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动态规划#xff08;Dynamic Programming, DP#xff09; 是一种算法设计技巧#xff0c;通常用来解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。它通过将问题分解为更小的子问题#xff0c;逐步解决这些子问题并将结果存储起来#xff0c;以避免重复计…Dynamic Programming
动态规划Dynamic Programming, DP 是一种算法设计技巧通常用来解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。它通过将问题分解为更小的子问题逐步解决这些子问题并将结果存储起来以避免重复计算从而提高效率。 1. 特点
1.1 重叠子问题
在许多递归问题中计算过程中会多次遇到相同的子问题。如果我们每次遇到这些子问题时都重新计算会导致大量的重复计算和效率低下。重叠子问题的思想是通过将子问题的结果存储起来避免重复计算从而提高效率。
举例
斐波那契数列
递归关系式 T ( n ) T ( n − 1 ) T ( n − 2 ) T(n)T(n-1)T(n-2) T(n)T(n−1)T(n−2)
计算T(3) T ( 3 ) T ( 2 ) T ( 1 ) T ( 1 ) T ( 0 ) T ( 1 ) \begin{aligned} T(3) T(2) T(1) \\ T(1) T(0) T(1) \end{aligned} T(3)T(2)T(1)T(1)T(0)T(1)
这里我们可以看见T(1)被多次计算
这个多次计算的T(1)便被称为重复子问题
如果我们用递归来解决这个问题
int fin(int n){if(n1)return 1;if(n0)return 0;return fin(n-1)fin(n-2);
}画出递归树 我们可以看到有多次递归调用都是重复的即出现了重复子问题。
1.2 记忆化存储
继续探究斐波那契问题
我们之前发现使用递归解决问题时出现了多次递归调用是重复的
我们可以将这些重复子问题的结果储存起来,这样下一次需要解决这个子问题的时候只需要访问之前的结果就可以了。
模拟实现
int fin(int n){std::vectorintFin(n1);Fin[0]0;Fin[1]1;for(int i2;in;i){Fin[i]Fin[i-1]Fin[i-2];}return Fin[n];
}可以看出来我们是从最小子问题来逐渐递推至最后的答案这也被称为自底而上的算法
1.4 状态转移方程
我们来看斐波那契数列的递推关系式 T ( n ) T ( n − 1 ) T ( n − 2 ) T(n)T(n-1)T(n-2) T(n)T(n−1)T(n−2)
这里我们可以看出如果我们想得到第n项的答案我们就要知道第n-1项和第n-2项的答案 T ( n ) ← 这个第 n 项的答案就定义为一个状态 T(n) \gets 这个第n项的答案就定义为一个状态 T(n)←这个第n项的答案就定义为一个状态
状态转移方程表示的就是某一个状态和其他状态之间的关系 T ( n ) T ( n − 1 ) T ( n − 2 ) T(n)T(n-1)T(n-2) T(n)T(n−1)T(n−2)
这个方程就表示第n个状态是由第n-1个状态和第n-2个状态决定
1.5 最优子结构
还是看斐波那契数列
我们如果要求出第n个状态的状态值那么我们一定是使用第n-1个状态和第n-2个状态的值来计算的。
由于我们的状态转移方程是确定的这里求出的一定是最优解。
给出定义
如果一个问题的最优解包含了其子问题的最优解则称这个问题具有最优子结构性质。 2. 用动态规划来设计算法的步骤
2.1 理解问题并确定子问题
首先理解斐波那契数列的问题。斐波那契数列定义如下 F ( n ) F ( n − 1 ) F ( n − 2 ) F(n) F(n-1) F(n-2) F(n)F(n−1)F(n−2)
其初始条件为 F ( 0 ) 0 F(0) 0 F(0)0 F ( 1 ) 1 F(1) 1 F(1)1
这个问题可以分解为子问题即计算第 ( n ) 项的值依赖于第 ( n-1 ) 项和第 ( n-2 ) 项的值。
2.2 定义状态
定义状态 ( dp[i] ) 表示斐波那契数列第 ( i ) 项的值。 d p [ i ] ← 斐波那契数列第 i 项的值 dp[i] \gets 斐波那契数列第 i 项的值 dp[i]←斐波那契数列第i项的值
2.3 确定状态转移方程
状态转移方程基于斐波那契数列的递归定义可以写作 d p [ i ] d p [ i − 1 ] d p [ i − 2 ] dp[i] dp[i-1] dp[i-2] dp[i]dp[i−1]dp[i−2]
2.4 确定初始状态和边界
根据斐波那契数列的初始条件初始化状态 d p [ 0 ] 0 dp[0] 0 dp[0]0 d p [ 1 ] 1 dp[1] 1 dp[1]1
2.5 利用状态转移方程计算状态值
使用状态转移方程从初始状态开始逐步计算到目标状态值。
#include vectorint fib(int n) {if (n 1) return n;std::vectorint dp(n 1);dp[0] 0;dp[1] 1;for (int i 2; i n; i) {dp[i] dp[i - 1] dp[i - 2];}return dp[n];
}
