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定义和性质
定义#xff1a;函数极限 设函数 f ( x ) f(x) f(x) 若 ∀ ε 0 , ∃ δ 0 , ∀ x ∈ O o ( x 0 , δ ) , s . t … 文章目录 函数极限定义和性质函数极限的另一种定义Cauchy收敛准则 本篇文章适合个人复习翻阅不建议新手入门使用 函数极限
定义和性质
定义函数极限 设函数 f ( x ) f(x) f(x) 若 ∀ ε 0 , ∃ δ 0 , ∀ x ∈ O o ( x 0 , δ ) , s . t . ∣ f ( x ) − A ∣ ε \forall \varepsilon0,\exists \delta0,\forall x\in O^o(x_0,\delta),s.t.|f(x)-A|\varepsilon ∀ε0,∃δ0,∀x∈Oo(x0,δ),s.t.∣f(x)−A∣ε其中 O o ( x 0 , δ ) O^o(x_0,\delta) Oo(x0,δ) 表示 x 0 x_0 x0 的去心邻域 则称 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 处有极限 A A A记为 lim x → x 0 f ( x ) A \lim\limits_{x\to x_0}f(x)A x→x0limf(x)A 若 ∀ ε 0 , ∃ δ 0 , ∀ x ∈ ( x 0 , x 0 δ ) , s . t . ∣ f ( x ) − A ∣ ε \forall \varepsilon0,\exists \delta0,\forall x\in (x_0,x_0\delta),s.t.|f(x)-A|\varepsilon ∀ε0,∃δ0,∀x∈(x0,x0δ),s.t.∣f(x)−A∣ε则称 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 处有右极限 A A A记为 lim x → x 0 f ( x ) A \lim\limits_{x\to x_0^}f(x)A x→x0limf(x)A类似可定义左极限
函数定义的扩充 对于 x → ∞ x\to \infty x→∞ x → x 0 − x\to x_0^- x→x0− f ( x ) → ∞ f(x)\to \infty f(x)→∞ 等情形极限定义大同小异列表如下 lim x → x 0 f ( x ) A \lim\limits_{x\to x_0}f(x)A x→x0limf(x)A ∀ ε 0 , ∃ δ 0 , ∀ x ∈ O o ( x 0 , δ ) , s . t . ∣ f ( x ) − A ∣ ε \forall \varepsilon0,\exists \delta0,\forall x\in O^o(x_0,\delta),s.t.|f(x)-A|\varepsilon ∀ε0,∃δ0,∀x∈Oo(x0,δ),s.t.∣f(x)−A∣ε lim x → x 0 f ( x ) ∞ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)\infty x→x0limf(x)∞ ∀ G 0 , ∃ δ 0 , ∀ x ∈ O o ( x 0 , δ ) , s . t . ∣ f ( x ) ∣ G \forall G0,\exists \delta0,\forall x\in O^o(x_0,\delta),s.t.|f(x)|G ∀G0,∃δ0,∀x∈Oo(x0,δ),s.t.∣f(x)∣G lim x → x 0 f ( x ) ∞ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)\infty x→x0limf(x)∞ ∀ G 0 , ∃ δ 0 , ∀ x ∈ O o ( x 0 , δ ) , s . t . f ( x ) G \forall G0,\exists \delta0,\forall x\in O^o(x_0,\delta),s.t.f(x)G ∀G0,∃δ0,∀x∈Oo(x0,δ),s.t.f(x)G lim x → x 0 f ( x ) − ∞ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)-\infty x→x0limf(x)−∞ ∀ G 0 , ∃ δ 0 , ∀ x ∈ O o ( x 0 , δ ) , s . t . f ( x ) − G \forall G0,\exists \delta0,\forall x\in O^o(x_0,\delta),s.t.f(x)-G ∀G0,∃δ0,∀x∈Oo(x0,δ),s.t.f(x)−G lim x → x 0 f ( x ) A \lim\limits_{x\to x_0^}f(x)A x→x0limf(x)A ∀ ε 0 , ∃ δ 0 , ∀ x ∈ ( x 0 , x 0 δ ) , s . t . ∣ f ( x ) − A ∣ ε \forall \varepsilon0,\exists \delta0,\forall x\in (x_0,x_0\delta),s.t.|f(x)-A|\varepsilon ∀ε0,∃δ0,∀x∈(x0,x0δ),s.t.∣f(x)−A∣ε lim x → x 0 − f ( x ) A \lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)A x→x0−limf(x)A ∀ ε 0 , ∃ δ 0 , ∀ x ∈ ( x 0 − δ , x 0 ) , s . t . ∣ f ( x ) − A ∣ ε \forall \varepsilon0,\exists \delta0,\forall x\in (x_0-\delta,x_0),s.t.|f(x)-A|\varepsilon ∀ε0,∃δ0,∀x∈(x0−δ,x0),s.t.∣f(x)−A∣ε lim x → ∞ f ( x ) A \lim\limits_{x\to\infty}f(x)A x→∞limf(x)A ∀ ε 0 , ∃ M 0 , ∀ x ( ∣ x ∣ M ) , s . t . ∣ f ( x ) − A ∣ ε \forall \varepsilon0,\exists M0,\forall x(|x|M),s.t.|f(x)-A|\varepsilon ∀ε0,∃M0,∀x(∣x∣M),s.t.∣f(x)−A∣ε
