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一、引言
二、代码实现
2.1 Lagrange插值求插值多项式#xff1a;
代码解析#xff1a;
1.vpa解释 2.ploy#xff08;x#xff09;解释:
3.conv#xff08;#xff09;解释
4.poly2sym()解释
2.2 Lagrange插值求新样本值和误差估计#xff1a;
代码解析
代码解析
1.vpa解释 2.ployx解释:
3.conv解释
4.poly2sym()解释
2.2 Lagrange插值求新样本值和误差估计
代码解析
1.errorbar(x, y, R, .g)
2.plot(X, Y, or)
三、Lagrange在Matlab中的使用模板 一、引言
数据插值是指通过有限个原始数据点构造出一个解析表达式从而可以计算数据点之间的函数值。在Matlab中数据插值的方法主要有拉格朗日插值、牛顿差值、三次样条插值、埃尔米特插值、一维数据插值、二维数据插值等等。笔者旨在写一个使用Matlab进行数值插值的专题通过介绍插值原理代码实现形成模板方便日后使用时直接代入参数直接调用。
本节介绍拉格朗日插值Lagrange interpolation。Lagrange插值是一种用于逼近通过给定数据点的函数的方法。它涉及构造一个度数为 ( n-1 ) 或更低的多项式该多项式通过 ( n ) 个给定点。该多项式是使用Lagrange基多项式构造的这是一组多项式当在给定点之一进行评估时会得到1并且当在任何其他给定点进行评估时会得到0。
Lagrange插值多项式可表示为 Lagrange插值基函数可以表示为 二、代码实现
2.1 Lagrange插值求插值多项式
function[C, L, L1, l] lagranl(X, Y)
% 定义拉格朗日插值多项式和基函数
%
% 输入:
% X - 插值节点的横坐标向量
% Y - 插值节点的纵坐标向量
%
% 输出:
% C - 拉格朗日插值多项式的系数向量
% L - 拉格朗日插值多项式的符号表达式
% L1- 拉格朗日基函数对应的系数矩阵
% l - 拉格朗日基函数对应的符号表达式m length(X); % 获取插值节点的个数L1 zeros(m, m); % 初始化存储拉格朗日基函数系数的矩阵
l sym(zeros(1, m)); % 初始化单行符号值存储基函数表示式for k 1:m % 遍历每一个插值节点V 1; % 初始化基函数的系数向量为1for i 1 : m % 遍历所有节点用于计算if k ~ i %排除掉自身的情况V conv(V, poly(X(i))) / (X(k) - X(i)); % 更新基函数的系数向量endendL1(k, :) V; % 存储第k个基函数的系数l(k) poly2sym(V) * Y(k); % 将基函数乘以对应的Y值转换为符号表达式并存储
endC sum(Y .* L1, 1); % 计算拉格朗日插值多项式的系数向量
L sum(l); % 计算拉格朗日插值多项式的符号表达式 下面进行测试
X [-2.2, -1.0, 0.01, 1.0, 2.0, 3.3, 2.2];
Y [17.1, 7.3, 1.1, 2.0, 17.1, 23.1, 19.3];
[C, L, L1, l] lagranl(X, Y);
L vpa(L, 3)代码解析
1.vpa解释
vpa 是 MATLAB 中的一个函数表示 “Variable Precision Arithmetic”可变精度计算。在这个特定的调用中,vpa(L, 3) 将 L 的符号表达式以3位小数的精度表示。具体解释
L: 是从 lagranl 函数中返回的拉格朗日插值多项式的符号表达式。vpa(L, 3): 会将这个符号表达式的系数和结果值保留到小数点后3位。
假如
L sym(0.123456789*x^2 0.987654321*x 3.141592653);
使用 vpa 后
L vpa(L, 3)
% 将变为
L sym(0.123*x^2 0.988*x 3.14); 2.ployx解释:
在MATLAB中,ploy(x)函数并不是直接用来创建多项式的容易与用于多项式插值的ployfit()或构造多项式系数的polyval()函数混淆。实际上ploy(x)函数是用来从根求多项式的系数的。也就是说如果你有一系列的复数或实数根,poly() 可以帮助你找到一个多项式其在这些点上的值为零。 基本用法
p poly(r)
r 是一个向量包含了多项式的根。p 是返回的结果是一个向量表示对应于根 r 的多项式的系数按降幂排列。
举个例子
r [1, 2];
p poly(r);
disp(p); % 输出多项式系数 这段代码会输出 [1 -3 2]对应于多项式验证了1和2确实是这个多项式的根。
3.conv解释
conv是MATLAB 中用来执行多项式卷积Convolution的函数。在多项式运算中conv 可以用来计算两个多项式的乘积。 基本用法
C conv(A, B)
其中 A 和 B 是两个多项式的系数向量返回向量 C 表示这两个多项式的乘积的系数。
示例
