福州网站制作策划,甘肃网站建设推广服务,企业网站源码 php,设计网站推荐 zoo文章目录 一、逆矩阵的定义、性质和求法二、逆矩阵的初步应用结语 一、逆矩阵的定义、性质和求法 定义7 对于 n n n阶矩阵A#xff0c;如果有一个 n n n阶矩阵B#xff0c;使 A B B A E ABBAE ABBAE 则说矩阵A是可逆的#xff0c;并把矩阵B称为A的逆矩阵#xff0c;简称逆… 文章目录 一、逆矩阵的定义、性质和求法二、逆矩阵的初步应用结语 一、逆矩阵的定义、性质和求法 定义7 对于 n n n阶矩阵A如果有一个 n n n阶矩阵B使 A B B A E ABBAE ABBAE 则说矩阵A是可逆的并把矩阵B称为A的逆矩阵简称逆阵。 定理1 若矩阵A可逆则 ∣ A ∣ ̸ 0 \vert A\vert \not 0 ∣A∣0 证明 A 可逆即有 A − 1 使得 A A − 1 E ∣ A A − 1 ∣ ∣ A ∣ ∣ A − 1 ∣ ∣ E ∣ 1 ∴ ∣ A ∣ ̸ 0 证明\\ A可逆即有A^{-1}使得AA^{-1}E\\ |AA^{-1}||A||A^{-1}||E|1\\ \therefore |A|\not0 证明A可逆即有A−1使得AA−1E∣AA−1∣∣A∣∣A−1∣∣E∣1∴∣A∣0 定理2 若 ∣ A ∣ ̸ 0 |A|\not0 ∣A∣0则矩阵A可逆且 A − 1 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}\frac{1}{|A|}A^* A−1∣A∣1A∗ 其中 A ∗ A^{*} A∗为矩阵A的伴随矩阵。 证明 由例 10 知 A A ∗ A ∗ A ∣ A ∣ E ∵ ∣ A ∣ ̸ 0 ∴ A A ∗ ∣ A ∣ A ∗ ∣ A ∣ A E 按逆矩阵的定义有矩阵 A 可逆且 A − 1 A ∗ ∣ A ∣ 证明\\ 由例10知\\ AA^{*}A^{*}A|A|E\\ \because |A|\not0\\ \therefore A\frac{A^{*}}{|A|}\frac{A^{*}}{|A|}AE\\ 按逆矩阵的定义有矩阵A可逆且\\ A^{-1}\frac{A^{*}}{|A|} 证明由例10知AA∗A∗A∣A∣E∵∣A∣0∴A∣A∣A∗∣A∣A∗AE按逆矩阵的定义有矩阵A可逆且A−1∣A∣A∗ 当 ∣ A ∣ 0 |A|0 ∣A∣0时A称为奇异矩阵。哟路上面两定理知A是可逆矩阵的充分必要条件是 ∣ A ∣ ̸ 0 |A|\not0 ∣A∣0即可逆矩阵就是非奇异矩阵。 推论 若 A B E ( 或者 B A E ) 则 B A − 1 ABE(或者BAE)则BA^{-1} ABE(或者BAE)则BA−1 逆矩阵满足下述运算规律
若A可逆则 A − 1 A^{-1} A−1亦可逆且 ( A − 1 ) − 1 A (A^{-1})^{-1}A (A−1)−1A;若A可逆输入 λ ̸ 0 \lambda\not0 λ0则 λ A \lambda A λA可逆且 ( λ A ) − 1 1 λ A − 1 (\lambda A)^{-1}\frac{1}{\lambda}A^{-1} (λA)−1λ1A−1若A、B为同阶矩阵且均可逆则AB亦可逆且 ( A B ) − 1 B − 1 A − 1 (AB)^{-1}B^{-1}A^{-1} (AB)−1B−1A−1若A可逆则 A T A^{T} AT可逆且 ( A T ) − 1 ( A − 1 ) T (A^{T})^{-1}(A^{-1})^{T} (AT)−1(A−1)T
当A可逆时还可定义 A 0 E , A − k ( A − 1 ) k A^0E,A^{-k}(A^{-1})^k A0E,A−k(A−1)k
其中k为正整数这样当A可逆 λ , μ \lambda,\mu λ,μ为整数时有 A λ A μ A λ μ , ( A λ ) μ A λ μ A^{\lambda}A^{\mu}A^{\lambda\mu},(A^{\lambda})^{\mu}A^{\lambda\mu} AλAμAλμ,(Aλ)μAλμ
