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题型单题分值题目数量总分值选择题5315填空题515解答题12112
*一道大题可能用到六部分所有知识
矩阵
性质 k k k倍和乘积行列式 ∣ k A ∣ k n ∣ A ∣ |kA|k^n|A| ∣kA∣kn∣A∣ ∣ A B ∣ ≠ ∣ A ∣ ∣ B ∣ |AB|≠… 部分内容整理自张宇和网络 序 题型分布
题型单题分值题目数量总分值选择题5315填空题515解答题12112
*一道大题可能用到六部分所有知识
矩阵
性质 k k k倍和乘积行列式 ∣ k A ∣ k n ∣ A ∣ |kA|k^n|A| ∣kA∣kn∣A∣ ∣ A B ∣ ≠ ∣ A ∣ ∣ B ∣ |AB|≠|A||B| ∣AB∣∣A∣∣B∣ ∣ A B ∣ ∣ A ∣ ∣ B ∣ ∣ B ∣ ∣ A ∣ |AB||A||B||B||A| ∣AB∣∣A∣∣B∣∣B∣∣A∣转置 ( k A ) T k A T (kA)^TkA^T (kA)TkAT ( A B ) T A T B T (AB)^TA^TB^T (AB)TATBT ( A B ) T B T A T (AB)^TB^TA^T (AB)TBTAT逆 ( k A ) − 1 1 k A − 1 (kA)^{-1}\frac1kA^{-1} (kA)−1k1A−1 A B AB AB未必可逆且 ( A B ) − 1 ≠ A − 1 B − 1 (AB)^{-1}≠A^{-1}B^{-1} (AB)−1A−1B−1 ( A B ) − 1 B − 1 A − 1 (AB)^{-1}B^{-1}A^{-1} (AB)−1B−1A−1伴随 ( k A ) ∗ k n − 1 A ∗ (kA)^*k^{n-1}A^* (kA)∗kn−1A∗ ( A B ) ∗ ≠ A ∗ B ∗ (AB)^*≠ A^*B^* (AB)∗A∗B∗ ( A B ) ∗ B ∗ A ∗ (AB)^*B^*A^* (AB)∗B∗A∗
行列式的乘积等于乘积的行列式 ∣ A B ∣ ∣ A ∣ ∣ B ∣ |AB||A||B| ∣AB∣∣A∣∣B∣转置伴随和逆 任意两个运算顺序可交换
基本运算
行列式 ∏ i 1 n λ i ∣ A ∣ \prod\limits_{i1}^n \lambda_i|A| i1∏nλi∣A∣所有特征值相乘结果等于行列式矩阵可逆行列式不为零矩阵不可逆行列式为零矩阵逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数 r ( A A T ) r ( A T A ) r ( A ) r(AA^T)r(A^TA)r(A) r(AAT)r(ATA)r(A)可逆乘可逆必可逆
求行列式
加边法伴随矩阵行列式可用原矩阵行列式特征值得出见下方“伴随矩阵的特征值”一节递推法通常是 n n n阶行列式
知乎 - 分块矩阵行列式
围绕矩阵 A A A可逆
矩阵若可逆逆矩阵必唯一逆矩阵特征值倒数 ∣ A − 1 ∣ ∣ A ∣ − 1 |A^{-1}||A|^{-1} ∣A−1∣∣A∣−1
证明矩阵 A A A可逆求矩阵 A − 1 A^{-1} A−1
求逆矩阵
求 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|≠0 ∣A∣0求 A ∗ A^* A∗代公式 A − 1 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}\frac{1}{|A|}A^* A−1∣A∣1A∗ 证矩阵 A A A可逆利用性质
可逆矩阵 r ( A ) n r(A)n r(A)n满秩则可逆可逆矩阵 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq 0 ∣A∣0行列式值不为零则可逆按定义存在 A B B A E ABBAE ABBAE则可逆齐次线性方程AX0如果方程只有零解则矩阵可逆反之如果有无穷解则矩阵不可逆对于非齐次线性方程AXb如果方程只有一个特解那么矩阵是可逆的否则如果有无穷解矩阵是不可逆的。 秩 非零矩阵秩大于等于1不满秩的矩阵的行列式必然为0 对于矩阵 A m × n A_{m×n} Am×n必有 r ( A ) ≤ min { m , n } r(A)\le\min\{m,n\} r(A)≤min{m,n} r ( A B ) ≤ min { r ( A ) , r ( B ) } r(AB)\le\min\{r(A),r(B)\} r(AB)≤min{r(A),r(B)}二级结论对于矩阵 A m × n A_{m×n} Am×n r ( A ) r ( A T A ) r(A)r(A^TA) r(A)r(ATA)两向量组被表出的秩不大可逆矩阵满秩秩等于阶数行列式不为零若 A A A可逆则 r ( A B ) r ( B ) , r ( B A ) r ( B ) r(AB)r(B),r(BA)r(B) r(AB)r(B),r(BA)r(B)若 A A A是一个非零列向量, 则 r ( A A T ) 1 r(AA^T)1 r(AAT)1若 n n n阶矩阵 A A A的某代数余子式 A i j ≠ 0 A_{ij}\neq 0 Aij0意味着 r ( A ) ≥ n − 1 r(A)\ge n-1 r(A)≥n−12020数学2第七题 A B 0 AB0 AB0则 r ( A ) r ( B ) ≤ 3 r(A)r(B)\le 3 r(A)r(B)≤3 r ( A ∗ ) { n r ( A ) n 1 r ( A ) n − 1 0 r ( A ) ≤ n − 1 r(A^*)\begin{cases} n \text{ \ \ \ \ \ }r(A)n\\ 1\text{ \ \ \ \ \ }r(A)n-1\\ 0\text{ \ \ \ \ \ }r(A)\le n-1\\ \end{cases} r(A∗)⎩ ⎨ ⎧n r(A)n1 r(A)n−10 r(A)≤n−1
迹
矩阵 A A A的迹即对角线元素之和 t r ( A ) ∑ i 1 n a i i a 11 a 22 a 33 . . . a n n tr(A)\sum_{i1}^na_{ii}a_{11}a_{22}a_{33}...a_{nn} tr(A)i1∑naiia11a22a33...ann
性质/结论 r ( C ) 1 r(C)1 r(C)1则 C n [ t r ( C ) ] n − 1 C C^n[tr(C)]^{n-1}C Cn[tr(C)]n−1C 性质 t r ( A ) t r ( A T ) tr(A)tr(A^T) tr(A)tr(AT) t r ( A B ) t r ( B A ) tr(AB)tr(BA) tr(AB)tr(BA)循环性 t r ( A B C ) t r ( B C A ) t r ( C A B ) tr(ABC)tr(BCA)tr(CAB) tr(ABC)tr(BCA)tr(CAB)相似矩阵迹相等因为$$ t r ( A B ) t r ( A ) t r ( B ) tr(AB)tr(A)tr(B) tr(AB)tr(A)tr(B)特征值之和等于矩阵的迹特别是上三角矩阵 t r ( A ) ∑ i 1 n a i i ∑ i 1 n λ i i tr(A)\sum_{i1}^na_{ii}\sum_{i1}^n\lambda_{ii} tr(A)∑i1naii∑i1nλii
关于5的解释如下 设 A A A、 B B B都是 n n n阶矩阵若有可逆矩阵 P P P使 P − 1 A P B P^{-1}APB P−1APB则称 A A A是 B B B的相似矩阵或说 A A A和 B B B相似。 基于第三点存在 t r ( A ) t r ( P B P − 1 ) t r ( P P − 1 B ) t r ( B ) tr(A)tr(PBP^{-1})tr(PP^{-1}B)tr(B) tr(A)tr(PBP−1)tr(PP−1B)tr(B)可推知第五点 伴随矩阵
伴随矩阵的核心在于它的定义和其他推导的二级结论 A ∗ ∣ A 11 A 21 . . . A n 1 A 12 A 22 . . . A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ A 1 n A 2 n . . . A n n ∣ A^*\begin{vmatrix} A_{11} A_{21} ... A_{n1} \\ A_{12} A_{22} ... A_{n2} \\ \vdots \vdots \vdots \\ A_{1n} A_{2n} ... A_{nn} \end{vmatrix} A∗ A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n.........An1An2⋮Ann
