建设中英文网站,wordpress如何qq登录界面,企业seo年度,成都青羊建设厅官方网站注#xff1a;本文为 “线性代数 行列式 | 子式” 相关合辑。 略作重排#xff0c;如有内容异常#xff0c;请看原文。 行列式概念
在行列式与矩阵分析中#xff0c;子式、主子式、顺序主子式、余子式及代数余子式是基础且核心的概念#xff0c;它们不仅是行列式展开、矩…注本文为 “线性代数 · 行列式 | 子式” 相关合辑。 略作重排如有内容异常请看原文。 行列式概念
在行列式与矩阵分析中子式、主子式、顺序主子式、余子式及代数余子式是基础且核心的概念它们不仅是行列式展开、矩阵性质判断如正定性的关键工具也广泛应用于线性代数、优化理论等领域。
1. k 阶子式k-th Order Minor
k 阶子式是后续所有 “子式类” 概念的基础其核心是从行列式中任意选取 k 行与 k 列由行列交叉处元素构成的新行列式。
1.1 定义
对于一个 n 阶行列式n ≥ k任意选取 k 个不同的行下标记为 i1i2⋯iki_1 i_2 \dots i_ki1i2⋯ik和 k 个不同的列下标记为 j1j2⋯jkj_1 j_2 \dots j_kj1j2⋯jk将这 k 行 k 列交叉位置的元素按原行列式的顺序排列构成的 k 阶行列式称为原行列式的一个k 阶子式。
若 k n则 k 阶子式就是原行列式本身若 k n一个 n 阶行列式存在多个 k 阶子式其数量为组合数 Cnk×Cnk\mathrm {C}_n^k \times \mathrm {C}_n^kCnk×Cnk先选 k 行再选 k 列。
1.2 示例以 3 阶行列式为例
设 3 阶行列式为 D∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣D \begin {vmatrix} a_1 a_2 a_3 \\ b_1 b_2 b_3 \\ c_1 c_2 c_3 \end {vmatrix} Da1b1c1a2b2c2a3b3c3
3 阶子式仅 1 个即 DDD 本身2 阶子式选取第 1、2 行和第 1、3 列交叉元素构成的子式为 ∣a1a3b1b3∣\begin {vmatrix} a_1 a_3 \\ b_1 b_3 \end {vmatrix}a1b1a3b3选取第 2、3 行和第 2、3 列构成的子式为 ∣b2b3c2c3∣\begin {vmatrix} b_2 b_3 \\ c_2 c_3 \end {vmatrix}b2c2b3c3其他 2 阶子式可类似选取1 阶子式每个元素本身都是 1 阶子式共 9 个如 a1,b2,c3a_1, b_2, c_3a1,b2,c3 等。
2. k 阶主子式k-th Order Principal Minor
k 阶主子式是 k 阶子式的特殊情况核心限制是 “选取的行下标与列下标必须完全相同”这一约束使其比普通 k 阶子式更具 “对称性”也更常用于矩阵性质分析。
2.1 定义
对于 n 阶行列式选取 k 个相同的行下标与列下标记为 i1i2⋯iki_1 i_2 \dots i_ki1i2⋯ik即行下标 列下标将这 k 行 k 列交叉位置的元素构成的 k 阶行列式称为原行列式的一个 k 阶主子式。
核心特征行下标与列下标完全一致如选第 2、4 行则必须选第 2、4 列唯一性k 阶主子式不唯一只要行 / 列下标组合不同即构成不同主子式其数量为组合数 Cnk\mathrm {C}_n^kCnk仅需选 k 个一致的行 / 列下标。
2.2 示例以 3 阶行列式为例
沿用 1.2 中的 3 阶行列式 DDD 3 阶主子式仅 1 个即 DDD 本身行下标 列下标 1,2,3 2 阶主子式 行 / 列下标 1,2∣a1a2b1b2∣\begin {vmatrix} a_1 a_2 \\ b_1 b_2 \end {vmatrix}a1b1a2b2行 / 列下标 1,3∣a1a3c1c3∣\begin {vmatrix} a_1 a_3 \\ c_1 c_3 \end {vmatrix}a1c1a3c3行 / 列下标 2,3∣b2b3c2c3∣\begin {vmatrix} b_2 b_3 \\ c_2 c_3 \end {vmatrix}b2c2b3c3 1 阶主子式共 3 个 行 / 列下标 1即 a1a_1a1 行 / 列下标 2即 b2b_2b2 行 / 列下标 3即 c3c_3c3
