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Reinforcement Learning, Second Edition
An Introduction
By Richard S. Sutton and Andrew G. BartoMDP 是强化学习问题在数学上的理想化形式#xff0c;因为在这个框架下我们可以进行精确的理论说明 智能体与环境的交互
智能体与环境交互#xff0c;会得到轨迹因为在这个框架下我们可以进行精确的理论说明 智能体与环境的交互
智能体与环境交互会得到轨迹根据轨迹长度 T T T的情况分为分幕式任务 T ∞ T\infty T∞和持续式任务 T ∞ T\infty T∞。轨迹的形式为 S 0 , A 0 , R 1 , S 1 , A 1 , R 2 , S 2 , A 2 , . . . \blue{S_0,A_0},\red{R_1,S_1,A_1},\green{R_2,S_2,A_2},... S0,A0,R1,S1,A1,R2,S2,A2,... 回报 G G G return与奖励 R R R reward G t R t 1 γ R t 2 γ 2 R t 3 . . . G_tR_{t1}\gamma R_{t2}\gamma^2 R_{t3} ... GtRt1γRt2γ2Rt3... 从 t 1 t1 t1开始的原因因为不存在 R 0 R_0 R0但是存在 G 0 G_0 G0 状态价值函数 v π ( s ) v_{\pi}(s) vπ(s) 与动作价值函数 q π ( s , a ) q_{\pi}(s,a) qπ(s,a) v π ( s ) ≐ E [ G t ∣ s ] E [ R t 1 γ G t 1 ∣ s ] v_{\pi}(s) \doteq \mathbb{E}[G_t|s]\mathbb{E}[R_{t1}\gamma G_{t1}|s] vπ(s)≐E[Gt∣s]E[Rt1γGt1∣s] q π ( s , a ) ≐ E [ G t ∣ s , a ] E [ R t 1 γ G t 1 ∣ s , a ] q_{\pi}(s,a) \doteq \mathbb{E}[G_t|s,a]\mathbb{E}[R_{t1}\gamma G_{t1}|s,a] qπ(s,a)≐E[Gt∣s,a]E[Rt1γGt1∣s,a] 注意到 v , q v, q v,q都定义成给定 π \pi π这个分布的期望回报因此都是理想存在的一个函数而不是算法内部的。算法内部对他们两个函数的估计记作大写 V π ( S t ) V_{\pi}(S_{t}) Vπ(St)与 Q π ( S t , A t ) Q_{\pi}(S_{t},A_{t}) Qπ(St,At) 策略函数 π ( a ∣ s ) \pi(a|s) π(a∣s) 策略是从状态到每个动作的选择概率之间的映射 π ( a ∣ s ) \pi(a|s) π(a∣s) 中间的|“只是提醒我们它为每个 s 都定义了一个在 a 上的概率分布 重要函数与公式
四参数动态函数 p ( s ′ , r ∣ s , a ) p(s,r|s,a) p(s′,r∣s,a) 表示given s s s采取动作 a a a走到 s ′ s s′并获得 r r r的概率对每一个不同的s,a组合都有这样的一个函数 状态转移概率 p ( s ′ ∣ s , a ) ∑ r ∈ R p ( s ′ , r ∣ s , a ) p(s|s,a)\sum_{r\in \mathcal{R}} p(s,r|s,a) p(s′∣s,a)r∈R∑p(s′,r∣s,a)状态-动作期望收益 r ( s , a ) ∑ r ∈ R r ∑ s ′ ∈ S p ( s ′ , r ∣ s , a ) , r(s,a) \sum_{r\in{\mathcal{R}}}{r}\sum_{s^{\prime}\in{\mathcal{S}}}p(s^{\prime},r\mid s ,a), r(s,a)r∈R∑rs′∈S∑p(s′,r∣s,a),状态-动作-后继状态 r ( s , a , s ′ ) ∑ r ∈ R r p ( s ′ , r ∣ s , a ) p ( s ′ ∣ s , a ) r(s,a,s) \sum_{r\in{\mathcal{R}}}r\,\frac{p(s^{\prime},r\mid s,a)}{p(s^{\prime}\mid s,a)} r(s,a,s′)r∈R∑rp(s′∣s,a)p(s′,r∣s,a) 用 π , q \pi,q π,q表示 v v v v π ( s ) ≐ ∑ a π ( a ∣ s ) q π ( s , a ) v_\pi(s)\doteq\sum_{a}{\pi(a|s)q_{\pi}(s,a)} vπ(s)≐a∑π(a∣s)qπ(s,a)用 v v v和四参数动态函数表示 q q q q π ( s , a ) ∑ s ′ , r p ( s ′ , r ∣ s , a ) [ r γ v π ( s ′ ) ] q_\pi(s,a)\sum_{s,r}p(s,r|s,a)[r\gamma v_\pi(s)] qπ(s,a)s′,r∑p(s′,r∣s,a)[rγvπ(s′)]
贝尔曼方程
状态价值函数的贝尔曼方程 动作价值函数的贝尔曼方程
看第二个等号求和号里面第二项实际上就是 q π q_\pi qπ因此 q π ( s , a ) ∑ s ′ , r p ( s ′ , r ∣ s , a ) [ r γ v π ( s ′ ) ] q_{\pi}(s,a)\sum_{s^{\prime},r}p(s^{\prime},r|s,a)[r\gamma \red{v_{\pi }(s)}] qπ(s,a)s′,r∑p(s′,r∣s,a)[rγvπ(s′)] ∑ s ′ , r p ( s ′ , r ∣ s , a ) [ r γ ∑ a ′ π ( a ′ ∣ s ′ ) q π ( s ′ , a ′ ) ] \sum_{s^{\prime},r}p(s^{\prime},r|s,a)[r\gamma \red{\sum_{a^{\prime}}\pi(a^{\prime}|s^{\prime})q_{\pi}(s^{\prime},a^{\prime})}] s′,r∑p(s′,r∣s,a)[rγa′∑π(a′∣s′)qπ(s′,a′)]
贝尔曼最优方程 v ∗ ( s ) max a q ∗ ( s , a ) v_*(s)\max_a q_{*}(s,a) v∗(s)amaxq∗(s,a)