其余二级结论如下 A A ∗ A ∗ A ∣ A ∣ E ⇒ ∣ A A ∗ ∣ ∣ ∣ A ∣ E ∣ ⇒ ∣ A ∣ ∣ A ∗ ∣ ∣ A ∣ n ⇒ ∣ A ∗ ∣ ∣ A ∣ n − 1 AA^*A^*A|A|E\\\Rightarrow|AA^*|||A|E|\\\Rightarrow|A||A^*||A|^n\\\Rightarrow|A^*||A|^{n-1} AA∗A∗A∣A∣E⇒∣AA∗∣∣∣A∣E∣⇒∣A∣∣A∗∣∣A∣n⇒∣A∗∣∣A∣n−1 A ∗ ∣ A ∣ A − 1 A^*|A|A^{-1} A∗∣A∣A−1 A ∗ ( A ∗ ) ∗ ∣ A ∗ ∣ E ∣ A ∣ n − 1 E ⇒ ( A ∗ ) ∗ ∣ A ∣ n − 1 ( A ∗ ) − 1 ∣ A ∣ n − 1 ( ∣ A ∣ A − 1 ) − 1 ∣ A ∣ n − 2 A A^*(A^*)^*|A^*|E|A|^{n-1}E\\\Rightarrow (A^*)^*|A|^{n-1}(A^*)^{-1}|A|^{n-1}(|A|A^{-1})^{-1}|A|^{n-2}A A∗(A∗)∗∣A∗∣E∣A∣n−1E⇒(A∗)∗∣A∣n−1(A∗)−1∣A∣n−1(∣A∣A−1)−1∣A∣n−2A ∣ A ∗ ∣ ∣ A ∣ n − 1 |A^*||A|^{n-1} ∣A∗∣∣A∣n−1
当提到伴随矩阵 A ∗ ≠ 0 A^*\neq 0 A∗0时这意味着存在某个余子式 A i j ≠ 0 A_{ij}\neq 0 Aij0 ⇒ A \Rightarrow A ⇒A中有 n − 1 n-1 n−1阶子式不为零 ⇒ r ( A ) ≥ n − 1 \Rightarrow r(A) \ge n-1 ⇒r(A)≥n−1
如果求多个余子式构成的式子如 A 11 A 22 A 33 A_{11}A_{22}A_{33} A11A22A33就有可能用到伴随矩阵作为辅助
等价 #mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe {font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;fill:#333;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .error-icon{fill:#552222;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .error-text{fill:#552222;stroke:#552222;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .edge-thickness-normal{stroke-width:2px;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .edge-thickness-thick{stroke-width:3.5px;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .edge-pattern-solid{stroke-dasharray:0;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .edge-pattern-dashed{stroke-dasharray:3;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .edge-pattern-dotted{stroke-dasharray:2;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .marker{fill:#333333;stroke:#333333;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .marker.cross{stroke:#333333;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe svg{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .label{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;color:#333;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .cluster-label text{fill:#333;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .cluster-label span{color:#333;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .label text,#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe span{fill:#333;color:#333;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .node rect,#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .node circle,#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .node ellipse,#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .node polygon,#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .node path{fill:#ECECFF;stroke:#9370DB;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .node .label{text-align:center;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .node.clickable{cursor:pointer;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .arrowheadPath{fill:#333333;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .edgePath .path{stroke:#333333;stroke-width:2.0px;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .flowchart-link{stroke:#333333;fill:none;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .edgeLabel{background-color:#e8e8e8;text-align:center;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .edgeLabel rect{opacity:0.5;background-color:#e8e8e8;fill:#e8e8e8;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .cluster rect{fill:#ffffde;stroke:#aaaa33;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .cluster text{fill:#333;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe .cluster span{color:#333;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe div.mermaidTooltip{position:absolute;text-align:center;max-width:200px;padding:2px;font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:12px;background:hsl(80, 100%, 96.2745098039%);border:1px solid #aaaa33;border-radius:2px;pointer-events:none;z-index:100;}#mermaid-svg-qXKB2VFzhWnfACGe :root{--mermaid-font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;} 等价 矩阵等价 两矩阵同型且秩相等 向量组等价 互相表出 三秩相同 计算矩阵等价可以行列变换同时出现但是解方程组时只可以进行行变换
矩阵等价时列向量组之间、行向量组之间可能不等价也可能等价但秩一定相等。向量组等价看下面“向量组”一节的“等价小节”
矩阵n次方
CSDN - 常见各种类型的矩阵n次方求法 知乎 - 线代——求矩阵的n次方方法总结 A A A、 B B B相似则 A n A^n An、 B n B^n Bn相似
正交
正交矩阵行列式值为 ± 1 \pm1 ±1之一
向量组
线性相关/无关
