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一、事件及其关系与运算 1、样本空间、样本点、随机事件、必然事件、不可 能事件、基本事件和复合事件的概念#xff1b; 2、事件的包含与相等#xff1a;若事件A包含事件B#xff0c;则B的发生必然导致A的发生。进而有P(AB)P(B)#xff0c;P…第一章 概率论的基本概念
一、事件及其关系与运算 1、样本空间、样本点、随机事件、必然事件、不可 能事件、基本事件和复合事件的概念 2、事件的包含与相等若事件A包含事件B则B的发生必然导致A的发生。进而有P(AB)P(B)P(AUB)P(A)
3、和事件A、B至少有一个发生的事件即AUB
4、积事件A、B同时发生的事件即AB
5、互斥事件A、B不能同时发生的事件即满足ABφ也称互不相容事件。 6、对立事件满足条件ABΦ而且A∪BSA的对立事件 用A ̅表示A ̅S-A对立事件一定是互不相容事件。
7、差事件A发生B不发生的事件称为A与B的差事件表示为A-B或
8、常用运算式
二、事件的概率及其计算
1、概率的公理化定义规定了概率要满足的三 个条件
1P(A)≥0即非负性
2P(S)1即规范性
3两两互不相容事件的和的概率等于事件 的概率之和即概率的可加性。
2、概率的性质
1对于任一事件A有P(A ̅)1-P(A);
2P(Φ)0;
3若B包含A则有P(B-A)P(B)-P(A)而 且P(B)≥P(A)
4对任一事件A有P(A)≤1
5对任意两个事件A、B有 P(A∪B)P(A)P(B)-P(AB) 该式称为概率的加法公式。
6【概率减法公式】P(A-B)P(A)-P(AB)
当B⊂A时P(A-B)P(A)-P(B) 当AΩ时P(B)1- P(B)。 3、古典概率计算P(A)K/N事件A包含的样本点数/样本空间S包含的样本点数 4、条件概率的定义 当P(B)0时有P(A/B)P(AB)/P(B) 5、乘法定理 计算事件之积的概率公式 设P(A)0则有P(AB)P(A)P(B/A) 6、全概率公式设S为试验E的样本空间B1B2···Bn为S的一个划分A为E的事件且 P(Bi)0(i1,2,3···n)则有
7、贝叶斯公式实质为一条件概率
设S为试验E的样本空间B1B2···Bn为S的一个划分A为E的事件且P(Bi)0(i1,2,3···n)P(A)0则有
满足全概率公式和贝叶斯公式的前提是“完备事件群”。 满足 BiBj∅(i≠j)B1B2⋯Ω
这样的一组事件称为一个“完备事件群”。简而言之就是事件之间两两互斥所有事件的并集是整个样本空间必然事件。
三、事件的独立性
1、独立性的定义设A、B为两事件如果有P(AB)P(A)P(B)成立则称事件A和事件B相互独立。
2、推论
1若A与B独立则有A ̅与BA与B ̅A ̅与B ̅也相互独立
2若A、B互斥且P(A)0P(B)0则A与B不独立
3若A、B独立且P(A)0P(B)0则A与B不互斥
4样本空间中S与Φ既独立又互斥
5Φ与任何事件都独立且互斥。
第二章 随机变量及其分布
一、随机变量的定义
设E的样本空间为S{e}XX{e}是定 义在样本空间上的实值单值函数称XX{e}为随机变量 记为R.V。R.V一般用大写的字母X、Y、Z等表示而小 写的x、y、z用来表示R.V所取的值。
二、离散型随机变量 1、离散型R.V的定义R.V的全部可能取值是有限个 或可列无限多个。 2、离散型R.V的分布律P{Xxk}pkk1,2,3···
3、分布律的性质pk≥0
三、三种重要的离散型随机变量的分布律
1、0—1分布记为X(01)
其中k0,10p1。
2、二项分布记为XB(n,p)
1伯努利试验试验E只有两种可能的结果A和A ̅。 令A发生的概率为p。
2n重伯努利试验将试验E独立地重复进行n次。
3定义R.V X为N重伯努利试验中A发生的次数则有
3、泊松分布记为Xπ(λ)
1泊松分布的定义k0,1,2···
2泊松定理当二项分布中n很大p很小时可以用泊松分布来近似二项分布泊松分布中的 参数λnp。 四、R.V的分布函数
1、分布函数的定义F(x)P{X≤x}其中X是随机变量x是实数参变量.
