互联网推广加盟,西安百度推广优化,最专业的网站设计,淘宝客网站开发平台一#xff1a;二叉树的基本概念
1.1树形结构
树是一种非线性的数据结构#xff0c;它是由n#xff08;n0#xff09;个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树#xff0c;也就是说它是根朝上#xff0c;而叶朝下的。 注意二叉树的基本概念
1.1树形结构
树是一种非线性的数据结构它是由nn0个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树也就是说它是根朝上而叶朝下的。 注意树形结构中子树之间不能有交集否则就不是树形结构
1.2 数的相关概念 结点的度一个结点含有子树的个数称为该结点的度 如上图A的度为6树的度一棵树中所有结点度的最大值称为树的度 如上图树的度为6叶子结点或终端结点度为0的结点称为叶结点 如上图B、C、H、I…等节点为叶结点双亲结点或父结点若一个结点含有子结点则这个结点称为其子结点的父结点 如上图A是B的父结点孩子结点或子结点一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点 如上图B是A的孩子结点根结点一棵树中没有双亲结点的结点如上图A结点的层次从根开始定义起根为第1层根的子结点为第2层以此类推树的高度或深度树中结点的最大层次 如上图树的高度为4
树的以下概念只需了解在看书时只要知道是什么意思即可
非终端结点或分支结点度不为0的结点 如上图D、E、F、G…等节点为分支结点兄弟结点具有相同父结点的结点互称为兄弟结点 如上图B、C是兄弟结点堂兄弟结点双亲在同一层的结点互为堂兄弟如上图H、I互为兄弟结点结点的祖先从根到该结点所经分支上的所有结点如上图A是所有结点的祖先子孙以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图所有结点都是A的子孙森林由mm0棵互不相交的树组成的集合称为森林
1.3 树的表现形式
树结构相对线性表就比较复杂了要存储表示起来就比较麻烦了实际中树有很多种表示方式如双亲表示法孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
class Node {int value; // 树中存储的数据Node firstChild; // 第一个孩子引用Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}1.4树的应用
文件系统管理目录和文件
1.5 二叉树
二叉树是一种常见的树状数据结构它由节点和边组成。每个节点最多有两个子节点分别称为左子节点和右子节点。二叉树具有以下特点
二叉树不存在度大于2的结点二叉树的子树有左右之分次序不能颠倒因此二叉树是有序树
如下图所示 注意对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的
大自然的奇观
1.6 两种特殊的二叉树 满二叉树满二叉树是指每个节点都有两个子节点除了叶子节点。换句话说满二叉树是一种节点数目达到最大可能值的二叉树。例如如果一棵二叉树的深度为d那么它的节点数目就是2^d - 1。 完全二叉树完全二叉树是指除了最后一层外其他层的节点都被完全填充并且最后一层的节点都尽量靠左排列的二叉树。换句话说完全二叉树是在满二叉树的基础上去掉一些叶子节点而得到的二叉树。
如图所示
1.7 二叉树的重要性质
性质一叶子结点的个数是度为2结点的个数1
要理解为什么对任何一棵二叉树其叶结点个数为 n0度为2的非叶结点个数为 n2有 n0 n2 1我们首先需要了解二叉树的定义和性质。
二叉树是一种特殊的树结构每个节点最多有两个子节点分别称为左子节点和右子节点。叶节点是没有子节点的节点而度为2的非叶节点是具有两个子节点的非叶节点。
让我们来证明这个等式 n0 n2 1 首先我们将二叉树的节点按照度的数量进行分类。由于二叉树的节点度数只有0、1、2三种情况我们可以得出以下等式n n0 n1 n2其中 n 表示二叉树的总节点数。 其次我们来考虑度为0的节点也就是叶节点。叶节点是没有子节点的节点所以它的度为0。假设叶节点的个数为 n0。 然后我们考虑度为2的非叶节点也就是具有两个子节点的非叶节点。假设度为2的非叶节点的个数为 n2。 根据二叉树的性质每个非叶节点都会有两个子节点。所以度为2的非叶节点的总子节点个数为 2 * n2。 接下来我们来看看二叉树的总子节点个数。根据节点分类的等式可以得出总子节点个数为 n1 2 * n2。其中 n1 表示度为1的节点的个数。 由于每个节点都有两个子节点所以总子节点个数应该等于 n - 1根节点除外。因此我们可以得到以下等式n1 2 * n2 n - 1。 最后我们将以上的等式整合起来得到 n0 n1 n2 n。将 n1 2 * n2 n - 1 代入其中得到 n0 (n - 1) n即 n0 n2 1。
根据上述推导我们可以得出结论对于任何一棵二叉树其叶结点个数为 n0度为2的非叶结点个数为 n2有 n0 n2 1。即叶子结点的个数是度为2结点的个数1这是二叉树性质的一个重要结论。 性质二具有n个结点的完全二叉树的深度k为 上取整 性质三对于具有n个结点的完全二叉树如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号则对于序号为i的结点有
