淄博网站排名公司,wordpress加上qq登录,网站子目录安装dedecms导致网页布局混乱的解决方法,三站合一网站营销一、文章信息与摘要
文章标题#xff1a;Least-Squares Rigid Motion Using SVD#xff08;使用奇异值分解的最小二乘刚性运动#xff09;
说明本文的核心目标#xff1a;计算对齐两组对应点的最佳拟合刚性变换的步骤 二、问题描述
假设P{p1,p2,...,pn}和Q{q1,q2,...,qn…一、文章信息与摘要
文章标题Least-Squares Rigid Motion Using SVD使用奇异值分解的最小二乘刚性运动
说明本文的核心目标计算对齐两组对应点的最佳拟合刚性变换的步骤 二、问题描述
假设P{p1,p2,...,pn}和Q{q1,q2,...,qn}是两组Rd空间中的对应点集现在想要根据这个两个点集的数据来计算出它们之间的刚性转置信息可以知道这其实是一个最小二乘求优问题。
目标我们希望找到一个使两个集合在最小二乘意义下最优对齐的刚性变换即寻找一个旋转矩阵 R 和平移向量 t满足如下关系 其中 表示每个点的权重。 () 表示 d 维空间的一组旋转群。 三、计算平移向量t和旋转矩阵
计算平移向量t的推导过程 计算旋转矩阵的推导过程 四、反射修正
为什么要进行反射修正
答通过之前的推导我们用 SVD 求解的 R 一定是一个正交矩阵但并非所有正交矩阵都是旋转矩阵还可能是反射因此要进行判断。
旋转矩阵的定义旋转矩阵是一个用来表示在欧几里得空间中的点或向量围绕一个固定轴的旋转的正交矩阵。
旋转矩阵—正交矩阵但正交矩阵不能推导出旋转矩阵。举个反例 因此我们还需要对所求得的 R 进行行列式判断判断方法如果 det(⊤)−1则所求的 R 包含了镜像如果 det(⊤)1则所求的 R 是我们所求的旋转矩阵。 反射的最优化问题 如果确定了包含反射det(〖VU〗^T)−1我们接下来的目标是找到一个反射矩阵它能最大化迹的函数(Σ) 。这里的迹函数只依赖于 的对角线元素。我们将这些对角线元素视作变量它们构成了所有反射矩阵对角线的集合。由于反射矩阵可以通过反转旋转矩阵的一行来构建所以优化集合是点 (±1,...,±1) 的凸包其中坐标−1的个数是奇数。 凸多面体和极值 由于我们处理的领域是一个凸多面体线性函数在其顶点达到极值。因此我们寻找的最优解是在这些顶点之一。其中对角线全为1即没有 −1不在考虑的范围内所以次优的选择是在最后一个元素为 −1的情况即 (Σ)1σ _1 2 σ _2 … d−1 σ _(d-1) − d σ _d 。这个值是在我们的域的一个顶点上取得的除了全1情况外是所有可能组合中最大的因为 dσ _d是最小的奇异值因为SVD 分解特征值是从大到小排序。 总结 如果 det(〖VU〗^T)−1我们需要的 V^T RU的形式其中最后一个元素为 −1。即 我们还可以总结出一个更一般的公式无论 det(〖VU〗^T)等于−1还是−1R 都可以表示为 五、总结
经过上面的推导和镜像修正我们可以总结出一套完整的使用 SVD 求解 ICP 问题的流程
我们的问题是求解 R, t 使得下面的误差函数最小 步骤如下
1.计算两个点的加权质心 2.对所有点做归一化 3.计算d x d 的协方差矩阵d代表数据维度 4.计算S的SVD分解S Σ〖UΣV〗^T则得到想要求的旋转矩阵R如下 5.计算平移向量t 六、本文的扩展——点云配准中的ICP算法
ICP Iterative Closest Point,迭代最近点算法是一种广泛应用于计算机视觉和机器人领域的技术主要用于在两组数据点之间找到最佳的对齐方式。通过不断地迭代每次在前一次的计算结果之上再计算出新的变换矩阵最终当迭代次数满足条件或者变换矩阵收敛时停止。ICP广泛应用于3D重建、机器人定位、医疗影像处理等领域。
原理
ICP算法的基本步骤如下
1. 选择对应点在两组点云中为每个点找到对应的最近点。这些对应点构成了点云之间的初步匹配。 2. 最小化误差计算一个变换包括旋转 矩阵 R 和平移向量 t 使得这些对应点之间的距离即误差最小化。常用的求解 R 和 t 的方法有 SVD 和 非线性优化但非线性优化的描述比较繁琐通常采用 SVD 方法。 3. 应用变换将变换应用到其中一组点云上使其更好地与另一组点云对齐。 4. 迭代优化重复上述步骤每次都在更新后的点云基础上进行对应点选择和误差最小化直到变换达到稳定或误差小于某个阈值。 优点简单不必对点云进行分割和特征提取初值较好情况下精度和收敛性都不错
缺点对初始变换敏感容易陷入局部最优解只考虑了点与点距离缺少对点云结构信息的利用 实际使用中的一些注意事项