例11 求二阶矩阵 A ( a b c d ) A\begin{pmatrix} ab\\ cd \end{pmatrix} A(acbd) 的逆矩阵。 解 ∣ A ∣ a d − b c A ∗ ( d − b − c a ) 当 ∣ A ∣ ̸ 0 使 , A − 1 1 ∣ A ∣ A ∗ 1 a d − b c ( d − b − c a ) 解\\ |A|ad-bc\\ A*\begin{pmatrix} d-b\\ -ca \end{pmatrix}\\ 当|A|\not0使, A^{-1}\frac{1}{|A|}A^{*}\\ \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d-b\\ -ca \end{pmatrix} 解∣A∣ad−bcA∗(d−c−ba)当∣A∣0使,A−1∣A∣1A∗ad−bc1(d−c−ba)
二、逆矩阵的初步应用
可逆矩阵在线性代数中占有重要的地位它的应用是多方面的下面举几个例子。
例13 设 A ( 1 2 3 2 2 1 3 4 3 ) , B ( 2 1 5 3 ) , C ( 1 3 2 0 3 1 ) A\begin{pmatrix} 123\\ 221\\ 343\\ \end{pmatrix} ,B\begin{pmatrix} 21\\ 53\\ \end{pmatrix} ,C\begin{pmatrix} 13\\ 20\\ 31\\ \end{pmatrix}\\ A 123224313 ,B(2513),C 123301 求矩阵X使其满足 A X B C AXBC AXBC 解 若 A − 1 , B − 1 存在则 C A A − 1 C B − 1 B 有 X A − 1 C B − 1 ∣ A ∣ 2 , ∣ B ∣ 1 , 所以 A − 1 , B − 1 存在 A − 1 ( 1 3 − 2 − 3 2 − 3 5 2 1 1 − 1 ) , B − 1 ( 3 − 1 − 5 2 ) X A − 1 C B − 1 ( 1 3 − 2 − 3 2 − 3 5 2 1 1 − 1 ) ( 1 3 2 0 3 1 ) ( 3 − 1 − 5 2 ) ( 1 1 0 − 2 0 2 ) ( 3 − 1 − 5 2 ) ( − 2 1 10 − 4 − 10 4 ) 解\\ 若A^{-1},B^{-1}存在则\\ CAA^{-1}CB^{-1}B\\ 有XA^{-1}CB^{-1}\\ |A|2,|B|1,所以A^{-1},B^{-1}存在\\ A^{-1}\begin{pmatrix} 13-2\\ -\frac{3}{2}-3\frac{5}{2}\\ 11-1 \end{pmatrix} ,B^{-1}\begin{pmatrix} 3-1\\ -52\\ \end{pmatrix}\\ XA^{-1}CB^{-1} \begin{pmatrix} 13-2\\ -\frac{3}{2}-3\frac{5}{2}\\ 11-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 13\\ 20\\ 31\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3-1\\ -52\\ \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 11\\ 0-2\\ 02 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3-1\\ -52\\ \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} -21\\ 10-4\\ -104\\ \end{pmatrix} 解若A−1,B−1存在则CAA−1CB−1B有XA−1CB−1∣A∣2,∣B∣1,所以A−1,B−1存在A−1 1−2313−31−225−1 ,B−1(3−5−12)XA−1CB−1 1−2313−31−225−1 123301 (3−5−12) 1001−22 (3−5−12) −210−101−44
