链接网站开发需要多少钱,wordpress后台运行速度慢,网上商城怎么做推广,如何查询网站接入商全世界有3.14 % 的人已经关注了数据与算法之美希尔伯特旅馆悖论#xff08;Hilberts paradox of Grand Hotel#xff09;希尔伯特旅馆有无限个房间#xff0c;并且每个房间都住了客人。一天来了一个新客人#xff0c;旅馆老板说#xff1a;“虽然我们已经客满#xff0c;… 全世界有3.14 % 的人已经关注了数据与算法之美希尔伯特旅馆悖论Hilberts paradox of Grand Hotel希尔伯特旅馆有无限个房间并且每个房间都住了客人。一天来了一个新客人旅馆老板说“虽然我们已经客满但你还是能住进来的。我让 1 号房间的客人搬到 2 号房间2 号房间搬到 3 号房间⋯⋯n 号房间搬到 n1 号房间你就可以住进 1 号房间了。”又一天来了无限个客人老板又说“不用担心大家仍然都能住进来。我让 1 号房间的客人搬到 2 号房间2 号搬到 4 号3 号搬到 6 号⋯⋯n 号搬到 2n 号然后你们排好队依次住进奇数号的房间吧。”这就是德国大数学家大卫·希尔伯特David Hilbert提出的著名悖论。每个学过集合论的学生都应该“拜访”过这个奇妙的希尔伯特旅馆。虽然人们把它叫做一个“悖论”它在逻辑上却是完全正确的只不过大大出乎我们的意料罢了。一扯上无限有趣的事说也说不完。意大利数学家伽利略Galileo Galilei在他的最后一本科学著作《两种新科学》Two New Science中提到一个问题正整数集合 {1, 2, 3, 4, ⋯⋯} 和平方数集合 {1, 4, 9, 16, ⋯⋯} 哪个大呢一方面正整数集合里包含了所有的平方数前者显然比后者大可另一方面每个正整数平方之后都唯一地对应了一个平方数两个集合大小应该相等才对。伽利略比较早地使用了一一对应的思想可惜没有沿着这个思路更进一步思考下去。最后他得出的结论就是无限集是无法比较大小的。说到这里我们不得不提到德国另一位伟大的数学家乔治·康托George Cantor他建立了集合论set theory并系统地研究了集合尤其是无穷集合的大小只不过这个大小不是简单地叫做“大小”了而是叫势cardinality。如果两个集合间的元素能建立起一一对应的关系我们就说它们等势这也是我们比较集合大小的方式。希尔伯特悖论形象地说明了正整数集合和正偶数集合是等势的。一切和自然数集合等势的集合都称为“可数集合”countable set否则就叫做“不可数集合”uncountable set。托里拆利小号Torricelli‘s Horn又到几何悖论时间了。上面这个小号状的图形有什么特点意大利数学家托里拆利Evangelista Torricelli将 y1/x 中 x≥1 的部分绕着 x 轴旋转了一圈得到了上面的小号状图形注意上图只显示了这个图形的一部分。然后他算出了这个小号的一个十分牛 B 的性质——它的表面积无穷大可它的体积却是 π。这明显有悖于人的直觉体积有限的物体表面积却可以是无限的换句话说填满整个托里拆利小号只需要有限的油漆但把托里拆利小号的表面刷一遍却需要无限多的油漆类似的二维几何悖论中最著名的要属“科赫雪花”Koch Snowflake了。科赫雪花是一种经过无穷多次迭代生成的分形图形下图就是前三次迭代的过程迭代过程的极限便是科赫雪花了。它也有一个类似的性质它的面积有限周长却是无限的。用无限的周长包围了一块有限的面积真是另类的“无中生有”啊芝诺悖论Zenos paradoxes芝诺悖论是由古希腊哲学家芝诺Zeno提出的一组悖论。其中的几个悖论还可以在亚里士多德Aristotle的《物理学》Physics一书中找到。最有名的是以下两个。阿基里斯与乌龟的悖论Achilles and the tortoise Paradox在跑步比赛中如果跑得最慢的乌龟一开始领先跑得最快的希腊勇士阿基里斯那么乌龟永远也不会被阿基里斯追上。因为要想追到乌龟阿基里斯必须先到达乌龟现在的位置而等阿基里斯到了这个位置之后乌龟已经又前进了一段距离。如此下去阿基里斯永远追不上乌龟。二分法悖论Dichotomy Paradox运动是不可能的。你要到达终点必须首先到达全程的 1/2 处而要到达 1/2 处必须要先到 1/4 处⋯⋯每当你想到达一个点总有一个中点需要先到因此你是永远也到不了终点的。其实你根本连动都动不了运动是不可能的。