首先明确这个在描述的是向量组而且处理方法跟它是行向量或者列向量无关 线性无关 ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 ⇔ \Leftrightarrow|A|\neq 0 \Leftrightarrow ⇔∣A∣0⇔满秩 ⇔ A x 0 \Leftrightarrow Ax0 ⇔Ax0只有0解 ⇔ A \Leftrightarrow A ⇔A可逆 #mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 {font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;fill:#333;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .error-icon{fill:#552222;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .error-text{fill:#552222;stroke:#552222;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .edge-thickness-normal{stroke-width:2px;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .edge-thickness-thick{stroke-width:3.5px;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .edge-pattern-solid{stroke-dasharray:0;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .edge-pattern-dashed{stroke-dasharray:3;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .edge-pattern-dotted{stroke-dasharray:2;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .marker{fill:#333333;stroke:#333333;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .marker.cross{stroke:#333333;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 svg{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .label{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;color:#333;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .cluster-label text{fill:#333;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .cluster-label span{color:#333;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .label text,#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 span{fill:#333;color:#333;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .node rect,#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .node circle,#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .node ellipse,#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .node polygon,#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .node path{fill:#ECECFF;stroke:#9370DB;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .node .label{text-align:center;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .node.clickable{cursor:pointer;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .arrowheadPath{fill:#333333;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .edgePath .path{stroke:#333333;stroke-width:2.0px;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .flowchart-link{stroke:#333333;fill:none;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .edgeLabel{background-color:#e8e8e8;text-align:center;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .edgeLabel rect{opacity:0.5;background-color:#e8e8e8;fill:#e8e8e8;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .cluster rect{fill:#ffffde;stroke:#aaaa33;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .cluster text{fill:#333;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 .cluster span{color:#333;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 div.mermaidTooltip{position:absolute;text-align:center;max-width:200px;padding:2px;font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:12px;background:hsl(80, 100%, 96.2745098039%);border:1px solid #aaaa33;border-radius:2px;pointer-events:none;z-index:100;}#mermaid-svg-gO0yKAO0fYRTp2z6 :root{--mermaid-font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;} 若具有线性相关性质 进行按分量加和操作 向量组 写成带系数的加和形式 转化成方程组有非零解问题 系数矩阵秩小于未知数个数 即 α 1 \alpha_1 α1、 α 2 . . . α n \alpha_2...\alpha_n α2...αn线性相关等价于 ⇔ A x 0 \Leftrightarrow Ax0 ⇔Ax0有非零解 ⇔ r ( A ) n \Leftrightarrow r(A)n ⇔r(A)n n n n个 n n n维向量 α 1 \alpha_1 α1、 α 2 . . . α n \alpha_2...\alpha_n α2...αn相关 ⇔ ∣ α 1 α 2 . . . α n ∣ 0 \Leftrightarrow|\alpha_1\alpha_2...\alpha_n|0 ⇔∣α1α2...αn∣0 n 1 n1 n1个 n n n维向量必线性相关两向量组被表出的秩不大若不能被表出秩之间无必然大小关系不成比例线性无关若 A [ α 1 α 2 . . . α n ] A[\alpha_1\alpha_2...\alpha_n] A[α1α2...αn]相似于B若B线性无关则A线性无关
证明 α 1 \alpha_1 α1、 α 2 . . . α n \alpha_2...\alpha_n α2...αn线性无关的方法
定义法见上面的流程图重组或乘证明秩 r ( α 1 α 2 . . . α n ) n r(\alpha_1\alpha_2...\alpha_n)n r(α1α2...αn)n反证法 处理向量组 I I I能由向量组 I I II II线性表出而反过来不能的问题
