在线做六级阅读网站,北京哪家网站建设公司比较好,企业管理软件排行榜前十,营销型网站定制DeepXDE学习笔记【1】——简单ODE方程求解
1、背景
物理信息神经网络(PINN)自从2017年被提出#xff0c;其应用范围在近两年也被挖掘的越来越广泛#xff0c;除了可以解决物理方面的问题#xff0c;信号处理、工程评估等等方向也开始有所涉及#xff0c;所谓“物理数据双…DeepXDE学习笔记【1】——简单ODE方程求解
1、背景
物理信息神经网络(PINN)自从2017年被提出其应用范围在近两年也被挖掘的越来越广泛除了可以解决物理方面的问题信号处理、工程评估等等方向也开始有所涉及所谓“物理数据双驱动”的噱头还是蛮足的所以也算是一个比较好写论文出成果的方向。
DeepXDE 是一个基于 Python 库开发的 PINN 框架主要用于利用神经网络方法求解各种微分方程问题是快速搭建物理信息神经网络的利器。
考虑到当前网络上对DeepXDE的代码讲解教程过少毕竟没有形成诸如CNNGAN那些主流神经网络模型的生态官方文档也不是很完善因此在本系列博客将主要讲解 DeepXDE的代码后边会包含在科研和大数据竞赛中的一些应用案例。
第一篇就还是从最简单的ODE方程求解案例开始。
2、问题提出
设有常微分方程方程组 d y 1 d t y 2 , d y 2 d t − y 1 , 其中 t ∈ [ 0 , 10 ] , \frac{dy_1}{dt} y_2, \qquad \frac{dy_2}{dt} - y_1, \qquad \text{其中} \quad t \in [0,10], dtdy1y2,dtdy2−y1,其中t∈[0,10],
有初始边界条件 y 1 ( 0 ) 0 , y 2 ( 0 ) 1. y_1(0) 0, \quad y_2(0) 1. y1(0)0,y2(0)1.
很显然该问题的解应为 y 1 sin ( t ) , y 2 cos ( t ) y_1 \sin(t), \quad y_2 \cos(t) y1sin(t),y2cos(t)
下面使用DeepXDE来求解该问题。
3、代码部分
代码完整链接见DeepXDE官方github案例: https://github.com/lululxvi/deepxde/blob/master/examples/pinn_forward/ode_system.py
3.1 引入相关库
import deepxde as dde
import numpy as np安装命令pip install deepxde
3.2 定义时间域
geom dde.geometry.TimeDomain(0, 10)dde.geometry.TimeDomain(t0, t1)用于定义时间域的类用于指定微分方程求解的时间范围。
此处指定了一个从 t 0 0 t_{0}0 t00 到 t 1 10 t_{1}10 t110 的时间区间。
3.3 ODE 方程组定义
def ode_system(t, y):y1, y2 y[:, 0:1], y[:, 1:] # y1 与 y2dy1_dt dde.gradients.jacobian(y, t, i0) # 计算y1相对于t的偏导dy2_dt dde.gradients.jacobian(y, t, i1) # 计算y2相对于t的偏导return [dy1_dt - y2, dy2_dt y1] # 微分方程组的右端项dde.gradients.jacobian(y, t, i)用于 y 对 t 求导参数 i 表示要对第几个分量进行操作。
3.4 边界条件判断
def boundary(t, on_initial):return np.isclose(t[0], 0)t: 时空点坐标 on_initial: 指示当前时空点是否位于初始时刻。 np.isclose(a, b)用于判断 a, b两个浮点数是否相等。
该函数意义为首先通过 t[0] 访问时空点的第一个分量即空间坐标然后使用 np.isclose() 函数检查该坐标是否等于 0。如果该坐标等于 0则认为当前时空点处于时空边界上并返回为 True 表示边界条件得到满足否则返回 False表示边界条件未得到满足。
3.5 定义初值条件
ic1 dde.icbc.IC(geom, lambda x: 0, boundary, component0)
ic2 dde.icbc.IC(geom, lambda x: 1, boundary, component1)dde.icbc.IC(geom,function,boundary,component)用于指定微分方程组在初始时刻的状态参数 geom方程组的时空范围 function方程组在初始时刻状态的函数 boundary方程组在时空边界处的边界条件 component分量编号表示对第几个分量进行初值条件的指定。 在边界时空点上 y1 分量的值为 0 y2 分量的值为 1。
3.6 定义对比函数
def func(x):return np.hstack((np.sin(x), np.cos(x)))为OED方程求解出的真值用于测试模型性能。
3.7 代入求解器
data dde.data.PDE(geom, ode_system, [ic1, ic2],35, 2, solutionfunc, num_test100)dde.data.PDE(geom, eqn, ic, num_domain, num_boundary, solution, num_test)用PDE求解器解决OED问题参数 geom时空范围 eqn方程组的数学表达式 ic初值条件可以是一个 IC 对象或一个包含多个 IC 对象的列表 num_domain将时空范围分成多少个小块进行求解 num_boundary在时空范围的边界处采样多少个点作为边界条件 solution微分方程组的解析解用于测试求解结果的准确性 num_test在测试求解结果准确性时采样多少个点。 3.8 定义网络结构
layer_size [1] [50] * 3 [2]
activation tanh
initializer Glorot uniform
net dde.nn.FNN(layer_size, activation, initializer)dde.nn.FNN(layer_size, activation, initializer)使用前馈神经网络参数 layer_size用list表示神经网络每层的神经元数量包括输入层、隐藏层和输出层 activation神经网络的激活函数类型 initializer神经网络的权重初始化方式。 3.9 模型编译
model dde.Model(data, net)
model.compile(optimizer adam, lr0.001, metrics[l2 relative error])自定义模型优化器学习率损失函数以及评价方法。
3.9 开启训练
losshistory, train_state model.train(iterations20000)自定义迭代次数。 在使用 DeepXDE 训练 PINN 模型时输出结果一般包括以下几个部分 Step表示当前训练的步数 Train loss表示训练集上的损失值是一个长度为 4 的列表包括四个部分总损失、PDE 部分的损失、初始条件部分的损失和边界条件部分的损失 Test loss表示测试集上的损失值含义与训练集相同 Test metric表示测试集上的评估指标。 输出结果
3.10 绘图展示性能
dde.saveplot(losshistory, train_state, issaveFalse, isplotTrue)损失函数及其性能评估得分变化图 求解结果与预期结果对比图
