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一.写在前面
二.子空间垂直
2.1 理论解释
2.2 举例分析
三. 零空间
3.1 零空间与q-ary垂直格
3.2 零空间与行/列空间
四. 格密码相关 一.写在前面
格密码中的很多基础原语都来自于线性代数的基本概念#xff0c;比如举几个例子#xff1a;
格密码中的非满秩格…目录
一.写在前面
二.子空间垂直
2.1 理论解释
2.2 举例分析
三. 零空间
3.1 零空间与q-ary垂直格
3.2 零空间与行/列空间
四. 格密码相关 一.写在前面
格密码中的很多基础原语都来自于线性代数的基本概念比如举几个例子
格密码中的非满秩格------------矩阵的秩矩阵列向量的线性独立性
格基正交化过程------------------正交矩阵的性质与变换
子格---------------------------------矩阵子空间
正交子格---------------------------正交子空间
q-ary垂直格-----------------------向量与矩阵列空间垂直
本文章将解释线性代数中的子空间正交矩阵零空间矩阵的秩在格密码中的运用。 二.子空间垂直
2.1 理论解释
一个点0维度
一条线1维度
一个平面2维度
一个立体图形3维度
以此类推。。。。。
子空间垂直要求一个子空间中的任意向量与另一子空间中的任意向量都垂直。
比如的子空间维度可以是0,1,2,3。0维的子空间只能是原点如果选其他点的话必然构成一条线当然按照惯例原点形成的0维子空间与任意子空间都垂直。
子空间垂直领域一条线可以跟一条线垂直一条线可以跟一个平面垂直但注意一个平面和一个平面不可能垂直。
注意此处与以前高中学习的平面垂直是不一样的。
举个例子
一间教室前面的墙和侧边的墙我们感觉是垂直的。但不符合子空间垂直的概念你沿着角落那条线在前面墙画一条竖线在侧面墙画一条竖线这两条竖线很明显平行并不垂直。
总结以上子空间垂直的官方定义如下
Two subspaces V and W of the same space are orthogonal if every vector v in V is orthogonal to every vector w in W: for all v and w. 2.2 举例分析
给出两个向量很明显这两个向量形成的子空间V为2维的平面。给出向量很明显这一个向量形成的子空间W为一条线。
根据向量垂直的基础知识很容易验证既与垂直也与垂直。
接着很容易推导出子空间与子空间互相垂直。
在这个例子里面V的维度是2W的维度是1总空间大小是说明还缺一个维度。再给出一个向量该向量形成的子空间为L很明显它既垂直于V又垂直于W。现在把它们的维度加在一起2114刚刚好。 三. 零空间
3.1 零空间与q-ary垂直格
对于正整数n和q选出密码学通常要求该矩阵随机取这个矩阵是公开的如果有一个向量z乘以该矩阵为0向量那么把满足此条件的向量z全部都组合在一起就称之为q-ary垂直格如下 仔细观察此处的向量z这不就是线性代数中的零空间后续讨论中我们用x来代替z代表其在线性代数中可以取非整数如下 矩阵A的行向量都是n维的所以行空间是的子空间。向量x也是n维的所以此零空间也是的子空间。
3.2 零空间与行/列空间
定理
在上行空间与零空间互相垂直在上列空间与左零空间互相垂直
证明
给定任意m行n列矩阵A从其零空间中抽取一个n维向量x满足Ax0该方程组有m个方程可以理解为矩阵A的每一行都与向量x相乘如下 第一行与向量x的内积为0所以第一行与向量x垂直。以此类推向量x与每一行都垂直。也就是向量x与每一行的任意线性组合都垂直。这不就是零空间内任意向量x都与行空间内任意向量垂直写作 矩阵的列空间也有类似的性质。比如如下 向量y垂直于矩阵A的每一列。向量y形成的空间就是所谓的左零空间。通常写作 代表左零空间C(A)代表矩阵A的列空间。 3.3 举例
给定一个秩为1的矩阵A如下 由此可得该矩阵的行空间和列空间均为一条线。观察发现矩阵A的每一行都是向量的倍数由此可类推其零空间中包含向量该向量与矩阵A的任意行都垂直如下 行空间的维度为1零空间的维度也为1总维度为。总结出规律 列空间是过点的一条线左零空间的点记为根据需要满足 这不就是一个平面。总结规律 四. 格密码相关
格密码的SIS问题与矩阵正交相关。
结论1 理解零空间是行空间的正交补集。
结论2
行空间维度零空间维度矩阵列数
列空间维度左零空间维度矩阵行数
结论3
左零空间在上是列空间的正交补集。
