网站建设技术,wordpress主题 秀,网店运营培训,邯郸微信托管from IPython.display import displayfrom sympy import *前置知识理解这份笔记的内容需#xff0c;读者需要具备基础的python知识并且对函数#xff0c;微积分和矩阵有一定的基础。辅助函数由于后面的笔记中#xff0c; 我们会大量将一个Sympy object和应用某个函数之后读者需要具备基础的python知识并且对函数微积分和矩阵有一定的基础。辅助函数由于后面的笔记中 我们会大量将一个Sympy object和应用某个函数之后调用某个方法之后 或是和执行计算之后的结果比较。 为了减少代码的重复我编写了helper.py帮忙做这事。from helper import comparator_factoryfunc_comparator comparator_factory(应用函数{}前,使用后:)comparator_factory返回的comparator是一个函数, 他否则使用的语法是comparator(target, func, *args, *kwargs)。 target是待处理的Sympy对象, func是希望应用的Sympy函数,args,kwargs是传给func的额外位置参数和关键字参数。from helper import comparator_method_factorymethod_comparator comparator_method_factory(Before calling {},After:)comparator_method_factory返回的使用的语法是comparator(target, method_name, *args, *kwargs)。 target是待处理的Sympy对象, method_name是希望调用的方法的名字,args,kwargs是传给调用方法的额外位置参数和关键字参数。from helper import comparator_eval_factoryeval_comparator comparator_eval_factory(计算前,计算后)comparator_eval_factory返回的comparator使用的语法是comparator(uneval)。 uneval是未执行计算的Sympy object。符号计算是什么Sympy能以符号形式进行数学计算。数学表达式中未经计算的变量可以以符号的形式存在。我们看下面的例子。首先我们用python的内置函数计算开方我们可能会这么做。from math import sqrtsqrt(8)2.8284271247461903这个结果并不能精确的表达$\sqrt{8}$而且我们也很难从这一大串float数值推出原来的表达式是什么。这就是为什么我们需要符号计算。在像Sympy这样的符号计算系统中,不能准确表达的开发运算会保留未经计算的符号形态。from sympy import sqrtsqrt(8)2*sqrt(2)更好的显示效果上面的例子中结果很棒。但是在Jupyter中的显示效果看起来并不怎么样。如果我们要更好的显示效果可以调用sympy.init_printing()方法from sympy import init_printinginit_printing()sqrt(8)$2 \sqrt{2}$看上去棒极了!!对变量进行符号计算Sympy能够对包含符号变量的表达式进行计算。下面是个例子。from sympy import symbolsx, y symbols(x y)expr x 2*yexpr$x 2 y$Sympy能自动应用一些明显的化简。 所以下面的例子里我们得到的结果是$y$而不是$x2y-x-y$expr-x-y$$y$$如果没有像Sympy这样的符号计算系统的帮助我们是实现不了这样的效果的。因为大部分情况下编程语言都没法去处理一个没有赋上具体值的变量。Sympy的效果演示为了满足你的好奇心下面挑了一小部分例子演示Sympy在符号计算的威力。 先创建一写符号变量。x, t, z, nu symbols(x t z nu)求微分计算$\sin{(x)}e^x$的微分s Derivative(sin(x)*exp(x),x)eval_comparator(s)计算前$$\frac{d}{d x}\left(e^{x} \sin{\left (x \right )}\right)$$计算后$$e^{x} \sin{\left (x \right )} e^{x} \cos{\left (x \right )}$$求积分计算$\int(e^x\sin{(x)} e^x\cos{(x)})\,dx$s Integral(exp(x)*sin(x) exp(x)*cos(x))eval_comparator(s)计算前$$\int e^{x} \sin{\left (x \right )} e^{x} \cos{\left (x \right )}\, dx$$计算后$$e^{x} \sin{\left (x \right )}$$计算$\int_{-\infty}^\infty \sin{(x^2)}\,dx$s Integral(sin(x**2),(x,-oo,oo))eval_comparator(s)计算前$$\int_{-\infty}^{\infty} \sin{\left (x^{2} \right )}\, dx$$计算后$$\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi}}{2}$$计算$\lim_{x\to 0}\frac{\sin{(x)}}{x}$求极限s Limit(sin(x)/x, x, 