提供专业网站建设,wordpress oilost v1.0,大学生网页设计与制作模板,ps网页设计案例一, 线性方程的几何图像 The geometry of linear equations
线性代数的基本问题就是解n元一次方程组
eg#xff1a;二元一次方程组 矩阵形式: 系数矩阵(coefficient matrix): 未知数向量: 线性方程组简记为Axb
二, 行图像 Row Picture
行图像遵从解析几何的描述#xff0…一, 线性方程的几何图像 The geometry of linear equations
线性代数的基本问题就是解n元一次方程组
eg二元一次方程组 矩阵形式: 系数矩阵(coefficient matrix): 未知数向量: 线性方程组简记为Axb
二, 行图像 Row Picture
行图像遵从解析几何的描述每个方程在平面上的图像为一条直线。找到符合方程的两个数组就可以确定出x-y平面上的两个点连接两点可以画出该方程所代表的直线。两直线交点即为方程组的解x1,y2 三, 列图像 Column Picture
在列图像中我们将系数矩阵写成列向量的形式则求解原方程变为寻找列向量的线性组合(linear combination)来构成向量b
linear combination of columns 向量线性组合是贯穿本课程的重要概念。对于给定的向量c和d以及标量x和y我们将xcyd称之为c和d的一个线性组合 从几何上讲我们是寻找满足如下要求的x和y使得两者分别数乘对应的列向量之后相加得到向量 可以看到当蓝色的向量乘以1与红色的向量乘以2后做加法首尾相接就可以得到绿色的向量b由此可得到方程的解x1,y2
想象一下如果任意取x,y则得到的线性组合又是什么其结果就是以上两个列向量的所有线性组合将会布满整个坐标平面。
四, 扩展到三元 4.1 row picture three planes meet at one point
4.2 column picture 如果改变等号右侧的b的数值那么对于行图像而言三个平面都改变了而对于列图像而言三个向量并没有发生变化只是需要寻找一个新的组合
Can U solve Axb for every b? 是否对于所有的b方程Axb都有解
转化为
Do the linear combs of the columns fill 3-d space? 列向量的线性组合是否覆盖整个三维空间
For this A(non-singular非奇异, invertible可逆) answer is yes
反例若三个向量在同一平面内——比如“列3”恰好等于“列1”加“列2”而若b不在该平面内则三个列向量无论怎么组合也得不到平面外的向量b。此时矩阵A为奇异阵或称不可逆矩阵。在矩阵A不可逆条件下不是所有的b都能令方程Axb有解
对n维情形则是n个列向量如果相互独立——“线性无关”则方程组有解。否则这n个列向量起不到n个的作用其线性组合无法充满n维空间方程组未必有解
从行图像的角度来看三元方程组是否有解意味着什么当方程所代表的三个平面相交于一点时方程有唯一解三个平面中至少两个平行则方程无解平面的两两交线互相平行方程也无解三个平面交于一条直线则方程有无穷多解。 五, 矩阵与向量的乘法
列图像Ax是矩阵A列向量的线性组合 Ax is a comb of columns 也可以通过将矩阵A的行向量和x向量进行点积来计算