由定义容易得到
命题极限与左右极限 函数 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 处有极限当且仅当 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 处的左、右极限存在且相等
性质
四则运算设 lim x → x 0 f ( x ) , lim x → x 0 g ( x ) \lim\limits_{x\to x_0}f(x),\lim\limits_{x\to x_0}g(x) x→x0limf(x),x→x0limg(x) 均存在则 lim x → x 0 ( α f ( x ) β g ( x ) ) α lim x → x 0 f ( x ) β lim x → x 0 g ( x ) \lim\limits_{x\to x_0}(\alpha f(x)\beta g(x))\alpha \lim\limits_{x\to x_0}f(x)\beta \lim\limits_{x\to x_0}g(x) x→x0lim(αf(x)βg(x))αx→x0limf(x)βx→x0limg(x) lim x → x 0 ( f ( x ) ⋅ g ( x ) ) lim x → x 0 f ( x ) ⋅ lim x → x 0 g ( x ) \lim\limits_{x\to x_0}(f(x)\cdot g(x))\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\cdot \lim\limits_{x\to x_0}g(x) x→x0lim(f(x)⋅g(x))x→x0limf(x)⋅x→x0limg(x) lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) lim x → x 0 f ( x ) lim x → x 0 g ( x ) ( lim x → x 0 g ( x ) ≠ 0 ) \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}\frac{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\neq 0) x→x0limg(x)f(x)x→x0limg(x)x→x0limf(x)(x→x0limg(x)0)唯一性 设 A , B A,B A,B 都是 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 处的极限则 A B AB AB
证明思路 ∣ A − B ∣ ≤ ∣ A − f ( x ) ∣ ∣ B − f ( x ) ∣ ε |A-B|\leq |A-f(x)||B-f(x)|\varepsilon ∣A−B∣≤∣A−f(x)∣∣B−f(x)∣ε 保序性 极限有序 ⇒ \Rightarrow ⇒ 函数局部有序 若 lim x → x 0 f ( x ) lim x → x 0 g ( x ) \lim\limits_{x\to x_0}f(x)\lim\limits_{x\to x_0}g(x) x→x0limf(x)x→x0limg(x) 则 ∃ δ 0 , ∀ x ∈ O o ( x 0 , δ ) , s . t . f ( x ) g ( x ) \exists \delta0,\forall x\in O^o(x_0,\delta),s.t.f(x)g(x) ∃δ0,∀x∈Oo(x0,δ),s.t.f(x)g(x)函数有序 ⇒ \Rightarrow ⇒ 极限有序 若 lim x → x 0 f ( x ) , lim x → x 0 g ( x ) \lim\limits_{x\to x_0}f(x),\lim\limits_{x\to x_0}g(x) x→x0limf(x),x→x0limg(x) 存在且 f ( x ) ≥ g ( x ) f(x)\geq g(x) f(x)≥g(x)则 lim x → x 0 f ( x ) ≥ lim x → x 0 g ( x ) \lim\limits_{x\to x_0}f(x)\geq \lim\limits_{x\to x_0}g(x) x→x0limf(x)≥x→x0limg(x) 极限存在 ⇒ \Rightarrow ⇒ 函数局部有界 若 lim x → x 0 f ( x ) A \lim\limits_{x\to x_0}f(x)A x→x0limf(x)A则 ∃ δ 0 , ∃ M 0 , ∀ x ∈ O o ( x 0 , δ ) , ∣ f ( x ) ∣ ≤ M \exists \delta0,\exists M0,\forall x\in O^o(x_0,\delta),|f(x)|\leq M ∃δ0,∃M0,∀x∈Oo(x0,δ),∣f(x)∣≤M 夹逼性 若 lim x → x 0 g ( x ) lim x → x 0 h ( x ) A \lim\limits_{x\to x_0}g(x)\lim\limits_{x\to x_0}h(x)A x→x0limg(x)x→x0limh(x)A且 ∃ δ 0 , s . t . ∀ x ∈ O o ( x 0 , δ ) \exists \delta0,s.t.\forall x\in O^o(x_0,\delta) ∃δ0,s.t.∀x∈Oo(x0,δ)有 g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) g(x)\leq f(x)\leq h(x) g(x)≤f(x)≤h(x)则 lim x → x 0 f ( x ) A \lim\limits_{x\to x_0}f(x)A x→x0limf(x)A
