萧山区住房和城乡建设局网站,周口网站建设 网站制作 网络推广,汕头公司建站模板,女生做交互设计师好吗4 基本数值算法4.2 线性方程组4.2.1 线性方程组的特性解的存在性和唯一性满足下面条件之一#xff0c;A非奇异#xff0c;可逆#xff1a;如果b属于A的列向量张成的空间#xff0c;则称方程组是相容的。范数需要满足次可加性#xff08;三角不等式#xff09;。对于n维矢…4 基本数值算法4.2 线性方程组4.2.1 线性方程组的特性解的存在性和唯一性满足下面条件之一A非奇异可逆如果b属于A的列向量张成的空间则称方程组是相容的。范数需要满足次可加性三角不等式。对于n维矢量x可以定义p范数p为大于0的整数 。所以1范数为相加2范数为平方和开根 范数为最大的x。定义矩阵范数 。根据相应的向量范数我们可以得到1范数为列向量求和最大2范数为行向量求和最大。矩阵范数满足这些性质 如果 对于任一标量 有 对任意矢量x有 问题的敏感性和病态性 A的条件数如果A奇异则 矩阵的条件数刻画了矩阵对于非零矢量最大的延伸和压缩能力矩阵的条件数越大说明矩阵越接近奇异。矩阵条件数的性质对于任意矩阵A 对于单位阵I 对于任意矩阵A和标量 有 对于任意对角阵 。4.2.2 线性方程组的直接解法主要是两种高斯消去法和LU分解高斯消去法主要的计算量消耗在消元过程时间复杂度为 。在消去过程中对角线上的元素会作为除数如果它很小就会发生上溢从而严重影响求解精度。于是就有了一个操作叫做列选主元。讲的是一个矩阵计算到 的时候从 向下看找到一个最大的家伙然后把那一行整个搬过来把这一行搬过去于是就很好的控制了上溢的问题。用时间换精度。然后LU分解在线性代数里面已经学过了这里就不再说了......线性方程组解的精度残差向量 解为 定义残差向量 。有 。当A为良态时小的相对残差意味着解的相对误差也小。A如果病态稳定的算法可以得到小的残差但解的精度不一定高。高斯-约当法把A变成一个对角阵。乔列斯基分解如果A是对称正定阵则可以使用。 L为下三角阵。4.2.3 线性方程组的迭代解法迭代求解直接解法的时间复杂度都是 迭代运算复杂度不超过 其中k为迭代步数。不动点迭代 定义谱半径 为矩阵M所有特征值的最大值。如果 则不动点迭代收敛。分裂A是实现不动点迭代的基本方法令 得到 得到不动点迭代的形式 当 时收敛雅可比方法 D为对角阵L和U为严格的上三角阵和下三角阵。 带入迭代式 。高斯-赛德方法 D为对角阵L和U为严格的上三角阵和下三角阵。 带入迭代式 。高斯-赛德方法能够及时利用更新过的分量参与下一步计算因此收敛速度要比雅可比大约快一倍但这两种方法收敛通常很慢。