3. k 阶顺序主子式k-th Order Leading Principal Minor
k 阶顺序主子式是 k 阶主子式的进一步特殊情况核心约束是 “选取的行 / 列下标必须从 1 开始连续选取”这一强约束使其成为唯一的 k 阶主子式也是判断矩阵正定性的核心工具。
3.1 定义
对于 n 阶行列式选取前 k 行行下标 1,2,…,k和前 k 列列下标 1,2,…,k交叉位置元素构成的 k 阶行列式称为原行列式的 k 阶顺序主子式。
核心特征行 / 列下标从 1 开始连续如 k2 时必须选 1,2 行和 1,2 列唯一性对于固定的 k1 ≤ k ≤ nn 阶行列式的 k 阶顺序主子式仅有 1 个。
3.2 示例以 3 阶行列式为例
沿用 1.2 中的 3 阶行列式 DDD
1 阶顺序主子式前 1 行 1 列即 a1a_1a12 阶顺序主子式前 2 行 2 列即 ∣a1a2b1b2∣\begin {vmatrix} a_1 a_2 \\ b_1 b_2 \end {vmatrix}a1b1a2b23 阶顺序主子式前 3 行 3 列即 DDD 本身
3.3 重要应用判断对称矩阵的正定性
对于 n 阶对称矩阵 AAA若其所有 k 阶顺序主子式k1,2,…,n均大于 0则 AAA 是正定矩阵正定矩阵在二次型、优化问题中具有 “最小值” 特性。
实例分析
设 3 阶对称矩阵 A(412153236)A \begin {pmatrix} 4 1 2 \\ 1 5 3 \\ 2 3 6 \end {pmatrix} A412153236 计算其各阶顺序主子式
1 阶顺序主子式A140A_1 4 0A1402 阶顺序主子式A2∣4115∣4×5−1×1190A_2 \begin {vmatrix} 4 1 \\ 1 5 \end {vmatrix} 4 \times 5 - 1 \times 1 19 0A241154×5−1×11903 阶顺序主子式 A3∣412153236∣4×(5×6−3×3)−1×(1×6−3×2)2×(1×3−5×2)4×21−1×02×(−7)84−0−14700\begin{aligned} A_3 \begin{vmatrix} 4 1 2 \\ 1 5 3 \\ 2 3 6 \end{vmatrix} \\ 4 \times (5 \times 6 - 3 \times 3) - 1 \times (1 \times 6 - 3 \times 2) 2 \times (1 \times 3 - 5 \times 2) \\ 4 \times 21 - 1 \times 0 2 \times (-7) \\ 84 - 0 - 14 \\ 70 0 \end{aligned} A34121532364×(5×6−3×3)−1×(1×6−3×2)2×(1×3−5×2)4×21−1×02×(−7)84−0−14700
由于所有顺序主子式均大于 0故 AAA 是正定矩阵。
4. 余子式Minor of an Element
余子式是针对行列式中单个元素定义的核心是 “划去该元素所在的行与列后剩余元素构成的行列式”是代数余子式的基础。
4.1 定义
对于 n 阶行列式 DDD任取其中一个元素 aija_{ij}aij位于第 i 行第 j 列划去第 i 行和第 j 列的所有元素将剩余的 (n−1)(n-1)(n−1) 行 (n−1)(n-1)(n−1) 列元素按原顺序排列构成的 (n−1)(n-1)(n−1) 阶行列式称为元素 aija_{ij}aij 的余子式记为 MijM_{ij}Mij。
本质余子式是 (n−1)(n-1)(n−1) 阶子式的一种但其行 / 列下标由元素 aija_{ij}aij 的位置唯一确定与元素值的关系余子式仅与元素 aija_{ij}aij 的位置有关与 aija_{ij}aij 本身的数值无关。
4.2 示例以 3 阶行列式为例
沿用 1.2 中的 3 阶行列式 DDD求元素 a23a_{23}a23第 2 行第 3 列即 b3b_3b3的余子式