关于被表出的秩不大的特例若 α 1 \alpha_1 α1、 α 2 . . . α n \alpha_2...\alpha_n α2...αn可用 β 1 β 2 . . . β n \beta_1\beta_2...\beta_n β1β2...βn表出但 β 1 β 2 . . . β n \beta_1\beta_2...\beta_n β1β2...βn不可用 α 1 \alpha_1 α1、 α 2 . . . α n \alpha_2...\alpha_n α2...αn表出则 r ( α 1 r(\alpha_1 r(α1、 α 2 . . . α n ) r ( β 1 β 2 . . . β n ) \alpha_2...\alpha_n)r(\beta_1\beta_2...\beta_n) α2...αn)r(β1β2...βn) 若向量组 I I I能由向量组 I I II II线性表出且 r ( I ) r ( I I ) r(I)r(II) r(I)r(II)则两向量组等价 若 α 1 \alpha_1 α1、 α 2 . . . α n \alpha_2...\alpha_n α2...αn可用 β 1 β 2 . . . β n \beta_1\beta_2...\beta_n β1β2...βn表出即 r ( α 1 r(\alpha_1 r(α1、 α 2 . . . α n ) ≤ r ( β 1 β 2 . . . β n ) \alpha_2...\alpha_n)\le r(\beta_1\beta_2...\beta_n) α2...αn)≤r(β1β2...βn)
但另一方面由于向量组等价即可以互相表出与前提“ β 1 β 2 . . . β n \beta_1\beta_2...\beta_n β1β2...βn不可用 α 1 \alpha_1 α1、 α 2 . . . α n \alpha_2...\alpha_n α2...αn表出”矛盾则两秩必不可能相等故 r ( α 1 r(\alpha_1 r(α1、 α 2 . . . α n ) r ( β 1 β 2 . . . β n ) \alpha_2...\alpha_n)r(\beta_1\beta_2...\beta_n) α2...αn)r(β1β2...βn)
线性表出
若向量 β \beta β可以由 α 1 α 2 . . . α n \alpha_1\alpha_2...\alpha_n α1α2...αn线性表出 ⇔ ∃ \Leftrightarrow \exist ⇔∃实数 k 1 k 2 . . . k n k_1k_2...k_n k1k2...kn使 k 1 α k 2 α . . . a n α β k_1\alpha k_2\alpha ...a_n\alpha\beta k1αk2α...anαβ ⇔ ∃ \Leftrightarrow \exist ⇔∃实数 k 1 k 2 . . . k n k_1k_2...k_n k1k2...kn使 ( α 1 α 2 . . . α n ) [ k 1 k 2 ⋮ k n ] β (\alpha_1\alpha_2...\alpha_n)\begin{bmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots\\ k_n \end{bmatrix}\beta (α1α2...αn) k1k2⋮kn β ⇔ \Leftrightarrow ⇔下面的方程组有解方程组有解问题可以使用增广矩阵解方程组 ( α 1 α 2 . . . α n ) [ k 1 k 2 ⋮ k n ] β (\alpha_1\alpha_2...\alpha_n)\begin{bmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots\\ k_n \end{bmatrix}\beta (α1α2...αn) k1k2⋮kn β ⇔ \Leftrightarrow ⇔秩 r ( α 1 α 2 . . . α n ) r ( α 1 α 2 . . . α n β ) r(\alpha_1\alpha_2...\alpha_n)r(\alpha_1\alpha_2...\alpha_n\beta) r(α1α2...αn)r(α1α2...αnβ)
此处引用知乎用户的来源见水印的一张图
研究秩相等与否反证法根据表达式构造矛盾若 k s ≠ 0 k_s\neq 0 ks0根据题意选择证明
表示法不唯一
若 β \beta β可由 α 1 α 2 . . . α n \alpha_1\alpha_2...\alpha_n α1α2...αn线性表示且向量都是 n n n维列向量则方程组有 A x β Ax\beta Axβ有无穷多解即应求得 r ( A ) r ( A ∣ B ) n r(A)r(A|B)n r(A)r(A∣B)n成立
等价 两个向量组能互相线性表出就称这两个向量组等价 #mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m {font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;fill:#333;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .error-icon{fill:#552222;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .error-text{fill:#552222;stroke:#552222;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .edge-thickness-normal{stroke-width:2px;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .edge-thickness-thick{stroke-width:3.5px;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .edge-pattern-solid{stroke-dasharray:0;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .edge-pattern-dashed{stroke-dasharray:3;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .edge-pattern-dotted{stroke-dasharray:2;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .marker{fill:#333333;stroke:#333333;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .marker.cross{stroke:#333333;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m svg{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .label{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;color:#333;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .cluster-label text{fill:#333;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .cluster-label span{color:#333;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .label text,#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m span{fill:#333;color:#333;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .node rect,#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .node circle,#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .node ellipse,#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .node polygon,#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .node path{fill:#ECECFF;stroke:#9370DB;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .node .label{text-align:center;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .node.clickable{cursor:pointer;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .arrowheadPath{fill:#333333;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .edgePath .path{stroke:#333333;stroke-width:2.0px;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .flowchart-link{stroke:#333333;fill:none;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .edgeLabel{background-color:#e8e8e8;text-align:center;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .edgeLabel