• ICP 比较依赖于变换初值平移比较简单直接用点云质心来估计旋转初值的话可以手动调一个粗略值或者沿每个轴的旋转进行采样、组合来尝试不适合实时性应用 • 点太多的话可以先降采样 • 找到一些 anchor 点对比如先用特征点匹配可以帮助加速收敛 • 对应用场景引入一些合理假设比如限制旋转、平移的范围变换自由度数量等 ICP改进算法名称简介 Point-to-Plane ICP 原始 ICP 算法的代价函数中使用的 point-to-point 距离point-to-plane 则是考虑源顶点到目标顶点所在面的距离比起直接计算点到点距离考虑了点云的局部结构精度更高不容易陷入局部最优但要注意 point-to-plane 的优化是一个非线性问题速度比较慢一般使用其线性化近似 Plane-to-Plane ICP point-to-plane 只考虑目标点云局部结构 plane-to-plane 顾名思义就是也考虑源点云的局部结构计算面到面的距离 Generalized ICP (GICP) 综合考虑 point-to-point、point-to-plane 和 plane-to-plane 策略精度、鲁棒性都有所提高 Normal Iterative Closest Point (NICP) 考虑法向量和局部曲率更进一步利用了点云的局部结构信息其论文中实验结果比 GICP 的性能更好。
七、本文的扩展——常见点集配准技术RPM
Robust point matchingRPM
RPM算法的核心是通过软对应和确定性退火过程来逐步达到精确匹配
1.软对应RPM算法中每个点可以部分地与多个点对应这种软对应由一个“对应矩阵”来表示该矩阵中的每个元素表示两点之间的匹配程度。
2.确定性退火算法引入了退火技术通过逐渐减小“温度”参数来从宽松的匹配逐步过渡到严格的匹配。高温度允许点对之间有更大的自由度随着温度的降低算法逐步锁定更精确的对应关系。
3.变换优化在每个退火步骤中算法通过优化变换参数旋转、缩放、平移来最小化配准误差通常使用迭代最小化方法。
优点由于引入了退火过程RPM算法不如ICP算法那样依赖于初始位置能够从较差的初始状态恢复软对应机制使得RPM能够处理局部遮挡问题不要求两个点集具有完全相同的点数或结构。
缺点RPM算法的计算复杂度高于传统ICP算法尤其是在点集较大时计算量和时间消耗显著增加。算法效果很大程度上依赖于退火过程中温度下降策略和其他参数的选择这些参数的设定需要根据具体问题仔细调整可能需要较多的实验和专业知识。
八、本文的扩展——常见点集配准技术KC
Kernel correlationKC
KC算法的核心是利用核函数来转换和比较数据集其基本步骤如下
1.数据转换使用核函数将原始数据映射到一个高维特征空间。常用的核函数包括高斯核、多项式核等
2.核相关计算在特征空间中通过计算两个映射后的数据集的内积或相似度来评估它们的相关性。核相关的值越高表示两个数据集越相似。
3.归一化通常需要对核相关值进行归一化处理确保结果的稳定性和可比性。
优点通过使用核函数KC算法能有效处理非线性的数据显著提高模型的灵活性和适用范围提供了一种在复杂数据集间进行深入相似度评估的有效工具。
缺点映射数据到高维空间可能导致计算成本高算法性能在很大程度上依赖于核函数的选择不恰当的核函数可能导致性能不佳参数敏感核参数如在高斯核中的带宽的选择对结果有显著影响需要仔细调整以获得最佳性能。
九、本文的扩展——常见点集配准技术CPD
Coherent point driftCPD
CPD算法的核心思想基于概率方法将点集配准问题视为一个概率密度估计问题。算法的基本步骤包括
1.概率模型将一个点集视为高斯混合模型GMM中心的“静态”点集而另一个点集则被视为来自这个模型的“动态”样本。
2.期望最大化EM算法CPD使用EM算法来估计配准的参数。在期望步骤E-step算法计算每个点对模型中每个高斯成分的责任度即该点来自某个高斯成分的概率。在最大化步骤M-step根据这些责任度更新变换参数和GMM参数。
3.变换估计CPD支持刚体、仿射和非刚体变换可以根据实际应用需求选择相应的模型进行点集配准。
优点CPD算法对噪声和异常值具有很好的鲁棒性可以有效处理不完整或部分遮挡的数据。支持多种类型的变换包括刚体、仿射和非刚体变换无需手动标定或预处理算法能够自动对点集进行有效配准。
缺点由于涉及复杂的迭代计算和概率模型CPD算法在处理大规模数据时可能会有较高的计算成本算法性能在一定程度上依赖于参数的选择如高斯混合模型的宽度参数等这些参数需要根据具体的数据情况仔细调整在某些情况下CPD算法可能需要较多的迭代次数才能收敛特别是在点集规模较大或数据复杂度较高的情况下。
十、本文的扩展——常见点集配准技术的对比
参考文章
点集配准技术ICP、RPM、KC、CPD - 算法小丑 - 博客园 (cnblogs.com)