划去第 2 行b1,b2,b3b_1, b_2, b_3b1,b2,b3和第 3 列a3,b3,c3a_3, b_3, c_3a3,b3,c3剩余元素为第 1 行 1-2 列a1,a2a_1, a_2a1,a2和第 3 行 1-2 列c1,c2c_1, c_2c1,c2余子式 M23∣a1a2c1c2∣M_{23} \begin {vmatrix} a_1 a_2 \\ c_1 c_2 \end {vmatrix}M23a1c1a2c2
5. 代数余子式Algebraic Minor of an Element
代数余子式是在余子式的基础上引入 “符号因子”用于行列式按行 / 列展开公式是简化行列式计算的核心工具。
5.1 定义
对于 n 阶行列式 DDD 中的元素 aija_{ij}aij其代数余子式记为 AijA_{ij}Aij定义为 Aij(−1)ij⋅MijA_{ij} (-1)^{ij} \cdot M_{ij} Aij(−1)ij⋅Mij 其中MijM_{ij}Mij 是 aija_{ij}aij 的余子式(−1)ij(-1)^{ij}(−1)ij 是符号因子由元素 aija_{ij}aij 的行标 i 和列标 j 共同决定。
符号规律当 ijijij 为偶数时AijMijA_{ij} M_{ij}AijMij当 ijijij 为奇数时Aij−MijA_{ij} -M_{ij}Aij−Mij可记忆为 “棋盘式” 符号左上角为正相邻元素符号交替。
5.2 示例以 3 阶行列式为例
沿用 1.2 中的 3 阶行列式 DDD求元素 a23a_{23}a23 的代数余子式
已求得余子式 M23∣a1a2c1c2∣M_{23} \begin {vmatrix} a_1 a_2 \\ c_1 c_2 \end {vmatrix}M23a1c1a2c2行标 i2i2i2列标 j3j3j3故 ij5ij5ij5奇数符号因子为 (−1)5−1(-1)^5 -1(−1)5−1代数余子式 A23−M23−∣a1a2c1c2∣A_{23} -M_{23} -\begin {vmatrix} a_1 a_2 \\ c_1 c_2 \end {vmatrix}A23−M23−a1c1a2c2
5.3 重要应用行列式按行 / 列展开定理
对于 n 阶行列式 DDD任取第 i 行或第 j 列其所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和等于 DDD 的值即
按第 i 行展开Dai1Ai1ai2Ai2⋯ainAinD a_{i1} A_{i1} a_{i2} A_{i2} \dots a_{in} A_{in}Dai1Ai1ai2Ai2⋯ainAini1,2,…,ni1,2,\dots,ni1,2,…,n按第 j 列展开Da1jA1ja2jA2j⋯anjAnjD a_{1j} A_{1j} a_{2j} A_{2j} \dots a_{nj} A_{nj}Da1jA1ja2jA2j⋯anjAnjj1,2,…,nj1,2,\dots,nj1,2,…,n
该定理将 n 阶行列式的计算转化为 (n−1)(n-1)(n−1) 阶行列式的计算大幅简化运算尤其适用于含多个 0 元素的行 / 列。
逻辑链总结k 阶顺序主子式 ⊂ k 阶主子式 ⊂ k 阶子式余子式是 (n−1)(n-1)(n−1) 阶子式代数余子式是余子式的符号修正形式。 via:
主子式、顺序主子式、余子式、代数余子式 - CSDN 博客 https://blog.csdn.net/yskyskyer123/article/details/87891051k 阶子式、主子式、顺序主子式、余子式、代数余子式_k 阶主子式 - CSDN 博客 https://blog.csdn.net/qq_34824576/article/details/102678671行列式的子式、主子式、顺序主子式、余子式、代数余子式 - CSDN 博客 https://blog.csdn.net/hyl1181/article/details/111144212矩阵的顺序主子式的理解 - CSDN 博客 https://blog.csdn.net/qq_44154915/article/details/134175858
