南通网站推广公司哪家好,赣州网站建设哪家便宜,开发网站服务器,网站美工做专题尺寸多少?把最近在分析里学到的有趣的东西整理写一写#xff0c;初学者不专业。我们先来简单介绍Rudin的数学分析里Stone-Weierstrass定理的证明[1]。Stone-Weierstrass定理#xff1a;对于任意定义在 上的连续#xff08;continuous#xff09;函数 #xff0c;总存在一个多项式函…把最近在分析里学到的有趣的东西整理写一写初学者不专业。我们先来简单介绍Rudin的数学分析里Stone-Weierstrass定理的证明[1]。Stone-Weierstrass定理对于任意定义在 上的连续continuous函数 总存在一个多项式函数序列 可以一致收敛到这个函数 。换句话说定义在 上的多项式函数空间在定义在 上的连续函数空间是稠密的其中的度规为sup norm 也就是 。由于闭区间是紧致的所以其上的连续函数必定有界。证明的方式是如下构造不失一般性我们假设(i) (ii) (如果不是我们可以定义 )(iii) 对于 。同时定义一个多项式函数 在 上后面我们会介绍实际上我们构造了一个类Dirac-delta函数而且它是一个好核函数。其中 为归一化参数。所以 满足(i) (ii) 对于任意 在 一致收敛到 。通过卷积的方式定义新的函数 。我们通过变量代换 可以得到 。其中 意味着 而 是一个多项式函数那么 是一个定义在 上的多项式函数下面来说明 一致收敛到 也就是需要证明 当 。而对于第一个式子我们可以用 的连续性对于第二个式子我们可以用 有界 以及 在 一致收敛到 所以我们可以交换积分和极限的顺序也就是说根据极限的定义我们可以选择一个 当 给出所以当 证毕。上述定理可以用卷积写出来。下面我们来简单介绍卷积[2]首先是卷积的定义 是一个 的周期函数则卷积 由于周期性我们很容易计算得到 很多重要的式子可以用卷积来表示比如傅立叶级数。首先我们定义狄利克雷核函数而对于一个 的周期可积函数 与其卷积为其中 为傅立叶系数。所以为傅立叶级数的部分和。卷积有一些性质 是 的周期可积函数 (i) (ii) (iii) (iv) v (vi) 是连续函数。如果这些函数都是连续的那么直接计算就可以了如果仅仅是可积函数函数就需要 逼近引理对于定义在圆上的任意有界可积函数 界为 存在一个连续函数序列 使得 对于任意 以及 换句话说在 norm下可积函数 可以被连续函数序列一致收敛逼近所以我们可以把上述卷积的性质从连续函数推到可积函数。接下来定义好核函数(Good kernel, Approximation of the identity)。我们最终需要找到的是一些类delta函数因为 可以把delta函数看作是函数空间的单位元(Identity)。而我们的目的是希望找到一个函数序列 当 但是我们得定义这个趋近的含义。也就有了好核函数的定义对于定义在圆上的函数序列 如果它满足 (i) 对于 (ii) 存在 使得对于所有的 (iii) 对于任意的 。当我们回顾Stone-Weierstrass证明的时候实际上上述 就是一个“好核函数”尽管定义域略微不同。满足上述条件的一般的好核函数会给出如果 是一个可积函数且在 处连续以及 是定义在圆上的好核函数那么证明的方法类似于最开始Stone-Weierstrass定理证明中证明 。如果 连续那么 一致收敛到 。可惜的是狄利克雷核函数 并不是一个好核函数这也就意味着即使函数在某点连续它的傅立叶级数也不一定会在这一点收敛到这个函数。 不满足第二条因为 发散。但是我们可以通过改变求和方式来达到一致收敛的效果原来我们对傅立叶级数的求和解释为先求部分和再取极限。在这种情况下要想一致收敛函数需要具有连续性以及 比如二阶连续可导函数或者满足Holder连续的函数存在常数 使得对于任意 。[3]接下来我们可以重新定义求和方式比如Cesaro求和比如对于一个序列 定义其部分和为 定义其Nth Cesaro和为 容易知道如果 则 。以狄利克雷核函数为例其Cesaro和被叫做Fejer核也就是可以证明这是一个好核函数。也就是说 。换句话说如果 可积函数 在某点 连续那么其傅立叶级数在 是Cesaro可求和的。如果 那么 在连续点处为零。同时也可以说明任意连续函数 可以被三角函数一致收敛逼近Weierstrass逼近定理。除了Cesaro求和还有Abel求和 然后取 如果极限存在我们就说它是Abel可求和。我们举个例子 所以它Abel可求和其和为 。对于傅立叶级数 其Abel求和为 。很自然 。其中为泊松核函数。将上述Abel和写成卷积的形式为 其中可交换积分与极限的原因是因为泊松核函数在 上一致收敛。容易知道泊松核函数是一个好核函数这也就意味着定义在圆上的可积函数在某点连续的话那么该函数的傅立叶级数在这一点是阿贝尔可求和的。进一步如果该函数连续那么其傅立叶级数的Abel和会一致收敛回到这个函数。泊松函数在求解单位圆内的拉普拉斯方程上有应用。比如在单位圆内 边界为 如果将拉普拉斯算子写到极坐标其解为如果写成卷积的形式为参考^Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd Edition.^Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Fourier Analysis(2003).^满足Holder连续的函数的傅立叶级数一致收敛到它本身 https://math.stackexchange.com/questions/442059