rect{opacity:0.5;background-color:#e8e8e8;fill:#e8e8e8;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .cluster rect{fill:#ffffde;stroke:#aaaa33;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .cluster text{fill:#333;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m .cluster span{color:#333;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m div.mermaidTooltip{position:absolute;text-align:center;max-width:200px;padding:2px;font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:12px;background:hsl(80, 100%, 96.2745098039%);border:1px solid #aaaa33;border-radius:2px;pointer-events:none;z-index:100;}#mermaid-svg-vIr1Mqe8tlfsjR0m :root{--mermaid-font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;} 等价 矩阵等价 两矩阵同型且秩相等 向量组等价 互相表出 三秩相同 向量组等价不要求每个组向量个数相同只要维数一样即可计算/判断依据向量组 I I I和 I I II II存在关系 r ( I ) r ( I I ) r ( I ∣ I I ) r(I)r(II)r(I|II) r(I)r(II)r(I∣II)即三秩相同向量组 I I I和 I I II II等价则记为 ( I ) ≌ ( I I ) (I)≌(II) (I)≌(II)向量组和它的极大线性无关组是等价向量组
向量空间
结合3D图形领域常说的世界空间坐标和物体局部坐标比较好理解
基变换公式则是
线性方程组
我把它写在另一篇文章里了线性方程组的求解问题
齐次方程组有无穷多解则 r ( A ) n r(A) n r(A)n毕竟这样才能有 n − r ( A ) n-r(A) n−r(A)个自由量自由量含 k k k而 k k k任意取值那自然就是无穷多解 A x 0 Ax0 Ax0只有0解 ⇔ r ( A ) n \Leftrightarrow r(A)n ⇔r(A)n A x b Axb Axb有唯一解 ⇔ r ( A ) r ( A ‾ ) n \Leftrightarrow r(A)r(\overline{A})n ⇔r(A)r(A)n但是 A x 0 Ax0 Ax0只有0解不能推知 A x b Axb Axb有唯一解 公共解问题
开头先说“因为方程组 ( 1 ) (1) (1)与 ( 2 ) (2) (2)的公共解即为联立方程组 ( 3 ) (3) (3)这里要具体写出来联立的方程组内容的解”就有两分 对联立方程组 ( 3 ) (3) (3)做初等行变换有 A ‾ . . . \overline A... A... 若参数 a . . . a... a...则有解此时…按常规解法进行就可以了
若给出的不是两个线性方程组而是一个线性方程组和另一个方程组的解则 同解问题 同解问题的本质是行变换右乘矩阵解不变 若 A A A、 B B B同解 ⇒ r ( A ) r ( B ) \Rightarrow r(A)r(B) ⇒r(A)r(B)不可反推常用 A A A的解带入 B B B的式子定 B B B系数矩阵中的未知数但是定出来之后还是要化简和 A A A比较一下的因为存在 B B B的解包含 A A A的解的情况此时 B B B包含一些独有的解。 A T A x 0 A^TAx0 ATAx0和 A x 0 Ax0 Ax0同解 特征值与特征向量 特征值和特征向量不是一对一的关系一个特征值对应的特征向量可能构成一个空间解空间 如 α 1 α 2 \alpha_1\alpha_2 α1α2是矩阵 A A A关于特征值 λ \lambda λ的特征向量则 k 1 α 1 k 2 α 2 k_1\alpha_1k_2\alpha_2 k1α1k2α2非0时仍是 A A A关于 λ \lambda λ的特征向量 如 α 1 α 2 \alpha_1\alpha_2 α1α2是矩阵 A A A不同特征值的特征向量则 k 1 α 1 k 2 α 2 k_1\alpha_1k_2\alpha_2 k1α1k2α2不是 A A A的特征向量 ∏ i 1 n λ i ∣ A ∣ \prod\limits_{i1}^n \lambda_i|A| i1∏nλi∣A∣所有特征值相乘结果等于行列式 ∑ i 1 n λ i ∑ i 1 n a i i t r ( A ) \sum\limits_{i1}^n\lambda_i\sum\limits_{i1}^n a_{ii}tr(A) i1∑nλii1∑naiitr(A) k k k阶矩阵最多会有 k k k个特征值不同特征值对应的特征向量是线性无关的相同的特征值对应的特征向量可能线性无关也可能线性相关能够相似对角化和是否不含重根没有必然联系上三角矩阵主对角线元素就是特征值若均不同可立即推出能对角化
对于相同的特征值重根对应的特征向量可能构成一个解空间但是这个n维的解空间内只有 n n n个向量线性无关其余向量均可用这 n n n个线性无关的向量表示所以可能线性无关也可能线性相关。
故也有结论若 ξ 1 \xi_1 ξ1、 ξ 2 \xi_2 ξ2是属于同一个特征值 λ \lambda λ的特征向量时 k 1 ξ 1 k 2 ξ 2 k_1\xi_1k_2\xi_2 k1ξ1k2ξ2也是属于特征值 λ \lambda λ的特征向量
相似对角化与重根对于 n n n阶矩阵 A A A的各个特征值中对于各重根若满足 n − r ( λ i E − A ) n i n-r(\lambda_i E-A)n_i n−r(λiE−A)ni其中 λ i \lambda_i λi是 n i n_i ni重根。此时可以相似对角化即这个 s s s重根对应能有 s s s个线性无关的特征向量
伴随矩阵特征值 秩为1的矩阵特征值的结论推导
凡是 n n n阶方阵 A A A秩为1其特征值构成为 n − 1 n-1 n−1个0和一个 t r ( A ) tr(A) tr(A)
求特征值、特征向量 A α λ α ( α ≠ 0 ) A\alpha\lambda \alpha (\alpha \neq 0) Aαλα(α0) ∣ λ E − A ∣ 0 , ( λ i E − A ) x 0 |\lambda E - A|0,(\lambda_i E-A)x0 ∣λE−A∣0,(λiE−A)x0如 P − 1 A P B P^{-1}APB P−1APB 若 A α λ α A\alpha\lambda \alpha Aαλα则 B ( P − 1 α ) λ ( P − 1 α ) B(P^{-1}\alpha)\lambda(P^{-1}\alpha) B(P−1α)λ(P−1α)若 B α λ α B\alpha\lambda \alpha Bαλα则 A ( P α ) λ ( P α ) A(P \alpha)\lambda(P \alpha) A(Pα)λ(Pα)
关于2的注由特征值 λ \lambda λ解出特征向量 ξ \xi ξ实际上是在解线性方程组 ( λ E − A ) ξ 0 (\lambda E-A)\xi0 (λE−A)ξ0具体操作与上一节线性方程组内容一致参阅即可。
求解线性方程组最后解要加上系数 k k k但是要注明 k ≠ 0 k\neq 0 k0因为特征向量不为零 求特征值要先带 ∣ λ E − A ∣ 0 |\lambda E - A|0 ∣λE−A∣0再化简不能先化简再代
矩阵相似
设 A A A、 B B B都是 n n n阶矩阵若有可逆的 n n n阶矩阵 P P P使 P − 1 A P B P^{-1}APB P−1APB则称 A A A是 B B B的相似矩阵或说 A A A和 B B B相似记为 A ∼ B A\sim B A∼B。
[反身性] A ∼ A A\sim A A∼A[对称性]若 A ∼ B A\sim B A∼B则 B ∼ A B\sim A B∼A[传递性]若 A ∼ B A\sim B A∼B B ∼ C B\sim C B∼C则 A ∼ C A\sim C A∼C
相似矩阵的性质
若有 P − 1 A P B P^{-1}APB P−1APB则 A A A和 B B B相似可推知
A与B行列式相等 ∣ A ∣ ∣ B ∣ |A||B| ∣A∣∣B∣A与B具有相同的可逆性即若 A A A可逆则有 A − 1 A^{-1} A−1与 B − 1 B^{-1} B−1相似A与B具有相同的秩、特征值多项式、特征值和迹 A n ∼ B n A^n \sim B^n An∼Bn