若2i1n左孩子序号2i1否则无左孩子若2i2n右孩子序号2i2否则无右孩子 性质四我们可以根据array.length-2)1计算倒数第一个非叶子节点的索引
二二叉树的遍历存储和实现
2.1 二叉树的遍历
二叉树的遍历方式有四种分别是前序遍历中序遍历后序遍历和层序遍历这是我们约定俗成的规定。
前序遍历Preorder Traversal是一种遍历二叉树的方法。在前序遍历中我们首先访问根节点然后遍历左子树最后遍历右子树。具体过程如下
访问当前节点根节点。递归地前序遍历左子树。递归地前序遍历右子树。
下面是一个例子来说明前序遍历 1/ \2 3/ \4 5前序遍历结果1 2 4 5 3
中序遍历Inorder Traversal是另一种遍历二叉树的方法。在中序遍历中我们首先遍历左子树然后访问根节点最后遍历右子树。具体过程如下
递归地中序遍历左子树。访问当前节点根节点。递归地中序遍历右子树。
下面是一个例子来说明中序遍历 1/ \2 3/ \4 5中序遍历结果4 2 5 1 3
后序遍历Postorder Traversal是另一种遍历二叉树的方法。在后序遍历中我们首先遍历左子树然后遍历右子树最后访问根节点。具体过程如下
递归地后序遍历左子树。递归地后序遍历右子树。访问当前节点根节点。
下面是一个例子来说明后序遍历 1/ \2 3/ \4 5后序遍历结果4 5 2 3 1
层序遍历除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发首先访问第一层的树根节点然后从左到右访问第2层上的节点接着是第三层的节点以此类推自上而下自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。 这个图的层序遍历结果就是ABCDEFGHI
下面是一个练习请同学们根据下图给出以下二叉树的四种遍历方式 前序遍历ABDEHCFG 中序遍历DBEHAFCG 后序遍历DHEBFGCA 层序遍历ABCDEFGH
2.2二叉树的存储
二叉树的存储结构分为顺序存储和类似于链表的链式存储。顺序存储在下节介绍。 二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的常见的表示方式有二叉和三叉表示方式具体如下
// 孩子表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用常常代表右孩子为根的整棵右子树
}// 孩子双亲表示法
class Node {int val; // 数据域Node left; // 左孩子的引用常常代表左孩子为根的整棵左子树Node right; // 右孩子的引用常常代表右孩子为根的整棵右子树Node parent; // 当前节点的根节点
}本文采用孩子表示法来构建二叉树。
2.3二叉树的实现
在Java中并没有内置的二叉树类。但是我们可以通过自定义类来实现二叉树的功能。下面是模拟实现二叉树并给出主方法进行测试的代码 import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;// 定义二叉树节点类
class Node {int data;Node left;Node right;// 节点构造函数public Node(int data) {this.data data;left null;right null;}
}// 定义二叉树类
class BinaryTree {Node root;// 构造函数初始化根节点public BinaryTree() {root null;}// 获取树中节点的个数public int size(Node root) {if (root null) {return 0;} else {// 递归地计算左子树和右子树节点个数并加上根节点return 1 size(root.left) size(root.right);}}// 获取叶子节点的个数public int getLeafNodeCount(Node root) {if (root null) {return 0;} else if (root.left null root.right null) {// 叶子节点的定义左右子节点都为空return 1;} else {// 递归地计算左子树和右子树叶子节点个数并相加return getLeafNodeCount(root.left) getLeafNodeCount(root.right);}}// 获取第K层节点的个数public int getKLevelNodeCount(Node root, int k) {if (root null || k 0) {return 0;} else if (k 1) {// 第1层就是根节点本身return 1;} else {// 递归地计算左子树和右子树第k-1层节点个数并相加return getKLevelNodeCount(root.left, k - 1) getKLevelNodeCount(root.right, k - 1);}}// 获取二叉树的高度public int getHeight(Node root) {if (root null) {return 0;} else {// 递归地计算左子树和右子树的高度并取最大值再加上根节点int leftHeight getHeight(root.left);int rightHeight getHeight(root.right);return