青岛网站seo推广,济宁网站建设 果壳科技,4399网页游戏大全,律师网站建设本文始发于个人公众号#xff1a;TechFlow今天的文章聊聊高等数学当中的极限#xff0c;我们跳过极限定义以及一些常用极限计算的部分。我想对于一些比较常用的函数以及数列的极限#xff0c;大家应该都非常熟悉。大部分比较简单的函数或者数列#xff0c;我们可以很直观地…本文始发于个人公众号TechFlow今天的文章聊聊高等数学当中的极限我们跳过极限定义以及一些常用极限计算的部分。我想对于一些比较常用的函数以及数列的极限大家应该都非常熟悉。大部分比较简单的函数或者数列我们可以很直观地看出来它们的极限。比如\(\frac{1}{n}\)当n趋向于无穷大的时候\(\frac{1}{n}\)的极限是0再比如当n趋向于无穷大的时候\(n^2\)的极限也是无穷大等等。但是对于一些相对比较复杂的函数我们一时之间可能很难直观地看出极限因此需要比较方便计算极限的方法今天的文章介绍的正是这样的方法——夹逼法和换元法。夹逼法夹逼法在数学领域其实非常常用在中学的竞赛当中经常出现。夹逼法的原理非常简单对于某一个函数f(x)我们知道它的表达式但是很难确定它的范围。我们可以先找到另外两个范围比较容易确定的函数g(x)和h(x)然后证明:\(g(x)\leq f(x) \leq h(x)\)。通过h(x)和g(x)的范围来夹逼f(x)的范围。说白了就是直接求解不方便的函数我们通过用其他容易计算的函数来替代的方法来间接求解类似于“曲线救国”。明白了夹逼法的概念之后我们再来看一下它在数列极限当中的应用。当下存在数列\(\{x_n\}\)我们需要确定它的极限我们找到了另外两个数列\(\{y_n\}\)和\(\{z_n\}\)。如果它们满足以下两个条件\(\exists n_0 \in N\)当\(n n_0\)时有\(y_n \leq x_n \leq z_n\)。\(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}y_na, \lim_{n \to \infty}z_na\)那么数列\(\{x_n\}\)的极限存在并且\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}x_na\)。从直觉上来看上面的式子应该非常直观但是我们还是试着从数学的角度来证明一下顺便回顾一下极限的定义。证明过程如下根据极限的定义对于数列\(\{x_n\}\)而言对于任意\(\epsilon\)都存在\(n_0 0\)使得对于任意\(n n_0\)都有\(|x_n - a| \epsilon\)。那么就称数列\(\{x_n\}\)的极限是a。由于数列\(\{y_n\}\)的极限是a所以存在\(n_1\)使得\(n n_1\)时\(|y_n -a | \epsilon\)。同理存在\(n_2\)使得\(n n_2\)时\(|z_n -a | \epsilon\)。那么对于\(n max(n_1, n_2)\)显然应该有\(|y_n - a| \epsilon\)并且\(|z_n - a | \epsilon\)。我们将绝对值展开可以得到\[\begin{aligned}a - \epsilon y_n a \epsilon \\a - \epsilon z_n a \epsilon\end{aligned}\]我们代入\(y_n \leq x_n \leq z_n\)可以得到\[\begin{aligned}a - \epsilon y_n \leq x_n \leq z_n a \epsilon \\| x_n -a | \epsilon\end{aligned}\]根据极限的定义显然可以得到数列\(\{x_n\}\)的极限也是a。我们利用这个方法来看一个书上的例子我们都知道当x趋向于0的时候\(x\)和\(\sin x\)都趋向于0但是\(\frac{\sin x}{x}\)的极限是多少呢如果猜测一下两个无穷趋向于0的极限的比值应该是1才对但是这个只是我们的直观猜测想要严格证明还需要使用数学方法。这个证明就用到了我们刚才说的夹逼法并且非常巧妙让我们来看一张下面这张图。我们假设夹角\(\angle AOBx\)这里采用弧度制。我们令圆心OB的长度等于1那么\(BC\sin x\)\(OC\cos x\)\(AD\tan x\)。我们下面要用这张图里的几何图形的面积关系显然\(\triangle AOB\)的面积 扇形AOB的面积 \(\triangle AOD\)的面积。\(\triangle AOB\)的面积等于\(\frac{1}{2}*OA*BC\frac{1}{2}\sin x\)\(\triangle AOD\)的面积等于\(\frac{1}{2}*OA*AD\frac{1}{2}\tan x\)。