由 A A A和 B B B相似还可推知 A k E ∼ B k E AkE \sim BkE AkE∼BkE进一步类似地 ∣ A k E ∣ ∣ B k E ∣ |AkE || BkE| ∣AkE∣∣BkE∣ r ( A k E ) r ( B k E ) r(AkE)r(BkE) r(AkE)r(BkE)
若 A ∼ B A \sim B A∼B则 A A A是否能对角相似的问题可以转化为 B B B能否对角相似的问题
※相似有这些性质但有这些性质的未必相似
实对称矩阵有相同的特征值必相似特征值是重根得具体讨论是否相似见下一节 A A A和 B B B相似
矩阵 λ E − A \lambda E- A λE−A和 λ E − B \lambda E- B λE−B未必相等 A A A和 B B B未必相似于同一个对角矩阵 A A A和 B B B未必有相同的特征向量
矩阵的相似对角化 大题里面总要有某个题的中间步骤用到相似对角化 若对于 n n n阶矩阵 A A A A ∼ Λ ⇔ A A\sim \Lambda \Leftrightarrow A A∼Λ⇔A有 n n n个线性无关的特征向量 ξ \xi ξ A ∼ Λ ⇔ n i n − r ( λ i E − A ) A\sim \Lambda \Leftrightarrow n_in-r(\lambda_i E-A) A∼Λ⇔nin−r(λiE−A)其中 λ i \lambda_i λi是 n i n_i ni重根 A A A有 n n n个不同的特征值 λ ⇒ A ∼ Λ \lambda \Rightarrow A \sim \Lambda λ⇒A∼Λ A A A是实对称矩阵 ⇒ A ∼ Λ \Rightarrow A \sim \Lambda ⇒A∼Λ
前两个是充要条件后两个是充分条件 相似对角化的意义
参阅知乎文章理解矩阵的相似对角化
如果矩阵 A n × n A_{n×n} An×n能够相似对角化则会有 P − 1 A P Λ P^{-1}AP\Lambda P−1APΛ其中 P P P称为相似变换矩阵且 P P P不唯一。因为P是由 n n n个线性无关的特征向量构成的由于解出特征向量是一个解线性方程组的问题其解通常构成一个空间而在空间内选取一组线性无关的向量有很多种选法出于方便使用 P P P往往会选择为正交矩阵。
相似对角化的意义就是坐标系的变换。作用是通过对坐标系的变换选取不同的基使某些运算简单些。此处就对应了常见题型“由特征值、特征向量反求 A A A”
如求 B n B^n Bn若有 B n P − 1 Λ n P B^nP^{-1}\Lambda^nP BnP−1ΛnP此处的 Λ n \Lambda^n Λn计算肯定比 B n B^n Bn的计算方便 A P A ( γ 1 γ 2 γ 3 ) ( γ 1 γ 2 γ 3 ) [ a 1 a 2 a 3 ] ⇔ ( A γ 1 , A γ 2 , A γ 3 ) ( a 1 γ 1 , a 2 γ 2 , a 3 γ 3 ) APA(\gamma_1\gamma_2\gamma_3)(\gamma_1\gamma_2\gamma_3)\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}\\\Leftrightarrow(A\gamma_1\text{, }A\gamma_2\text{, }A\gamma_3)(a_1 \gamma_1\text{, }a_2\gamma_2\text{, }a_3\gamma_3) APA(γ1γ2γ3)(γ1γ2γ3) a1a2a3 ⇔(Aγ1, Aγ2, Aγ3)(a1γ1, a2γ2, a3γ3) 显然对角矩阵的值是 A A A的特征值 P P P的列向量是 A A A的特征向量 若 P − 1 A P ∼ B ≠ Λ P^{-1}AP \sim B \neq \Lambda P−1AP∼BΛ则此处的 P P P 不是 A A Ad的特征向量
判断相似 考研讨论的矩阵一般都是实矩阵 实对称矩阵必可相似于对角矩阵特征值不重复的矩阵必可相似于对角矩阵特征值有重根且 k i n − r ( λ i E − A ) k_i n-r(\lambda_i E-A) kin−r(λiE−A)的必可相似于对角矩阵其中 k i k_i ki是重根 λ i \lambda_i λi的个数
藉由传递性若 A ∼ B A\sim B A∼B B ∼ C B\sim C B∼C则 A ∼ C A\sim C A∼C证明矩阵 A A A和 C C C相似实际上需要找到中间的矩阵通常是对角矩阵 Λ Λ Λ证出 A ∼ Λ A\simΛ A∼Λ和 C ∼ Λ C\sim Λ C∼Λ
判断不相似相似的4个必要条件 ∣ A ∣ ≠ ∣ B ∣ |A|\neq |B| ∣A∣∣B∣ r ( A ) ≠ r ( B ) r(A)\neq r(B) r(A)r(B) λ A ≠ λ B \lambda_A\neq \lambda_B λAλB ∑ a i i ≠ ∑ b i i \sum a_{ii} \neq \sum b_{ii} ∑aii∑bii A ∼ Λ A\sim \Lambda A∼Λ但 B B B不可相似对角化 A k E ≁ B k E AkE \nsim BkE AkE≁BkE则 A A A和 B B B不相似
判断相似
相似于同一对角矩阵的两矩阵相似即上面的传递性实对称矩阵相似 ⇔ \Leftrightarrow ⇔两矩阵特征值一样
求可逆矩阵 P P P使 P − 1 A P ∼ Λ P^{-1}AP \sim \Lambda P−1AP∼Λ P P P是 A A A的特征向量 预处理求特征值 ∣ λ E − A ∣ 0 |\lambda E - A|0 ∣λE−A∣0得到 λ 1 \lambda_1 λ1、 λ 2 \lambda_2 λ2、 λ 3 \lambda_3 λ3求特征向量构造可逆 P [ α 1 α 2 α 3 ] P[\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3] P[α1α2α3] P − 1 A P Λ [ λ 1 λ 2 λ 3 ] P^{-1}AP\Lambda \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{bmatrix} P−1APΛ λ1λ2λ3
显然若有重根就得按解线性方程组的方法算出解空间内的一组 k k k个线性无关的向量作为 k k k重根的特征向量 α 1 ⋯ α k \alpha_1\cdots\alpha_k α1⋯αk加上其余的特征向量构成 P [ α 1 α 2 ⋯ α n ] P[\alpha_1 \alpha_2 \cdots\alpha_n] P[α1α2⋯αn]
求正交矩阵 Q Q Q使 Q − 1 A Q ∼ Λ Q^{-1}AQ \sim \Lambda Q−1AQ∼Λ 关键是注意单位化 预处理求特征值 ∣ λ E − A ∣ 0 |\lambda E - A|0 ∣λE−A∣0得到 λ 1 \lambda_1 λ1、 λ 2 \lambda_2 λ2、 λ 3 \lambda_3 λ3求特征向量改造特征向量 若 λ i ≠ λ j \lambda_i \neq \lambda _j λiλj 只需单位化若 λ i λ j \lambda_i \lambda _j λiλj特征值有重根先施密特正交化如果不正交的话再单位化 特征向量内积不得零就得正交化 施密特正交化
知乎 - 如何理解施密特正交化
知识串联 说明
得到 n n n阶矩阵 A A A求出 λ \lambda λ和 ξ \xi ξ有多个确定 ξ 1 ξ 2 . . . ξ n \xi_1 \text{ } \xi_2 ... \xi_n ξ1 ξ2...ξn是 n n n个线性无关向量构造 P ( ξ 1 ξ 2 . . . ξ n ) P(\xi_1 \text{ } \xi_2 ... \xi_n) P(ξ1 ξ2...ξn)确定 P P P可逆存在下式且构成下式的 λ \lambda λ均为 A A A的特征值 P − 1 A P ∣ λ 1 λ 2 ⋱ λ n ∣ P^{-1}AP\begin{vmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \ddots \\ \lambda_n \end{vmatrix} P−1AP λ1λ2⋱λn
对角线上的 λ \lambda λ的顺序是1、2…n是因为构成 P P P的向量下标也是这个顺序这俩得保持一致 构成对角化矩阵的元素就是原矩阵 A A A的特征值 二次型 通过 x P y 将 x T A x 变换为 y T P T A P y 通过 \text{ }xPy \text{ }将 \text{ }x^TAx \text{ }变换为 \text{ }y^TP^{T}APy 通过 xPy 将 xTAx 变换为 yTPTAPy
显然在原先的 x T A x x^TAx xTAx中参数变量/坐标轴是 x x x系数矩阵的 A A A而变化之后参数是 y y y系数矩阵是 P T A P P^{T}AP PTAP如果 P T A P P^{T}AP PTAP是对角矩阵则无交叉项变成了标准型 P − 1 A P Λ P^{-1}AP \Lambda P−1APΛ相似对角化上一节特征值的东西 P T A P Λ P^{T}AP \Lambda PTAPΛ合同对角化
相似和合同本无必然联系但是在实对称矩阵下相似必合同在实对称矩阵下合同的充要条件的