Math.max(leftHeight, rightHeight) 1;}}// 检测值为value的元素是否存在public Node find(Node root, int val) {if (root null) {return null;} else if (root.data val) {// 找到了与目标值相等的节点return root;} else {// 递归地在左子树和右子树中查找值为val的节点Node foundNode find(root.left, val);if (foundNode null) {foundNode find(root.right, val);}return foundNode;}}// 层序遍历public void levelOrder(Node root) {if (root null) {return;}// 使用队列辅助层序遍历QueueNode queue new LinkedList();queue.add(root);while (!queue.isEmpty()) {Node current queue.poll();System.out.print(current.data );if (current.left ! null) {queue.add(current.left);}if (current.right ! null) {queue.add(current.right);}}}// 判断一棵树是不是完全二叉树public boolean isCompleteTree(Node root) {if (root null) {return true;}QueueNode queue new LinkedList();boolean isNonFullNodeFound false; // 是否找到了不是满节点的节点queue.add(root);while (!queue.isEmpty()) {Node current queue.poll();if (current.left ! null) {if (isNonFullNodeFound) {return false; // 如果之前找到了不是满节点的节点当前节点有左子节点则不是完全二叉树}queue.add(current.left);} else {isNonFullNodeFound true; // 记录找到了不是满节点的节点}if (current.right ! null) {if (isNonFullNodeFound) {return false; // 如果之前找到了不是满节点的节点当前节点有右子节点则不是完全二叉树}queue.add(current.right);} else {isNonFullNodeFound true; // 记录找到了不是满节点的节点}}return true;}
}
下面再给出主方法用于测试这些方法的功能
import java.util.Arrays;public class Main {public static void main(String[] args) {// 创建一个示例二叉树Node root new Node(1);root.left new Node(2);root.right new Node(3);root.left.left new Node(4);root.left.right new Node(5);root.right.left new Node(6);root.right.right new Node(7);BinaryTree binaryTree new BinaryTree();// 测试 size 方法System.out.println(树中节点的个数 binaryTree.size(root)); // 7// 测试 getLeafNodeCount 方法System.out.println(叶子节点的个数 binaryTree.getLeafNodeCount(root)); // 4// 测试 getKLevelNodeCount 方法int k 3;System.out.println(第 k 层节点的个数 binaryTree.getKLevelNodeCount(root, k)); // 2// 测试 getHeight 方法System.out.println(二叉树的高度 binaryTree.getHeight(root)); // 3// 测试 find 方法int target 5;Node foundNode binaryTree.find(root, target);if (foundNode ! null) {System.out.println(找到值为 target 的节点);} else {System.out.println(未找到值为 target 的节点);}// 测试 levelOrder 方法System.out.print(层序遍历结果);binaryTree.levelOrder(root); // 1 2 3 4 5 6 7System.out.println();// 测试 isCompleteTree 方法System.out.print(是否是完全二叉树);if (binaryTree.isCompleteTree(root)) {System.out.println(是);} else {System.out.println(否);}}
}
