣∣≤∣∣x(k)−x∗∣∣≤1−∣∣B∣∣∣∣B∣∣k∣∣x(1)−x(0)∣∣1−∣∣B∣∣∣∣B∣∣∣∣x(k)−x(k−1)∣∣ 若 A {A} A 是严格对角占优矩阵或不可约弱对角占优矩阵则Jacobi迭代和GS迭代都收敛若 A {A} A 对称正定则Jacobi迭代收敛的充要条件为 2 D − A {2D-A} 2D−A 也是对称正定矩阵SOR迭代收敛的必要条件为 1 ω 2 {1 \omega 2} 1ω2系数矩阵 A {A} A 对称正定则 0 ω 2 {0\omega 2} 0ω2 时SOR迭代收敛
例题看同济《现代数值计算》习题6.6。 下链