假设我们有两个多项式 用系数向量表示
P [3, 2, 1]; % 对应 Q [5, 4]; % 对应
我们使用conv来计算两者的乘积
P [3, 2, 1]; % 3x^2 2x 1
Q [5, 4]; % 5x 4C conv(P, Q)% 输出 C
% C [15 22 13 4] 对应最终方程式15x^3 22x^2 13x 4 4.poly2sym()解释
poly2sym()是把多项式系数转换为符号多项式。 2.2 Lagrange插值求新样本值和误差估计
%% 拉格朗日插值及误差估计
% 此函数使用拉格朗日插值公式来计算插值值并估计误差
% 输入参数:
% X - 已知数据点的x坐标 (向量)
% Y - 已知数据点的y坐标 (向量)
% x - 需要插值的x坐标 (向量)
% M - 最大连续(n1)阶导数的上界 (标量)
% 输出参数:
% y - 插值后的y值 (向量)
% R - 误差估计 (向量)function [y, R] lagranzi(X, Y, x, M)n length(X); % 已知数据点的数量m length(x); % 需要插值的数据点数量for i 1:mz x(i); % 当前需要插值的x坐标s 0.0; % 插值和初始化为0for k 1:np 1.0; % 插值多项式L_k(z)初始化为1q1 1.0; % 误差估计中的分子初始化为1c1 1.0; % 误差估计中的分母初始化为1for j 1:nif j ~ k% 计算拉格朗日基函数L_k(z)p p * (z - X(j)) / (X(k) - X(j));end% 计算误差估计的分子部分q1 abs(q1 * (z - X(j)));% 计算误差估计的分母部分c1 c1 * j;end% 加权求和得到插值值s p * Y(k) s;endy(i) s; % 存储插值结果R(i) M * q1 / c1; % 计算并存储误差估计end
end下面进行测试
clc
clear
X [-2.2, -1.0, 0.01, 1.0, 2.0, 3.3, 2.2];
Y [17.1, 7.3, 1.1, 2.0, 17.1, 23.1, 19.3];
x linspace(-3, 4, 50);
M 1;
[y, R] lagranzi(X, Y, x, M);
errorbar(x, y, R, .g)
hold on
plot(X, Y, or)
x 2.8;
[y, R] lagranzi(X, Y, x, M);
x -3:0.01:4;
L 0.21*x.^6 - 0.87*x.^5 - 1.21*x.^4 5.9*x.^3 4.48*x.^2 - 7.68*x 1.18;
plot(x, L)
legend(误差, 样本点, 拉格朗日多项式函数曲线)
print(gcf, -r600, -djpeg, 图2-1.jpg) 代码解析
1.errorbar(x, y, R, .g)
在MATLAB中errorbar() 函数用于绘制带有误差条的图形它能够直观地展示数据点的不确定度或误差范围。函数调用格式中的各个参数含义如下
errorbar(x, y, R, .g)
这里各参数的含义是
x数据点在x轴上的值。y数据点与x对应在y轴上的值。R这可以是一个向量或一个矩阵定义了误差条的长度。如果是向量那么这个向量提供了每个数据点y方向上的误差估计如果是矩阵通常是2列第一列是负方向的误差第二列是正方向的误差用于分别表示y值的下限和上限。.这是一个标记符号参数指定了数据点的样式在这个例子中使用的是点。g颜色代码指定了数据点和误差条的颜色在这里是绿色。
2.plot(X, Y, or)
o 表示数据点将以圆圈形式标记。如果只用 oMATLAB 会在每个 (X, Y) 数据对的位置绘制一个空心的圆圈。r 表示红色red。结合前面的 o这意味着每个数据点将以红色填充的圆圈来表示。
三、Lagrange插值使用模板
如果目前你拥有X,Y样本点仅想求出一个新的x所对应的y值可以直接在下述代码中进行修改“示意用法”中的值程序放入Matlab中可以直接执行
clc
clear
% 示例用法
x [1, 2, 3, 4];
y [1, 4, 9, 16];
xi 2.5;
L_value lagrange_interpolation(x, y, xi);
disp([在 xi num2str(xi) 处的插值值是 num2str(L_value)]);function L lagrange_interpolation(x, y, xi)% 拉格朗日插值函数% x 和 y 是已知的数据点% xi 是希望插值的点% 返回的 L 是在 xi 处的插值结果% 确保 x 和 y 长度一致if length(x) ~ length(y)error(x 和 y 必须具有相同的长度);end% 初始化结果 Ln length(x);L 0;% 计算拉格朗日多项式for i 1:n% 初始化基多项式Li 1;for j 1:nif i ~ jLi Li * (xi - x(j)) / (x(i) - x(j));endend% 累加到结果L L Li * y(i);end
end 参考资料《Matlab编程与汽车仿真应用》 ——崔胜民