0)eval_comparator(s)计算前$$\lim_{x \to 0^}\left(\frac{1}{x} \sin{\left (x \right )}\right)$$计算后$$1$$求解 $x^2 - 2 0$求解等式s Eq(x**2 - 2, 0)func_comparator(s, solve, x)应用函数solve()前$$x^{2} - 2 0$$使用后:$$\left [ - \sqrt{2}, \quad \sqrt{2}\right ]$$求微分方程计算微分方程$y - y e^t$y Function(y)s Eq(y(t).diff(t, t) - y(t), exp(t))func_comparator(s, dsolve, y(t))应用函数dsolve()前$$- y{\left (t \right )} \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left (t \right )} e^{t}$$使用后:$$y{\left (t \right )} C_{2} e^{- t} \left(C_{1} \frac{t}{2}\right) e^{t}$$矩阵计算计算$\left[\begin{smallmatrix}1 2\2 2\end{smallmatrix}\right]$的engenvalueMatrix([[1, 2], [2, 2]]).eigenvals()$$\left { \frac{3}{2} \frac{\sqrt{17}}{2} : 1, \quad - \frac{\sqrt{17}}{2} \frac{3}{2} : 1\right }$$用spherical Bessel function jν(z)改写Bessel function Jν(z)作图画函数图像expr_1 x**2range_1 (x,-2,2)expr_2 xrange_2 (x,-1,1)p plot((expr_1,range_1),(expr_2,range_2),show False,legend True);p[0].line_color rp[1].line_color bp[0].label Line 1p[1].label Line 2p.show()画3D平面from sympy.plotting import plot3dx,y symbols(x y)plot3d((x**2 y**2, (x, -5, 5), (y, -5, 5)),(x*y, (x, -3, 3), (y, -3, 3)));定义符号定义变量符号可以用symbols()去一次性定义多个符号变量。将想要的符号用空格隔开以字符串的方式传入函数。from sympy import symbolsx,y,z symbols(x y z)expr (xy)**z/(x1-y/5)expr$$\frac{\left(x y\right)^{z}}{x - \frac{y}{5} 1}$$除了用字母也可以用单词作为符号名称。speed,time symbols(speed time)display(speed, time)$$speed$$$$time$$有些字符串是保留字用于定义诸如$\lambda, \nu$等特殊的符号。lamda, n symbols(lamda nu)display(lamda, n)$$\lambda$$$$\nu$$Python变量名不一定要和符号名保持一致。y, x symbols(x y)display(x, y)$$y$$$$x$$但是为了避免一些不必要的混乱建议还是让Python变量名和符号名保持一致比较好。定义函数符号传入cls Function定义函数符号。f, g symbols(f g, clsFunction)display(f(x))display(g(x,y))$$f{\left (y \right )}$$$$g{\left (y,x \right )}$$定义数字可以使用Integer, Float, Rational去定义Sympy中的整数浮点数和有理数。from sympy import Integer, Float, Rationali Integer(1)i$$1$$f Float(2.31)f$$2.31$$r Rational(2,7)r$$\frac{2}{7}$$定义表达式基本表达式基本的数学表达式用符号变量和python的运算符就够构造。x,y,z symbols(x y z)expr (xy)**z/(x1-y/5)expr$$\frac{\left(x y\right)^{z}}{x - \frac{y}{5} 1}$$当Python的objects和Sympy的objects相遇的时候Python objects会被自动转化成Sympy objects.所以大部分使用我们直接使用python内置的数。但是,遇到两个python数值相除的时候Python会先完成除法运算将有理数转变成浮点数。expr x1/2expr$$x 0.5$$所以如果我们需要使用有理数需要显示的去进行定义。expr xRational(1,2)expr$$x \frac{1}{2}$$更复杂的表达式例如微积分需要借助Sympy的函数来实现。这部分内容会在后面的教程中介绍。定义等式可以用Eq来定义等式。x,y symbols(x,y)eq Eq(x**2-x,0)print(等式n:)display(eq)等式n:$$x^{2} - x 0$$处理表达式多项/有理函数simplify()Sympy提供了多种函数用于表达式的化简。simplify()是一个通用的函数它尝试“智能”的应用所有这些函数让表达式达到一个“最简化”的状态。