这两个都很容易得出直接套用三角形面积公式即可。扇形的面积看起来麻烦一些但其实也很简单在几何当中扇形可以看成是特殊的三角形。我们把弧长看成是底面半径可以看成是高那么扇形的面积等于\(\frac{1}{2}*弧长*半径\)。所以扇形AOB的面积等于\(\frac{1}{2}*x*1\frac{1}{2}x\)。我们列出来可以得到\[\frac{1}{2}\sin x \frac{1}{2}x \frac{1}{2}\tan x\]即\[\sin x x \tan x\]其中\(\tan x \frac{\sin x}{\cos x}\)所以我们可以不等号两边同时除以\(\sin x\)得到\[1 \frac{x}{\sin x} \frac{1}{\cos x}\]由于当x趋向于0的时候\(\sin x, \cos x\)都大于0所以我们可以对不等式互换分子分母得到\[\cos x \frac{\sin x}{x} 1\]到这里已经结束了因为我们根据余弦的函数图像可以很容易看出来当x趋向于0的时候cosx趋向于1.但为了严谨起见我们当做不知道这点继续用数学的方法证明我们来计算当x趋向于0的时候\(1 - \cos x\)的取值范围当x趋向于0的时候\(\cos x 1\)所以\(1 - \cos x 0\)。我们再对\(1 - \cos x\)变形这里要引入三角函数当中的和差化积公式\[\cos \alpha - \cos \beta -2\sin \frac{\alpha \beta}{2}\sin \frac{\alpha - \beta}{2}\]由于\(\cos 0 1\)带入和差化积可以得到\[\cos 0 - \cos x -2 \sin \frac{x}{2}\sin -\frac{x}{2}2\sin ^2 \frac{x}{2}\]我们之前通过面积表示的方法已经证明了当x趋向于0的时候\(\sin x x\)所以\(2\sin ^2 \frac{x}{2} 2 * (\frac{x}{2})^2\frac{x^2}{2}\)。当x趋向于0的时候显然\(x^2\)也趋向于0所以我们可以证明\(\cos x\)的极限是1.换元法我们接着来看换元法学名是复合函数的极限运算法则。定义如下假设我们有\(y f[g(x)]\)我们令\(u g(x)\)。如果\(\displaystyle\lim_{x \to x_0}g(x)u_0, \lim_{u \to u_0}f(u)A\)并且在x趋向于\(x_0\)时有\(g(x) \neq u_0\)那么\[\displaystyle\lim_{x \to x_0}f[g(x)]\lim_{u \to u_0}g(u)A\]我们使用极限的定义同样可以很方便地证明它的正确性这里就不证明了感兴趣的同学可以试着证明一下。了解了符合函数的极限运算法则之后我们再来看一个例子巩固一下。和上面的例子类似我们这次求一下:\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\)。和上面那题一样我们先使用和差化积对极限的分子进行变换可以得到\[\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}\frac{1}{2}\lim_{x \to 0}\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{(\frac{x}{2})^2}\]如果通过极限本身的定义来计算这个式子还是蛮复杂的很难直观地获得答案。这个时候就需要用上换元法了我们令\(u \frac{x}{2}\)那么这个极限就可以转化成复合函数极限了。\(u\frac{x}{2}, f(u)\frac{\sin u}{u}\)。因为当x趋向于0的时候u也趋向于0当u趋向于0的时候\(f(u)\)趋向于1所以最终的极限就是1.通过夹逼法和复合函数的极限替换公式我们可以很方便地求解一些看起来比较棘手的极限。这也是我们求极限的过程当中使用非常频繁的方法。虽然上文当中的公式看起来有些比较麻烦但是方法本身并不难只要沉下心来一定可以看明白的。原创不易希望我的文章可以给你带来收获。扫码关注我的公众号获取更多文章你们的支持是我最大的动力。参考资料同济大学《高等数学》第六版程序员的数学关于找一找教程网本站文章仅代表作者观点不代表本站立场所有文章非营利性免费分享。本站提供了软件编程、网站开发技术、服务器运维、人工智能等等IT技术文章希望广大程序员努力学习让我们用科技改变世界。[高等数学——讲透求极限两大方法夹逼法与换元法]http://www.zyiz.net/tech/detail-102835.html