由定义可P{aX≤b}F(b)-F(a)
2、分布函数的性质Fx是一个不减函数0≤F(x)≤1Fx右连续。
五、连续性随机变量
1、其中f(x)为随机变量X的概率密度 函数。
2、概率密度的性质f(x)≥0
若f(x)在x处连续则有f(x)F′(x).
3、连续型随机变量X取任一指定值的概率为0即 P{Xa}0其中a为任意实数。
4、对于连续性随机变量X有P{a≤X≤b}P{aX≤b}P{aXb}P{a≤Xb}.
六、三种重要的连续性随机变量
1、均匀分布记为XUa,b概率密度为
2、指数分布记为XE(θ),概率密度为 3、正态分布也称为高斯分布记为XN(σ2)
1正态分布的概率密度-∞x∞ 其中u可取任意实数,σ取大于0的实数。
2正态曲线关于xu对称。
3当xu时f(x)取到最大值即f(u)1/σ√2π。
4u决定了正态曲线的中心位置称为位置参数σ 决定了正态曲线的中峰陡峭程度称为尺度参数。
5标准正态分布 u0σ1的正态分布称为标准正态分布 即XN(01).
6标准正态分布的密度函数为 标准正态分布的分布函数为
φ(x)可通过标准正态分布函数表查表得到。
7正态分布转化为标准正态分布的方法必会 因此有FxPX≤xφx−u/σ Px1X≤x2φx_1−u/σ-φx_2−u/σ
8上α分位点设XN(01),若z_α满足条件 P{Xzα}α,0α1则称z_α为标准正态分布的上α 分位点。
七、随机变量的函数的分布
1、离散型随机变量函数的分布 若X的分布律为
则Yg(X)的分布律为
若g(xk)中有一些取值相同则把它们的概率相加。 2、连续型随机变量的函数的分布
问题的提法已知X的概率密度为f(x)求Yg(X)概率密度。
做法1针对g(X)为严格单调时设Y的分布函数为FY(y)则有FY(y)P{Y≤y}P{g(X)≤y}P{X≤h(y)}FX(h(y)) 其中h(y)为yg(x)的反函数。然后FY(y)对y求导即得 Y的概率密度f(y)。
定理若函数g(x)处处可导且g(x)的倒数恒大与0或恒小于0则有以下结论 f(y)fX[h(y)]|h/(y)|其中h(y)为yg(x)的反函数。
做法2分布函数法【必会】连续型随机变量函数的分布的求法通常是采用分布函数的定义的方法。我们将分布函数变形将它化成关于 的分布函数然后对 y 求导就得到了 Y 的概率密度。 第三章 多维随机变量及其分布
一、二维随机变量的定义
设E是一个随机试验它的样本空间是S{e}设XX{e}和YY{e}是定义在S上的随机变量由它们构成的一个向量(X,Y)称为二维随机变量。
二、二维R.V的分布函数
1、定义Fx,yP{X≤x,Y≤y}也称为联合分布函数。 P{aX≤b,cY≤d}F(b,d)-F(b,c)-F(a,d)F(a,c)
2、性质
1Fx,y是变量x和y的不减函数。
20≤Fx,y≤1F(-∞,y)0F(x,-∞)0F(-∞,-∞)0F(∞,∞)1
3Fx,y关于x和y右连续
三、离散型二维随机变量
1、定义二维R.V的所有可能取值是有限对或可 列无限多对。
2、分布律P{Xxi,Yyj}pij,i,j1,2,3······也称联合分布律
四、连续型二维随机变量
1、定义存在非负函数f(x,y)有 其中f(x,y)称为二维随机变量X,Y的概率密度。
2、二维概率密度函数f(x,y)的性质
1f(x,y)≥0
2【必知】
3若f(x,y)在x,y处连续则有
4设G是xoy平面上的一个区域点X,Y落 在区域G内的概率为 积分区域为G。
五、边缘分布
1、边缘分布函数已知联合分布函数Fx,y
X的边缘分布函数为FX(x)P{X≤x}P{ X≤x,Y≤∞}F(x,∞) Y的边缘分布函数为FY(y)P{Y≤y}P{ X≤∞,Y≤y}F(∞,y)
2、离散型二维R.V的边缘分布律已知联合分布律pij X的边缘分布律为
Y的边缘分布律为 3、连续型二维R.V的边缘概率密度已知联合概率密度f(x,y) 【必会】
X的边缘概率密度为
Y的边缘概率密度为
六、条件分布
1、离散型R.V的条件分布分布律
1 若P{Yyi}0则在Yyi 条件下X的条件分布律为
P{ Xxi| Yyi} P{Xxi,Yyj}/ P{Yyi}pij/p.ji1,2···
2若P{Xxi}0则在Xxi 条件下Y的条件分布律为
P{ Yyi | Xxi } P{Xxi,Yyj}/ P{ Xxi }pij/ pi.j1,2···
2、连续型R.V的条件概率密度
1若fYy0在Yy条件下X的条件概率密度为
2若fXx0在Xx条件下Y的条件概率密度为
3综合来说条件分布联合分布/边缘分布
3、二维R.V的均匀分布的定义
设G是平面上的有界区域其面积为A若其联合概率密度为
则称X,Y在G上服从均匀分布。
七、相互独立的随机变量
1、定义设Fx,y及FX(x)、FY(y)分别是二维R.V(X,Y)的联合分布函数和边缘分布函数若对于所有的x,y有 Fx,y FX(x)·FY(y)则称R.V X和Y是相互独立的。 2、对于连续型随机变量有fx,y fX(x)·fY(y) 3、对于离散型随机变量有P{Xxi,Yyj} P{Xxi}·P{Yyi}
4、二维正态随机变量 两个边缘分布为
当ρ0时X和Y相互独立若X和Y相互独立则ρ0.