罗素Bertrand Russell曾经说过这组悖论“为从他那时起到现在所创立的几乎所有关于时间、空间以及无限的理论提供了土壤”。阿尔弗雷德·诺斯·怀特海德Alfred North Whitehead这样形容芝诺“知道芝诺的人没有一个不想去否定他的所有人都认为这么做是值得的”可见争议之大。无数热爱思考的人也被这些悖论吸引试图给这些出人意料的结论以合理的解释。当古希腊哲学家第欧根尼Diogenes听到芝诺的“运动是不可能的”这个命题时他开始四处走动以证明芝诺的荒谬可他并没有指出命题的证明错在哪里。亚里士多德对阿基里斯悖论的解释是当追赶者与被追者之间的距离越来越小时追赶所需的时间也越来越小。他说无限个越来越小的数加起来的和是有限的所以可以在有限的时间追上。不过他的解释并不严格因为我们很容易举出反例调和级数 11/21/31/4…… 的每一项都递减可是它的和却是发散的。阿基米德Archimedes发明了一种类似于几何级数求和的方法而问题中所需的时间是成倍递减的正是一个典型的几何级数所以追上的总时间是一个有限值。这个悖论才总算是得到了一个过得去的解释。直到 19 世纪末数学家们才为无限过程的问题给出了一个形式化的描述。尽管我们可以用数学方法算出阿基里斯在哪里以及什么时候追上乌龟但一些哲学家认为这些证明依然没有解决悖论提出的问题。出人意料的是芝诺悖论在作家之中非常受欢迎列夫·托尔斯泰在《战争与和平》中就谈到了阿基里斯和乌龟的故事路易斯·卡罗尔Lewis Carroll写了一篇阿基里斯和乌龟之间的对话阿根廷作家豪尔赫·路易斯·博尔赫斯Jorge Luis Borges也多次在他的作品中谈到阿基里斯悖论。球与花瓶Balls and Vase Problem我们有无限个球和一个花瓶现在我们要对它们进行一系列操作。每次操作都是一样的往花瓶里放 10 个球然后取出 1 个球。那么无穷多次这样的操作之后花瓶里有多少个球呢有人或许会说这个问题显然是荒谬的——这个过程需要耗费无穷的时间我们不可能等到那个时候。那么我们不妨换一个问法避开所需时间无穷的问题在差一分钟到正午 12 点时进行第 1 次操作在差 30 秒1/2 分钟到正午 12 点时进行第 2 次操作在差 1/2 n-1 分钟到 12 点时进行第 n 次操作。那么12 点的时候花瓶里有几个球呢看似简单的描述经过数学家的解释却出现了千奇百怪的答案。最直观的答案当然就是花瓶里有无限个球了因为每次都增加了 9 个球无限次之后当然有无限个球。数学家 Allis 和 Koetsier 却不这么认为。他们认为12 点时瓶子里没有球因为我们第 1 次放进 1 至 10 号球然后取出 1 号球第 2 次放入 11 至 20 号球然后取出 2 号球⋯⋯注意到n 号球总是在第 n 次操作时被取出来了因此无限操作下去每个球都会被取出来细心的读者会发现这个说法也有问题前面的证明假设我们取出的依次是 1 号球、2 号球、3 号球等等如果我们改成依次取 10 号球、20 号球、30 号球那么最后瓶子里又出现了无限个球了。哪种观点是正确的呢于是逻辑学家詹姆斯·亨勒James M. Henle和托马斯·泰马祖科Thomas Tymoczko认为花瓶里有任意个球。他们还给出了具体的构造方法说明最终花瓶里的球可以是任意数目。1953 年这个悖论由英国数学家利特尔伍德John Edensor Littlewood在他的书《一个数学家的集锦》A Mathematician‘s miscellany中首先提出1976 年谢尔登·罗斯Sheldon Ross在他的《概率论第一课》A First Course in Probability又一次介绍了这个问题所以它又被称为“罗斯·利特尔伍德悖论”Ross-Littlewood Paradox。无限长的杆Infinite Rod有一张无限大的桌子上面竖直地插着一根有限长的支柱。然后取一根无穷长的金属杆把它的一头铰接在支柱顶端另一头则伸向无穷远处。金属杆可以绕着支柱顶端自由地上下转动。假设金属杆和桌子都是无比坚硬的刚体。你会发现这根无限长的金属杆根本不会往下转动因为金属杆和桌子都很坚硬如果它们相交必然会损坏一个所以唯一的办法就是金属杆与桌面平行。那么我们看到的现象就是一根无限长的金属杆在空中仅仅靠一个点就保持水平这个有趣的问题是由数学家雷蒙德·斯穆里安Raymond Smullyan在一本庆祝马丁·加德纳 90 岁生日的书中介绍的。另外如果我们把铰接的点移到金属杆的中部那么金属杆就动弹不得稳稳地和桌面平行了------用数据解决不可能