二次齐次多项式二次型可以写为矩阵形式 f ( x ) x T A x f(x)x^TAx f(x)xTAx其中 A A T AA^T AAT是个实对称矩阵叫做系数矩阵。二次型写成矩阵的形式有很多种方式选用实对称矩阵是因为方便后续计算利于后面研究问题。
系数矩阵 A A A的秩就是二次型的秩可逆线性变换不会改变二次型的秩正交变换的意义是对坐标轴进行旋转但是不会导致图形的扭曲 发现像坐标变换的先看行列式若行列式为零就不是坐标变换 x T ( A B ) x x T A x x T B x x^T(AB)xx^TAxx^TBx xT(AB)xxTAxxTBx
合同
合同的前提是在讨论实对称矩阵 f ( x ) x T A x f(x)x^TAx f(x)xTAx g ( y ) y T B y g(y)y^TBy g(y)yTBy若有矩阵 C C C使得 x C y xCy xCy亦即 C T A C B C^TACB CTACB则 A A A与 B B B合同记为 A ≃ B A \simeq B A≃B。 x C y xCy xCy即原坐标系与新坐标系下的坐标替换公式
阅读矩阵合同的本质是什么在坐标系或者基中 - 马同学的回答 - 知乎
做合同变换的意义是使二次型没有交叉项即只有平方项并且这种形式称为标准型。而标准型的系数矩阵恰恰只有对角线有元素其他位置为0这和“矩阵相似对角化”这一操作得到的结果不谋而合所以相似对角化能作为矩阵化为标准型用到的手段。 二次型化为标准型的三种方法
配方法正交变换合同变换
详细可参阅
请问求二次型的标准型的三种方法 - yfli-math的回答 - 知乎 正交变换最强总结笔记解决每一个考研线代人的理解难关 - 煜神学长的文章 - 知乎kaysen学长配方法化二次型为标准型通俗讲解理解门槛降为0不再配出一地鸡毛 判断合同的方法
两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同实对称矩阵相似必然合同合同矩阵必为等价矩阵等价矩阵未必为合同矩阵
惯性定理
同一个二次型通过不同的可逆变换所得的不同标准形系数为正的项数正惯性指数和系数为负的项数负惯性指数相同。
依靠惯性定理比较两个二次型是否能互相转换
使用特征值求正负惯性指数的数目配方法求正负惯性指数的数目 欲求正负惯性指数需要先求标准型即由 ∣ λ E − A ∣ 0 |\lambda E-A|0 ∣λE−A∣0算特征值看正负项数目即可
配方法
配方法得到一个新的式子下为例子 ( x 1 x 2 2 x 3 ) 2 ( x 2 5 x 3 ) 2 x 3 2 ⇒ y [ 1 1 2 0 1 5 0 0 1 ] x ⇔ y P x ⇔ x P − 1 y (x_1x_22x_3)^2(x_25x_3)^2x_3^2\Rightarrow y\begin{bmatrix}1 12\\015\\001\end{bmatrix}x\Leftrightarrow yPx\Leftrightarrow x P^{-1}y (x1x22x3)2(x25x3)2x32⇒y 100110251 x⇔yPx⇔xP−1y
那个 P − 1 P^{-1} P−1才是坐标变换
把二次型A化为另一个非标准型的二次型B
正交变换化为标准型 经过坐标变换二次型矩阵一定合同 经过正交变换二次型矩阵不仅合同而且相似 求二次型 x T A x x^TAx xTAx在正交变换下的标准型就也就是求二次型矩阵 A A A的特征值 对于任给的 n n n元二次型 f ( x ) x T A x f(x)x^TAx f(x)xTAx总有正交变换 x Q y xQy xQy把 f ( x ) f(x) f(x)化为标准型 g ( y ) λ 1 y 1 2 λ 2 y 2 2 . . . λ n y n 2 g(y)\lambda_1y_1^2\lambda_2y_2^2...\lambda_ny_n^2 g(y)λ1y12λ2y22...λnyn2其中 λ 1 , λ 2 . . . λ n \lambda_1,\lambda_2...\lambda_n λ1,λ2...λn是 A A A的特征值 若 Q Q Q是正交矩阵 x Q y xQy xQy就是正交变换。 实际上就是对二次型的系数矩阵 A A A求相似对角化的矩阵 Λ \Lambda Λ那就是标准型然后对应的坐标变换 x Q y xQy xQy的 Q Q Q由 A A A的特征值构成并且得正交化和单位化
步骤
根据二次型写出 A A A求 A A A的 λ \lambda λ和 ξ \xi ξ ξ 1 . . . ξ n \xi_1...\xi_n ξ1...ξn正交化单位化为 η 1 . . . η n \eta_1...\eta_n η1...ηn则正交矩阵 Q ( η 1 . . . η n ) Q(\eta_1...\eta_n) Q(η1...ηn)且有性质 Q T Q − 1 Q^TQ^{-1} QTQ−1 Q − 1 A Q Λ Q^{-1}AQ\Lambda Q−1AQΛ令 x Q y xQy xQy则 f ( x ) x T A x ( Q Y ) T A Q Y Y T Q T A Q Y Y Λ Y f(x)x^TAx(QY)^TAQYY^TQ^TAQYY\Lambda Y f(x)xTAx(QY)TAQYYTQTAQYYΛY
显然这里是用正交矩阵 Q Q Q把 A A A相似对角化
标准型项数的关系
标准型/规范性项数即原先系数矩阵的秩经过坐标变换秩不变
显然在三维空间下若化为的标准型为 y 1 y 2 y_1y_2 y1y2两项则原二次型秩为2显然必有其中一个特征值 λ 0 \lambda0 λ0
规范型
得到规范性的前提是得到标准型对标准型做伸缩变换即可。标准型的求法参见上方内容。
规范型只和平方项系数正负有关和系数大小无关 倘若给出的不是标准型即含有交叉项则可考虑配方法。若配方法过于复杂则应当对原二次型的系数矩阵 A A A 求特征值根据特征值的正负数目正负惯性指数确定规范型的正负
正定
前提有 A A T AA^T AAT即正定隐含的条件就是矩阵是对称矩阵 A A A正定 A T A^T AT必正定因为实对称矩阵 A A T AA^T AAT A A A正定 ⇔ A − 1 \Leftrightarrow A^{-1} ⇔A−1正定这个是正反都成立的 A A A正定 ⇒ A ∗ \Rightarrow A^* ⇒A∗正定这个是没法倒推的
处理步骤
写出二次型的系数矩阵如果需要检查是否对称证明正定
证明正定的方法
定义法特征值大于0充要条件正惯性指数n和单位矩阵合同 A C T E C C T C AC^TECC^TC ACTECCTC
正定的必要条件平方项系数大于0平方项/对角线元素有 ≤ 0 \le 0 ≤0的立即推不正定 充要条件所有顺序主子式都大于0一般是判断某个项的系数取值 如 [ 1 2 1 2 3 2 1 2 5 ] 的二阶主子式 ∣ 1 2 2 3 ∣ 小于零 如\begin{bmatrix}1 2 1\\232\\1 25\end{bmatrix}的二阶主子式\begin{vmatrix}1 2 \\23\end{vmatrix}小于零 如 121232125 的二阶主子式 1223 小于零
因为正定所以行列式大于0 正定必可逆
附录1相关结论的说明/例证
主对调副变号
主对调副变号是求二阶矩阵的
矩阵相似未必可以对角化
另一种说法是 A ∼ B A \sim B A∼B无法推出 A ∼ Λ , B ∼ Λ A \sim \Lambda,B\sim \Lambda A∼Λ,B∼Λ 如对于矩阵 A ∣ 1 − 2 0 1 ∣ B ∣ 1 1 0 1 ∣ A\begin{vmatrix} 1 -2\\01 \end{vmatrix}\text{ } B\begin{vmatrix} 1 1\\01 \end{vmatrix} A 10−21 B 1011
存在 p ∣ 2 0 0 − 1 ∣ p\begin{vmatrix} 2 0\\0-1 \end{vmatrix} p 200−1 使得 P − 1 A P B P^{-1}APB P−1APB但是 A A A和 B B B均不可相似对角化。因为它们的特征值都为1二重根但是由于 2 ≠ n − r ( E − A ) 2 \neq n-r(E-A) 2n−r(E−A)其中 n 2 n2 n2故而无法相似对角化但是确实相似 A A A正定 ⇔ A − 1 \Leftrightarrow A^{-1} ⇔A−1正定
已知 A A A正定又因为正定矩阵一定是实对称矩阵故有 A A T AA^T AAT对此式取逆有 A − 1 ( A T ) − 1 ( A − 1 ) T A^{-1}(A^T)^{-1}(A^{-1})^T A−1(AT)−1(A−1)T。
又因为 A A A的特征值 λ i \lambda_i λi全大于0所以 A − 1 A^{-1} A−1的特征值 1 λ i \frac{1}{\lambda_i} λi1也全大于0
故有 A A A正定 A − 1 A^{-1} A−1必正定 伴随的情况也类似但是为什么不能反推呢有个反例 A A A的三个特征值都是-1此时 A ∗ A^* A∗的三个特征值由 − 1 × − 1 × − 1 − 1 1 \frac{-1×-1×-1}{-1}1 −1−1×−1×−11为正这个反推不回去的
附录2一些可以横向比较的概念辨析
矩阵的等价/相似/合同 如何形象地理解矩阵的相似与合同 - PeiLingX的回答 - 知乎
相似的矩阵是同一个线性变换在不同基下的矩阵。 合同的矩阵是同一个双线性形在不同基下的矩阵。 相似必等价等价未必相似。因为相似的 P − 1 A P P^{-1}AP P−1AP中的 P − 1 P^{-1} P−1就是等价中的 Q A P QAP QAP中的 Q Q Q