八、两个随机变量函数的分布
1、ZXY的分布 已知X,Y的联合概率密度为f(x,y)则Z的概率密度为
若X和Y相互独立则Z的概率密度为 2、关于随机变量之和的分布的几个结论
1设X和Y相互独立且XN(1, σ12)YN2σ22则ZXY仍服从正态分布 且.
2若XiN(i, σi2)i1,2···且它们相互独立则它们的和服从正态分布
且有
3设X和Y相互独立且Xπ(λ1)Yπ(λ2)则ZXYπ(λ1λ2).
4设X和Y相互独立且Xb(n,p)Yb(n,p)则 ZXYb(2n,p)
3、Mmax(X,Y)和Nmin(X,Y)的分布函数
1 设X、Y相互独立其分布函数分别为FX(x)、FY(y)则【必知】 上述结论可以推广到n个相互独立的随机变量的情况。 2若 相互独立且均服从参数为θ的指数分布定义则Z服从参数为θ/n 的指数分布。
第四章 随机变量的数字特征
一、随机变量的数学期望的定义
1、离散型随机变量X其分布律为P{Xxk}pkk1,2,3···若级数绝对收敛则称该级数的和为R.V X的数学期望记为。
2、连续型随机变量X其概率密度为f(x),若积分绝对收敛则称该积分值为随机变量X的数学期望记为。【必知】
二、随机变量的函数的数学期望
设Y为随机变量X的函数Yg(X)其中g是连续函数
1、已知离散型随机变量X其分布律为P{Xxk}pk k1,2,3···则Y的数学期望为
2、已知连续型随机变量X其概率密度为f(x)则Y的数学期望为
结论不必知道Y的概率分布可以通过X的概率分布求Y的 数学期望。
以上结论可以推广到求取二维随机变量的函数的数学期望 已知条件为二维随机变量的联合概率分布。
三、数学期望的重要性质
1、设C是常数则有E(C)C。
2、设X是随机变量C是常数则有E(CX)CE(X).
3、设X、Y是两个随机变量则有E(XY)E(X)E(Y).
4、设X、Y是相互独立的随机变量则有E(XY)E(X)E(Y).