函数极限的另一种定义
定义函数极限 若对任意序列 { x n } ( x n ≠ x 0 ) \{x_n\}(x_n\neq x_0) {xn}(xnx0) lim n → ∞ x n x 0 \lim\limits_{n\to\infty}x_nx_0 n→∞limxnx0都有 lim n → ∞ f ( x n ) A \lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)A n→∞limf(xn)A则称 f ( x ) f(x) f(x) 在 x 0 x_0 x0 处有极限 A A A
注其余情形的函数极限定义类似
Heine 定理 两种极限的定义等价即 ∀ ε 0 , ∃ δ 0 , ∀ x ∈ O o ( x 0 , δ ) , s . t . ∣ f ( x ) − A ∣ ε \forall \varepsilon0,\exists \delta0,\forall x\in O^o(x_0,\delta),s.t.|f(x)-A|\varepsilon ∀ε0,∃δ0,∀x∈Oo(x0,δ),s.t.∣f(x)−A∣ε等价于 ∀ { x n } ( x n ≠ x 0 ) , lim n → ∞ x n x 0 , s . t . lim n → ∞ f ( x n ) A \forall \{x_n\}(x_n\neq x_0),\lim\limits_{n\to\infty}x_nx_0,s.t.\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)A ∀{xn}(xnx0),n→∞limxnx0,s.t.n→∞limf(xn)A
证明思路 定义 1 推出定义 2 显然考虑反面用反证法设 ∃ ε 0 0 , ∀ δ 0 , ∃ x ∈ O o ( x 0 , δ ) , ∣ f ( x ) − A ∣ ≥ ε 0 \exists\varepsilon_00,\forall\delta0,\exists x\in O^o(x_0,\delta),|f(x)-A|\geq \varepsilon_0 ∃ε00,∀δ0,∃x∈Oo(x0,δ),∣f(x)−A∣≥ε0取数列 { δ n 1 n } \{\delta_n\frac{1}{n}\} {δnn1}
对 δ 1 1 \delta_11 δ11存在 x 1 ∈ O o ( x 0 , δ 1 ) x_1\in O^o(x_0,\delta_1) x1∈Oo(x0,δ1)使得 ∣ f ( x 1 ) − A ∣ ≥ ε 0 |f(x_1)-A|\geq \varepsilon_0 ∣f(x1)−A∣≥ε0 对 δ 2 1 2 \delta_2\frac{1}{2} δ221存在 x 2 ∈ O o ( x 0 , δ 2 ) x_2\in O^o(x_0,\delta_2) x2∈Oo(x0,δ2)使得 ∣ f ( x 2 ) − A ∣ ≥ ε 0 |f(x_2)-A|\geq \varepsilon_0 ∣f(x2)−A∣≥ε0 ⋯ \cdots ⋯ 对 δ k 1 k \delta_k\frac{1}{k} δkk1存在 x k ∈ O o ( x 0 , δ k ) x_k\in O^o(x_0,\delta_k) xk∈Oo(x0,δk)使得 ∣ f ( x k ) − A ∣ ≥ ε 0 |f(x_k)-A|\geq \varepsilon_0 ∣f(xk)−A∣≥ε0
故得到 lim n → ∞ x n x 0 \lim\limits_{n\to\infty}x_nx_0 n→∞limxnx0 但不满足 lim n → ∞ f ( x n ) A \lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)A n→∞limf(xn)A
Cauchy收敛准则 lim x → x 0 f ( x ) A \lim\limits_{x\to x_0}f(x)A x→x0limf(x)A 当且仅当 ∀ ε 0 , ∃ δ 0 , ∀ x 1 , x 2 ∈ O o ( x 0 , δ ) , ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ ≤ ε \forall\varepsilon0,\exists \delta0,\forall x_1,x_2\in O^o(x_0,\delta),|f(x_1)-f(x_2)|\leq \varepsilon ∀ε0,∃δ0,∀x1,x2∈Oo(x0,δ),∣f(x1)−f(x2)∣≤ε
证明 必要性显然是经典的加减同一项再辅以三角不等式的技巧 充分性用到极限的第二种定义取 lim n → ∞ x n x 0 \lim\limits_{n\to\infty}x_nx_0 n→∞limxnx0易证 { f ( x n ) } \{f(x_n)\} {f(xn)} 是Cauchy列从而收敛 参考书 《数学分析》陈纪修 於崇华 金路《数学分析之课程讲义》清华大学数学系及丘成桐数学中心《数学分析习题课讲义》谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 著