例14 设 P ( 1 2 1 4 ) , Λ ( 1 0 0 2 ) , A P P Λ , 求 A n P\begin{pmatrix} 12\\ 14 \end{pmatrix} ,\Lambda\begin{pmatrix} 10\\ 02 \end{pmatrix} ,APP\Lambda,求A^n P(1124),Λ(1002),APPΛ,求An 解 : ∣ P ∣ 2 p − 1 1 2 ( 4 − 2 − 1 1 ) A P Λ P − 1 , A 2 P Λ P − 1 P Λ P − 1 P Λ 2 P − 1 , ⋯ , A n P Λ n P − 1 Λ ( 1 0 0 2 ) , Λ 2 ( 1 0 0 2 2 ) , ⋯ , Λ n ( 1 0 0 2 n ) A n P Λ n P − 1 ( 1 2 1 4 ) ( 1 0 0 2 n ) 1 2 ( 4 − 2 − 1 1 ) ( 2 − 2 n 2 n − 1 2 − 2 n 1 2 n 1 − 1 ) 解:\\ |P|2\\ p^{-1}\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4-2\\ -11\\ \end{pmatrix}\\ AP\Lambda P^{-1},A^2P\Lambda P^{-1}P\Lambda P^{-1}P\Lambda^2 P^{-1},\cdots,A^{n}P\Lambda^{n} P^{-1}\\ \Lambda\begin{pmatrix} 10\\ 02 \end{pmatrix} ,\Lambda^2\begin{pmatrix} 10\\ 02^2 \end{pmatrix} ,\cdots,\Lambda^n\begin{pmatrix} 10\\ 02^n\\ \end{pmatrix}\\ A^nP\Lambda^n P^{-1}\begin{pmatrix} 12\\ 14 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 10\\ 02^n\\ \end{pmatrix} \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4-2\\ -11\\ \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 2-2^n2^n-1\\ 2-2^{n1}2^{n1}-1\\ \end{pmatrix}\\ 解:∣P∣2p−121(4−1−21)APΛP−1,A2PΛP−1PΛP−1PΛ2P−1,⋯,AnPΛnP−1Λ(1002),Λ2(10022),⋯,Λn(1002n)AnPΛnP−1(1124)(1002n)21(4−1−21)(2−2n2−2n12n−12n1−1)
设 ϕ ( x ) a 0 a 1 x ⋯ a m x m 为 x 的 m \phi(x)a_0a_1x\cdotsa_mx^m为x的m ϕ(x)a0a1x⋯amxm为x的m次多项式A为 n n n阶矩阵记 ϕ ( A ) a 0 E a 1 A ⋯ a m A m \phi(A)a_0Ea_1A\cdotsa_mA^m ϕ(A)a0Ea1A⋯amAm ϕ ( A ) \phi(A) ϕ(A)为矩阵A的m次多项式。
矩阵 A k 、 A l 和 E A^k、A^l和E Ak、Al和E都是可交换的所以矩阵A的两个多项式 ϕ ( A ) 和 f ( A ) \phi(A)和f(A) ϕ(A)和f(A)也是可交换的即总有
ϕ ( A ) f ( A ) f ( A ) ϕ ( A ) \phi(A)f(A)f(A)\phi(A) ϕ(A)f(A)f(A)ϕ(A)