等价合同相似都得同型
等价秩相等相似特征值相同或相似于同一对角阵有重根得另外考虑即特征值相同不一定相似合同如果是实对称矩阵得正负惯性指数相同 实对称矩阵相似 ⇔ 特征值相同 实对称矩阵相似\Leftrightarrow特征值相同 实对称矩阵相似⇔特征值相同
对称和反对称
若 A T − A A^T-A AT−A则为反对称
主对角线为0其余对应元素为相反数
对 A T − A A^T-A AT−A求行列式则有 ∣ A ∣ ∣ A T ∣ ∣ − A ∣ ( − 1 ) n ∣ A ∣ |A||A^T||-A|(-1)^n|A| ∣A∣∣AT∣∣−A∣(−1)n∣A∣
若反对称矩阵行列式不为零则推知n为偶数
附录3收集的其他人有用的文章
我的意思是没事时可以看看
矩阵迹trace, 行列式determinate 线性代数小结02伴随矩阵的十二个性质 22考研数学一143分经验贴
附录4题型归纳与方法总结
x^n项系数
别忘乘逆序数
分块矩阵
知乎 - 分块矩阵行列式公式
秩1矩阵性质
ABO
当两个矩阵存在关系 A B O ABO ABO并不意味着 A A A或 B B B为零矩阵。事实上 A B O ABO ABO是 ∣ A ∣ ∣ B ∣ 0 |A||B|0 ∣A∣∣B∣0的充分不必要条件。解该类问题的思考角度有 X B ≠ 0 XB≠0 XB0就是 A X 0 AX0 AX0的非零解从秩的角度入手
如 880.Z10.J.二.(8) 对 n n n阶矩阵 A A A得到的 A ( A − E ) 0 且 A ≠ E A(A-E)0且A\neq E A(A−E)0且AE r ( A B ) ≤ min { r ( A ) , r ( B ) } r(AB)\le \min\{r(A),r(B)\} r(AB)≤min{r(A),r(B)} 矩阵的幂
若 A ∼ B A\sim B A∼B即 P − 1 A P B P^{-1}APB P−1APB则 A P B P − 1 APBP^{-1} APBP−1 A n P B n P − 1 A^nPB^nP^{-1} AnPBnP−1找规律算 A 2 A^2 A2、 A 3 A^3 A3等若方阵 A A A有 r ( A ) 1 r(A)1 r(A)1则有 A n t r ( A ) n − 1 A A^ntr(A)^{n-1}A Antr(A)n−1A其中迹 t r ( A ) tr(A) tr(A)为对角线元素和注意是原矩阵不是化简矩阵的迹若 A α β T A\alpha \beta^T AαβT则对于 A n α β T α β T . . . α β T α ( β T α ) ( β T α ) . . . ( β T α ) β T A^n \alpha \beta^T\alpha \beta^T...\alpha\beta^T\alpha (\beta^T\alpha )(\beta^T\alpha)...(\beta^T\alpha)\beta^T AnαβTαβT...αβTα(βTα)(βTα)...(βTα)βT分块矩阵的幂运算规则见下式 [ A O O B ] n [ A n O O B n ] \begin{bmatrix} A O\\OB \end{bmatrix}^n\text{ } \begin{bmatrix} A^n O\\OB^n \end{bmatrix} [AOOB]n [AnOOBn] 6. 当分块矩阵的块退化到大小为1的时候就变成了对角矩阵的乘幂的性质。 7. 组合数选择如 ( A E ) n (AE)^n (AE)n直接展开在某些特殊幂次下 A m A^m Am可能等于0这样会把整个展开式消去绝大部分
上述的意思是 ( A E ) n ∑ i 0 n C n i E n − i A i (AE)^n\sum_{i0}^nC_n^iE^{n-i}A^i (AE)ni0∑nCniEn−iAi
线性相关
对于一个每个向量四维的向量组 α 1 α 2 α 3 \alpha_1\alpha_2\alpha_3 α1α2α3判断线性相关由于其系数矩阵不是方阵无法使用行列式来判断就得看系数矩阵的秩有必要指出的是化简时可以同乘含 t t t的倍数下为例 [ 1 2 0 0 1 1 0 0 3 − t 0 0 2 t ] \begin{bmatrix} 1 2 0\\ 0 1 1\\ 0 03-t \\ 002t \end{bmatrix} 10002100013−t2t
此时若 t ≠ 3 t\neq 3 t3且 t ≠ − 2 t\neq -2 t−2则 r ( A ) 3 r(A)3 r(A)3因为第三行除以 3 − t 3-t 3−t第四行除以 2 t 2t 2t两行都变为1后可以消去一行
另一方面若 r ( A ) 3 r(A)3 r(A)3则线性相关
若 A ( α 1 α 2 . . . α n ) A(\alpha_1\alpha_2...\alpha_n) A(α1α2...αn)是方阵则看行列式是否为0为0则相关
线性表出
构造对称矩阵
与转置矩阵相加即 a i i b i i a i j 1 2 ( b i j b j i ) a_{ii}b_{ii} \\ a_{ij}\frac 12 (b_{ij}b_{ji}) aiibiiaij21(bijbji) A 2 A A^2A A2A与特征值
设 A α λ α , α ≠ 0 A\alpha \lambda \alpha,\alpha \neq 0 Aαλα,α0则 A 2 α λ 2 α A^2\alpha \lambda ^2 \alpha A2αλ2α由 A 2 2 A A^22A A22A则 ( λ 2 − λ ) α 0 (\lambda^2-\lambda)\alpha 0 (λ2−λ)α0。其中特征向量不能为0则 λ 2 − λ 0 \lambda^2-\lambda0 λ2−λ0显然特征值分别是0或2
这时候通常是让你确定二次型 A A A对角矩阵的然后你就得把 0 0 0和 2 2 2往这个对角矩阵里填。题目中的其他条件会给出 A A A的秩例如基础解系的结构。
以 r ( A ) 2 r(A)2 r(A)2为例那就得填两个 2 2 2进去所以长下面这样 [ 2 2 0 ] \begin{bmatrix}2\\2\\0\end{bmatrix} 220
二次型中的 x T ( A T A ) x x^T(A^TA)x xT(ATA)x
这算是很多题型出现 x T ( A T A ) x x^T(A^TA)x xT(ATA)x后必有的中间运算固定套路 x T ( A T A ) x ( x T A T ) ( A x ) ( A x ) T ( A x ) x^T(A^TA)x(x^TA^T)(Ax)(Ax)^T(Ax) xT(ATA)x(xTAT)(Ax)(Ax)T(Ax) A x Ax Ax是一个 n × n n×n n×n的矩阵和一个 n × 1 n×1 n×1的矩阵相乘那结果就是 n × 1 n×1 n×1的列向量 设 A x [ b 1 b 2 ⋮ b n ] 故 ( A x ) T ( A x ) 的结果是 b 1 2 b 2 2 ⋯ b n 2 ≥ 0 设Ax\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_n\end{bmatrix}故(Ax)^T(Ax)的结果是b_1^2b_2^2\cdotsb_n^2 \ge 0 设Ax b1b2⋮bn 故(Ax)T(Ax)的结果是b12b22⋯bn2≥0
显然有如下结论 ( A x ) T ( A x ) 0 ⇔ ∃ b i ≠ 0 (Ax)^T(Ax)0\Leftrightarrow \exist b_i \neq 0 (Ax)T(Ax)0⇔∃bi0 ( A x ) T ( A x ) 0 ⇔ ∀ b i 0 (Ax)^T(Ax)0\Leftrightarrow \forall b_i 0 (Ax)T(Ax)0⇔∀bi0 该结论常在证明正定时候使用因为对于 ∀ x ≠ 0 \forall x \neq 0 ∀x0必有 ( A x ) T ( A x ) ≥ 0 (Ax)^T(Ax)\ge 0 (Ax)T(Ax)≥0 A k E AkE AkE判断相似 A [ 2 0 0 0 2 2 0 0 2 ] B [ 2 1 0 0 2 1 0 0 2 ] A\begin{bmatrix}200\\022\\002\end{bmatrix} B\begin{bmatrix}21 0\\021\\002\end{bmatrix} A 200020022 B 200120012 判断上面的两个矩阵是否相似 A − 2 E [ 0 0 0 0 0 2 0 0 0 ] , r ( A − 2 E ) 1 B − 2 E [ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ] , r ( B − 2 E ) 2 A-2E\begin{bmatrix}000\\002\\000\end{bmatrix},r(A-2E)1\\\text{}\\B-2E\begin{bmatrix}010\\001\\000\end{bmatrix},r(B-2E)2 A−2E 000000020 ,r(A−2E)1B−2E 000100010 ,r(B−2E)2
不相似
求过渡矩阵
欲求由 A A A到 B B B的过渡矩阵即求可逆矩阵 P P P使得 B A P BAP BAP其做法是对 ( A ∣ B ) (A|B) (A∣B)做初等行变换化为 ( E ∣ P ) (E|P) (E∣P)即为所求