第3、4条性质可以推广到n个随机变量。
四、随机变量的方差
1、方差的定义设X是R.V若E{[X-E(X)]2}存在则称其 为X的方差记为D(X)即D(X)E{[X-E(X)]2}。
2、方差的意义方差表示随机变量X的取值与其数学期望E(X)的偏离程度。
3、方差的计算由方差的定义可知方差实质为一数学期 望是随机变量的函数[X-E(X)]2的数学期望。
1离散情况
2连续情况
3计算方差的重要公式D(X)E(X2)-[E(X)]2【必会】
五、标准化随机变量的定义
设R.V X的E(X)D(X)σ2≠0记X*X-/σ则称X*为X的标准化的随机变量。且E(X*)0D(X*)1。
六、方差的性质
1、设C为常数则D(C)0。
2、设X是R.VC是常数则有【必知】
3、设X、Y是两个随机变量则有D(XY)D(X)D(Y)2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
4、若X、Y相互独立则有D(XY)D(X)D(Y)此结论可以推广到n 个相互独立的随机变量的情况。
5、D(X)0的充要条件是X以概率1取常数C且CE(X)。
七、六种重要的随机变量的数学期望和方差
1、X(0-1)X1的概率为p则有E(X)pD(X)p(1-p)
2、XB(n,p)则有E(X)npD(X)np(1-p)
3、Xπ(λ)则有E(X)λD(X)λ
4、XU(a,b)则有E(X)(ab)/2
5、XE(θ)则有E(X)θ
6、XN(,σ2)则有E(X),
八、切比雪夫不等式 【必会】
定理设随机变量X具有数学期望E(X) D(X)σ2则对于任意正数ε不等式 成立该不等式称为切比雪夫不等式。
切比雪夫不等式的另一种形式
九、协方差及相关系数
1、X、Y的协方差的定义Cov(X,Y)E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
2、X、Y的相关系数的定义ρXY Cov(X,Y)/√D(X)D(Y)
3、跟协方差及相关系数有关的计算公式
1D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)D(X-Y)D(X)D(Y)-2Cov(X,Y)
2Cov(X,Y) ρXY√D(X)D(Y)
3Cov(X,Y)E(XY)-E(X)E(Y)【必会】
4Cov(X,X)E(X2)-E(X)E(X)D(X) 4、协方差的性质
1Cov(X,Y) Cov(Y,X)
2若ab为常数则Cov(aX,bY)ab Cov(X,Y)
3CovX1X2Y Cov(X1,Y) Cov(X2,Y)
5、相关系数的性质
1|ρXY|≤1
2|ρXY|1的充要条件是存在常数ab使 P{YabX}1 6、不相关的定义及性质
1不相关的定义如果ρXY0则称X和Y不相关
2以下4条说法和不相关等价
①ρXY0 ②Cov(X,Y)0
③E(XY)E(X)E(Y)④D(XY)D(X)D(Y)。
3若X和Y相互独立则X和Y不相关反之不成立。 7、 二维正态分布X和Y不相关的充要条件为ρ0
结合二维正态分布X和Y相互独立的条件可知
二维正态分布X和Y不相关和独立是等价的充 要条件均为ρ0。
十、矩的概念
1、X的k阶原点矩E(Xk)K1,2,3······
2、X的k阶中心距E{[X-E(X)]k}k2,3······
3、X和Y的kl阶混合矩E[XkYl]k,l1,2,3······
4、X和Y的kl阶混合中心矩E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]l}k,l1,2,3······
由矩的概念知E(X)为X的一阶原点矩D(X)为X的二阶中心矩
Cov(X,Y)为X、Y的二阶混合中心矩。
十一、n维正态随机变量的性质
1、n维正态随机变量X1X2···Xn的每一个分量Xi(i1,2···n)都是正态随机变量
反之若X1X2···Xn是相互独立的正态随机变量 则X1X2···Xn是n维正态随机变量。
2、n维随机变量X1X2···Xn服从n维正态分布的条件是X1X2···Xn的任意线性组合服从一维正态分布。
第五章 大数定律及中心极限定理
一、定理一切比雪夫定理的特殊情况
设随机变量X1X2···Xn···相互独立且具有相同的数学期望和方差
做前n个随机变量的算术平均值则对于任意的ε0有
实际意义用n很大时的Yn来估计的值。
二、定理二伯努利定理
设nA是n次独立重复试验中事件A发生的次数p是 事件A在每次试验中发生的概率则对于任意的ε0有
实际意义以严格的数学形式证明了频率的稳定性从而可以用n很大时的频率来代替概率。
三、定理三辛钦大数定理
设随机变量X1X2···Xn···相互独立服从同一分布且具有数学期望E(Xk)u则对于任意的ε0有
四、依概率收敛的定义
设X1X2···Xn···是一个随机变量序列a是一个常数若 对于任意的ε0有
则称序列X1X2···Xn···依概率收敛于a。记为
五、中心极限定理
1、定义把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫 作中心极限定理。
