澧县网站建设,找别人做淘客网站他能改pid吗,义乌网站搭建,企业网站建设性能分析让我们再次考虑二阶线性系统 d Y d t A Y \frac{d\mathbf{Y}}{dt}A\mathbf{Y} dtdYAY
我们已经知道#xff0c;分析这种二阶系统。最主要的是注意它的特征值情形。 #xff08;此处没有重根的情形#xff0c;所有是partial#xff09;
而特征值#xff0c;也就是系…让我们再次考虑二阶线性系统 d Y d t A Y \frac{d\mathbf{Y}}{dt}A\mathbf{Y} dtdYAY
我们已经知道分析这种二阶系统。最主要的是注意它的特征值情形。 此处没有重根的情形所有是partial
而特征值也就是系统矩阵特征方程的根和而系统矩阵是直接相关的。 我们知道在线性代数理论中矩阵A的迹Trace(A)简称Tr是A的各个特征值之和而矩阵A的行列式determinant(A)(简称det)为特征值的积。 这里我们只考虑二阶系统。
1. 利用矩阵的迹-行列式求特征值
因此若A的特征值为 λ 1 , λ 2 \lambda_1, \lambda_2 λ1,λ2 则有 λ 1 λ 2 T r ( A ) λ 1 ∗ λ 2 d e t ( A ) \lambda_1 \lambda_2 Tr(A)\\ \lambda_1 * \lambda_2det(A) λ1λ2Tr(A)λ1∗λ2det(A) 上过初中的朋友如果考虑到特征值就是系统矩阵特征方程的根会不会让你回忆起韦达定理 对于方程 a λ 2 b λ c 0 a \lambda^2b\lambdac0 aλ2bλc0: λ 1 λ 2 − b a λ 1 ∗ λ 2 c a \lambda_1 \lambda_2 -\frac{b}{a}\\ \lambda_1 * \lambda_2\frac{c}{a} λ1λ2−abλ1∗λ2ac 利用 T r ( A ) 和 d e t ( A ) 和 a , b , c Tr(A)和det(A)和a, b, c Tr(A)和det(A)和a,b,c的关系, 再根据二次方程求根公式, 有 λ 1 , 2 T r ± T r 2 − 4 ∗ d e t 2 \lambda_{1,2} \frac{Tr±\sqrt{Tr^2-4*det}}{2} λ1,22Tr±Tr2−4∗det A被省略掉了 因此, 我们利用矩阵A的迹-行列式, 直接求系统特征值, 进而判断系统解的形态, 而不必列出特征方程, 这是一个比较巧妙的方法. 下面, 我们介绍一个必杀技, 如何一眼秒杀解的形态.
2. 利用矩阵的迹-行列式直接分析系统解的形态
T代表trace,D代表行列式. 这个图你一看1应该有点感觉了,下面我来讲一下这个图. 回顾上面的公式 λ 1 , 2 T ± T 2 − 4 ∗ D 2 \lambda_{1,2} \frac{T±\sqrt{T^2-4*D}}{2} λ1,22T±T2−4∗D
2.1 两个不同实根 T 2 − 4 ∗ D 0 T^2-4*D0 T2−4∗D0
我们看到 T 2 − 4 ∗ D 0 T^2-4*D0 T2−4∗D0的情况也就像下面图的红色区域代表系统有两个不一样的实特征值 由于 λ 1 λ 2 T λ 1 ∗ λ 2 D \lambda_1 \lambda_2 T\\ \lambda_1 * \lambda_2D λ1λ2Tλ1∗λ2D 因此当 T 0 , D 0 T0, D0 T0,D0,代表系统两个负特征值,此时平衡点为sink 当 T 0 , D 0 T0, D0 T0,D0,代表系统两个特征值一正一负,此时平衡点为saddle 当 T 0 , D 0 T0, D0 T0,D0,代表系统两个特征值一个负一个0,此时平衡点为node, 系统只有一个直线解, 相图的形状大概长这样 负特征值对应的一个特征空间 0特征值对应另外一个特征空间 这两个特征空间的直和构成整个相平面 如果系统的初始状态落在负特征值对应的特征空间上则会沿着特征向量的方向趋近于原点/平衡点 如果系统的初始状态落在0特征值对应的特征空间上它就不动了换言之 0特征值对应的特征空间构成了系统的一个不变集每个点都是平衡点学过非线性系统的同学们
如果初始状态落在其他地方由于线性代数告诉我们初始状态可以在两个分量上投影对应负特征值方向的分量会收敛为0 而对应0特征值方向的分量则不动了。 T 0 T0 T0的情况也可以类似的推出来
2.2 一对纯虚根 T 2 − 4 ∗ D 0 T^2-4*D0 T2−4∗D0
这个就不用多说了吧 由于两个根实部相同 T 0 T0 T0必定是不稳定的spiral source T 0 T0 T0必定是稳定的spiral sink T 0 T0 T0则是无阻尼振荡的螺旋center
2.3 最抽象的情况 重根 T 2 − 4 ∗ D 0 T^2-4*D0 T2−4∗D0
这在迹-行列式平面中表现为一条二次曲线 显然 T 0 T0 T0必定是不稳定的node T 0 T0 T0必定是稳定的node T 0 T0 T0就是原点啥也没有
综上所述你学会trace-determinant method了吗
