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Gram 矩阵是由一组向量的内积构成的矩阵。如果你有一组向量 v 1 , v 2 , … , v n v_1, v_2, \ldots, v_n v1,v2,…,vn#xff0c;Gram 矩阵 G G G 的元素 G i j G_{ij} Gij 就是向量 v i v_i vi 和向量 v j v_j vj 的内积。数学上#x…Gram矩阵如何计算
Gram 矩阵是由一组向量的内积构成的矩阵。如果你有一组向量 v 1 , v 2 , … , v n v_1, v_2, \ldots, v_n v1,v2,…,vnGram 矩阵 G G G 的元素 G i j G_{ij} Gij 就是向量 v i v_i vi 和向量 v j v_j vj 的内积。数学上Gram 矩阵的计算方式如下
假设有 n n n 个向量 v 1 , v 2 , … , v n v_1, v_2, \ldots, v_n v1,v2,…,vn每个向量的维度为 m m m这意味着每个向量都有 m m m 个元素则 Gram 矩阵 G G G 的元素 G i j G_{ij} Gij 计算如下 G i j v i ⋅ v j ∑ k 1 m v i [ k ] ⋅ v j [ k ] G_{ij} v_i \cdot v_j \sum_{k1}^{m} v_i[k] \cdot v_j[k] Gijvi⋅vjk1∑mvi[k]⋅vj[k]
其中 v i [ k ] v_i[k] vi[k] 表示向量 v i v_i vi 的第 k k k 个元素 v j [ k ] v_j[k] vj[k] 表示向量 v j v_j vj 的第 k k k 个元素。
Gram 矩阵通常是一个对称矩阵因为 G i j G j i G_{ij} G_{ji} GijGji这是因为内积的交换性质。Gram 矩阵在机器学习和线性代数中有广泛的应用例如在特征提取、核方法等领域。它可以用来表示向量之间的相似性和关联。
举例
让我们通过一个具体的示例来计算一个Gram矩阵。假设有三个二维向量 v 1 [ 1 , 2 ] v 2 [ 3 , 4 ] v 3 [ 5 , 6 ] v_1 [1, 2] v_2 [3, 4] v_3 [5, 6] v1[1,2]v2[3,4]v3[5,6]
我们想要计算这些向量的Gram矩阵 G G G根据前面的定义我们计算每一对向量的内积来填充矩阵 G G G的元素。
首先计算 G 11 G_{11} G11即向量 v 1 v_1 v1与自己的内积 G 11 v 1 ⋅ v 1 ( 1 ⋅ 1 ) ( 2 ⋅ 2 ) 1 4 5 G_{11} v_1 \cdot v_1 (1 \cdot 1) (2 \cdot 2) 1 4 5 G11v1⋅v1(1⋅1)(2⋅2)145
接下来计算 G 12 G_{12} G12即向量 v 1 v_1 v1与向量 v 2 v_2 v2的内积 G 12 v 1 ⋅ v 2 ( 1 ⋅ 3 ) ( 2 ⋅ 4 ) 3 8 11 G_{12} v_1 \cdot v_2 (1 \cdot 3) (2 \cdot 4) 3 8 11 G12v1⋅v2(1⋅3)(2⋅4)3811
继续计算 G 13 G_{13} G13 G 21 G_{21} G21 G 22 G_{22} G22 G 23 G_{23} G23 G 31 G_{31} G31 G 32 G_{32} G32和 G 33 G_{33} G33按照同样的方式计算每一对向量的内积。
最终我们得到Gram矩阵 G G G如下 G [ 5 11 17 11 25 39 17 39 61 ] G \begin{bmatrix} 5 11 17 \\ 11 25 39 \\ 17 39 61 \\ \end{bmatrix} G 51117112539173961
这就是这三个向量的Gram矩阵。每个元素 G i j G_{ij} Gij表示了向量 v i v_i vi和 v j v_j vj之间的内积。这个矩阵在机器学习中可以用于许多任务包括核方法和特征提取。