从而A的几个多项式可以像数 x x x的多项式一样相乘或者分解因式。 如果 A P Λ P − 1 则 A k P Λ k P − 1 AP\Lambda P^{-1}则A^kP\Lambda^kP^{-1} APΛP−1则AkPΛkP−1从而 ϕ ( A ) P a 0 E P − 1 P a 1 Λ P − 1 ⋯ P a m Λ m P − 1 P ϕ ( Λ ) P − 1 \phi(A)Pa_0EP^{-1}Pa_1\Lambda P^{-1}\cdotsPa_m\Lambda^mP^{-1}P\phi(\Lambda)P^{-1} ϕ(A)Pa0EP−1Pa1ΛP−1⋯PamΛmP−1Pϕ(Λ)P−1 如果 Λ d i a g ( λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n ) \Lambdadiag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n) Λdiag(λ1,λ2,⋯,λn)为对角矩阵则 Λ k d i a g ( λ 1 k , λ 2 k , ⋯ , λ n k ) \Lambda^kdiag(\lambda_1^k,\lambda_2^k,\cdots,\lambda_n^k) Λkdiag(λ1k,λ2k,⋯,λnk),从而 ϕ ( Λ ) a 0 E a 1 Λ ⋯ a m Λ m d i a g ( ϕ ( λ 1 ) , ϕ ( λ 2 ) , ⋯ , ϕ ( λ n ) ) \phi(\Lambda)a_0Ea_1\Lambda\cdotsa_m\Lambda^m\\ diag(\phi(\lambda_1),\phi(\lambda_2),\cdots,\phi(\lambda_n)) ϕ(Λ)a0Ea1Λ⋯amΛmdiag(ϕ(λ1),ϕ(λ2),⋯,ϕ(λn))
例15 设 P ( − 1 1 1 1 0 2 1 1 − 1 ) , Λ ( 1 2 − 3 ) , A P P Λ P\begin{pmatrix} -111\\ 102\\ 11-1 \end{pmatrix} ,\Lambda\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ -3 \end{pmatrix} ,APP\Lambda\\ P −11110112−1 ,Λ 12−3 ,APPΛ 求 ϕ ( A ) A 3 2 A 2 − 3 A \phi(A)A^32A^2-3A ϕ(A)A32A2−3A 解 ∣ P ∣ 6 A P Λ P − 1 ϕ ( A ) P ϕ ( Λ ) P − 1 , ϕ ( Λ ) d i a g ( ϕ ( λ 1 k ) , ϕ ( λ 2 ) k , ⋯ , ϕ ( λ n k ) ) ϕ ( 1 ) 0 ϕ ( 2 ) 10 , ϕ ( − 3 ) 0 ϕ ( A ) P ϕ ( Λ ) P − 1 ( − 1 1 1 1 0 2 1 1 − 1 ) ( 0 10 0 ) 1 ∣ P ∣ P ∗ 5 ( 1 0 1 0 0 0 1 0 1 ) 解\\ |P|6\\ AP\Lambda P^{-1}\\ \phi(A)P\phi(\Lambda) P^{-1},\phi(\Lambda)diag(\phi(\lambda_1^k),\phi(\lambda_2)^k,\cdots,\phi(\lambda_n^k))\\ \phi(1)0\phi(2)10,\phi(-3)0\\ \phi(A)P\phi(\Lambda)P^{-1}\begin{pmatrix} -111\\ 102\\ 11-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 10\\ 0\\ \end{pmatrix} \frac{1}{|P|}P^*\\ 5\begin{pmatrix} 101\\ 000\\ 101\\ \end{pmatrix} 解∣P∣6APΛP−1ϕ(A)Pϕ(Λ)P−1,ϕ(Λ)diag(ϕ(λ1k),ϕ(λ2)k,⋯,ϕ(λnk))ϕ(1)0ϕ(2)10,ϕ(−3)0ϕ(A)Pϕ(Λ)P−1 −11110112−1 0100 ∣P∣1P∗5 101000101
结语 ❓QQ:806797785 ⭐️文档笔记地址 https://github.com/gaogzhen/math 参考
[1]同济大学数学系.工程数学.线性代数 第6版 [M].北京:高等教育出版社,2014.6.p39-44.
[2]同济六版《线性代数》全程教学视频[CP/OL].2020-02-07.p10.
