建设大型网站推广收费,北京系统开发,软件制作视频,潍坊网站建设价格低WKB方法用于研究一种特定类型的微分方程的全局性质 很有用这种特定的微分方程形如#xff1a; 经过一些不是特别复杂的推导#xff0c;我们可以得到他的WKB近似解。 该近似解的选择取决于函数和参数的性质同时#xff0c;我们默认函数的定义域为当恒大于零,时#xff1a; 当…WKB方法用于研究一种特定类型的微分方程的全局性质 很有用这种特定的微分方程形如 经过一些不是特别复杂的推导我们可以得到他的WKB近似解。 该近似解的选择取决于函数和参数的性质同时我们默认函数的定义域为当恒大于零,时 当恒小于零,时 注很快你会发现两个问题 a 和 b 是怎么确定的 答初始条件\lambda 趋于正无穷 并不意味着 只有 \lambda 很大才能使得该WKB 近似真实当存在一个或者多个零点时函数的WKB近似会变得非常的复杂 我们一会再看 WKB 近似案例 1
该案例选取自参考文献【1】P137 例5.1.1 我们相信它的WKB近似为我们使用四阶Runge-Kutta方法求解
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.optimize import fsolveclass odessolver():def __init__(self, f, Y_startnp.array([0, 1]), dY_startnp.array([0, 0]), \X_start0, X_end1, h0.01):self.f fself.h hself.X np.arange(X_start, X_end, self.h)self.n Y_start.sizeself.Y np.zeros((self.n, self.X.size))#第一个参数表示元 第二个参数表示变量self.Y[:, 0] Y_startself.Y[:, 1] Y_start self.h * dY_startself.tol 1e-6def __str__(self):return fy(x) f(x) ({self.f}) variablesdef RK4(self):for i in range(1, self.X.size):k1 self.f(self.X[i-1] , self.Y[:, i-1])k2 self.f(self.X[i-1] self.h/2 , self.Y[:, i-1]1/2*self.h*k1)k3 self.f(self.X[i-1] self.h/2 , self.Y[:, i-1]1/2*self.h*k2)k4 self.f(self.X[i-1] self.h , self.Y[:, i-1] self.h*k3)self.Y[:, i] self.Y[:, i-1] self.h/6 * (k1 2*k2 2*k3 k4)return self.Ydef IRK4(self):for i in range(1, self.X.size):def f1(k1, k2):f1_x self.X[i-1] self.h*(3-3**0.5)/6f1_y self.Y[:, i-1]k1/4*self.h(3-2*3**0.5)/12*k2*self.hf1_res self.f(f1_x, f1_y)return np.array([f1_res[i] for i in range(self.n)])def f2(k1, k2):f2_x self.X[i-1] self.h*(33**0.5)/6f2_y self.Y[:, i-1]k2/4*self.h(32*3**0.5)/12*k1*self.hf2_res self.f(f2_x, f2_y)return np.array([f2_res[i] for i in range(self.n)]) def func(k):k1 np.array([k[i] for i in range(self.n)])k2 np.array([k[iself.n] for i in range(self.n)])doc []for i in range(self.n):doc.append((k1 - f1(k1, k2))[i])for i in range(self.n):doc.append((k2 - f2(k1, k2))[i])return docsol fsolve(func, np.zeros(self.n*2))self.Y[:, i] self.Y[:, i-1] 1/2 * self.h * (sol[:self.n] sol[self.n:])return self.YA 0
B 1
Lambda 1
Q lambda x:(1x**2)**2
Y0 np.array([A, B])def test_fun(x, Y): return np.array([Y[1], Lambda**2 * Q(x) * Y[0]])c odessolver(test_fun, Y_startY0)
x np.arange(0, 1, 0.01)y3 c.RK4()
x np.arange(0, 1, 0.01)
plt.plot(x, y3[0, :], labelRK4)##y4 c.IRK4()
##x np.arange(0, 1, 0.01)
##plt.plot(x, y4[0, :], labelIRK4)WKB lambda x:1/(Lambda*(1x**2)**0.5)*(np.exp(xx**3/3)-np.exp(-(xx**3/3)))/2
plt.plot(x, WKB(x), labelWKB)plt.legend()
plt.pause(0.01)看上去十分得合理 参考文献
[1]数学物理中的渐近方法 李家春 周显初 科学出版社