2、独立同分布的中心极限定理 设随机变量X1X2···Xn···相互独立服从同一分布 且具有数学期望
定义随机 变量则有从而有 3、李雅普诺夫定理
设随机变量X1X2···Xn···相互独立具有数学期望 和方差定义随机变量 则有从而有 4、棣莫佛-拉普拉斯定理
设随机变量XnB(n,p)定义随机变量则有从而有 设随机变量X1, X2,…, Xn相互独立且服从相同的分布他们的数学期望和方差均为µ和σ²(0)。记:【理解清楚】
则有 其中φ(z)是标准正态分布的分布函数。
第六章 样本及抽样分布
一、随机样本
1、总体研究对象的某项数量指标的值得全体。一般用随机变量或随机变量的分布函数来表示总体。
2、个体总体中的每个元素称为个体。
3、抽样为推断总体分布及各种特征按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验以获得有关总体的信息 这一抽取过程称为抽样。
4、样本和样本值抽样得到的个体称为样本样本所取到的观察值称为样本值。
5、简单随机样本X1X2···Xn的特点独立同分布
1X1X2···Xn是相互独立的随机变量
2X1X2···Xn中的每一个个体与所考察的总体有相同的分布。
二、统计量
1、统计量的定义 不含任何未知参数的样本的函数称为统计量。
2、常用统计量 设X1X2···Xn是来自总体的样本则有以下常用统计量
1样本均值
2样本方差
3样本标准差
4样本k阶原点矩
5样本k阶中心矩
三、抽样分布
1、抽样分布的定义统计量的分布称为抽样分布。
2、常用抽样分布
1 分布的定义及性质 2t分布的定义 3F分布的定义 3、正态总体的样本均值和样本方差的分布
1样本均值和样本方差的数字特征
设总体X的均值为方差为σ2X1X2···Xn是总体X的 一个样本则总有 2正态总体样本均值的分布
设X1X2···Xn是总体N(,σ2)的一个样本则有
3正态总体样本方差的分布 卡方分布 【必会】
设X1X2···Xn是总体N(,σ2)的一个样本则有 a: 主要结论
b样本均值与样本方差相互独立
4与样本均值和样本方差有关的一个分布 t分布
设X1X2···Xn是总体N(,σ2)的一个样本则有
5F分布 F分布是由两个卡方分布与其自由度比值的比值确定的分布记作
第七章 参数估计
一、点估计
1、点估计问题
设总体X的分布函数为F(x;θ)θ为待估计的参数。X1X2···Xn是总体X的一个样本x1x2···xn是相应的一个样本值。点估计问题就是构造一个适当的统计量 用它的观察值来估计参数θ。统计量称为估计量观察值称为估计值。
2、矩估计法
理论依据样本矩Ak依概率收敛于相应的总体矩k
具体做法令Akk有几个未知参数就列几个等式求解方程或方程组即可得到未知参数的矩估计量代入样本值即可得到相应的矩估计值。
求解求出期望令其x的绝对值求得未知参数的^
3、最大似然估计法
对于离散总体已知其分布律对于连续总体已知其概率密度。
由总体的分布律或概率密度写出样本似然函数L(θ)
求样本似然函数的最大值最大值所对应的θ即为参数θ的最大似然估计值
最大似然估计的性质设θ的函数θ具有单值反函数 θθ若 是θ的最大似然估计则是θ的 最大似然估计。
求解对L(θ)取对数两边分别对θ求导令其为0求得
二、估计量的评选标准
1、无偏性如果则称是θ的无偏估计量。
结论Ak是k的无偏估计样本均值是总体均值的无偏估计样本方差是总体方差的无偏估计。
无偏估计量若a为b的无偏估计量则E(a)b;
2、有效性设和是θ的无偏估计若有 则称比有效。
3、相合性设 X1X2…Xn是θ的估计量当n趋于 无穷大时若X1X2…Xn依概率收敛于θ则称 X1X2…Xn为θ的相合估计量。
三、区间估计
1、区间估计的定义
设总体X的分布函数为F(x;θ)其中含有一个未知参数θ对于 给定的α0α1若由样本X1X2…Xn确定的 两个统计量 和 满足 则称区间为θ的置信度为1-α的 置信区间。
其中为置信下限为置信上限1-α为置信度。
2、求未知参数θ的置信区间的步骤
1明确问题。确定求什么参数的置信区间置信水平1-α是多少。
2寻找参数θ的一个良好的点估计TX1X2…Xn可从无偏估计入手。
3寻找一个待估参数θ和估计量T的函数Z(Tθ)而且其分布已知。Z(Tθ)称为枢轴量。 4对于给定的置信水平1-α根据Z(Tθ)的分布确定常数ab使得。
5做等价变形求出 。
3、正态总体均值的区间估计
总体X~N(,σ2), X1X2…Xn为样本设置信度为1-α求均值的置信区间。
1已知的情况。置信区间为
2未知的情况。置信区间为 4、正态总体方差的区间估计
总体X~N(,σ2), X1X2…Xn为样本设置信度为1-α求方差 的置信区间。
未知情况下置信区间为
5、单侧置信区间
给定值α 0 α1 若由样本X1X2…Xn确定的统计量
1满足 ,则称 为θ的置信度为1-α的单侧置信区间 称为单侧置信下限
2满足 则称 为θ的置信度为1-α的单侧置信区间 称为单侧置信上限
3在形式上将双侧置信区间里面的上下限中的α/2改成 α即可得到对应的单侧置信上下限。