下面是一些例子。expr sin(x)**2 cos(x)**2func_comparator(expr, simplify)应用函数simplify()前$$\sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )}$$使用后:$$1$$expr (x**3 x**2 - x - 1)/(x**2 2*x 1)func_comparator(expr, simplify)应用函数simplify()前$$\frac{x^{3} x^{2} - x - 1}{x^{2} 2 x 1}$$使用后:$$x - 1$$expr gamma(x)/gamma(x - 2)func_comparator(expr, simplify)应用函数simplify()前$$\frac{\Gamma{\left(x \right)}}{\Gamma{\left(x - 2 \right)}}$$使用后:$$\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)$$由于很难定义什么是最简化所以你可能得不到你想要的结果。expr x**2 2*x 1func_comparator(expr, simplify)应用函数simplify()前$$x^{2} 2 x 1$$使用后:$$x^{2} 2 x 1$$在上面的例子里。你可能觉得$(x1)^2$是最简化的结果但是simplify并不同意。 这种时候我们就要使用更加具体的化简函数去更好的控制结果。这些函数后面会介绍。除此之外由于simplify()需要把各种各样的化简都尝试一下才能决定哪种方案最好处理速度会慢。所以如果你已经知道自己想要哪种类型的化简直接使用特定的函数就好。expand()如果传入一个多项式 expand()会把它处理成由单项式的和构成的标准型。from sympy import expandexpr (x 1)**2func_comparator(expr,expand)应用函数expand()前$$\left(x 1\right)^{2}$$使用后:$$x^{2} 2 x 1$$expr (x 1)*(x - 2) - (x - 1)*xfunc_comparator(expr,expand)应用函数expand()前$$- x \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) \left(x 1\right)$$使用后:$$-2$$factor()factor()将表达式在有理数范围内分解成不可约的因子项。from sympy import factorexpr (x**2)*z 4*x*y*z 4*y**2*zfunc_comparator(expr, factor)应用函数factor()前$$x^{2} z 4 x y z 4 y^{2} z$$使用后:$$z \left(x 2 y\right)^{2}$$factor_list()factor_list()做和factor()一样的工作,但是返回的结果不可约因子项组成的list。from sympy import factor_listexpr x**2*z 4*x*y*z 4*y**2*zfunc_comparator(expr, factor_list)应用函数factor_list()前$$x^{2} z 4 x y z 4 y^{2} z$$使用后:$$\left ( 1, \quad \left [ \left ( z, \quad 1\right ), \quad \left ( x 2 y, \quad 2\right )\right ]\right )$$collect()collect()对表达式进行同类项合并。from sympy import collectexpr x*y x - 3 2*x**2 - z*x**2 x**3func_comparator(expr, collect, x)应用函数collect()前$$x^{3} - x^{2} z 2 x^{2} x y x - 3$$使用后:$$x^{3} x^{2} \left(- z 2\right) x \left(y 1\right) - 3$$cancel()cancel()接受有理函数然后处理成$p/q$的标准型。做到$p$和$q$是展开的多项式没有未合并的同类项。$p$和$q$的第一个系数不包含分母。from sympy import cancelexpr (x*y**2 - 2*x*y*z x*z**2 y**2 - 2*y*z z**2)/(x**2 - 1)func_comparator(expr, cancel)应用函数cancel()前$$\frac{1}{x^{2} - 1} \left(x y^{2} - 2 x y z x z^{2} y^{2} - 2 y z z^{2}\right)$$使用后:$$\frac{1}{x - 1} \left(y^{2} - 2 y z z^{2}\right)$$apartapart()对有理函数进行部分分式分解。它将原表达式表示成若干多项式和若干分母较简单的分式的和。from sympy import apartexpr (4*x**3 21*x**2 10*x 12)/(x**4 5*x**3 5*x**2 4*x)func_comparator(expr, apart)应用函数apart()前$$\frac{4 x^{3} 21 x^{2} 10 x 12}{x^{4} 5 x^{3} 5 x^{2} 4 x}$$使用后:$$\frac{2 x - 1}{x^{2} x 1} - \frac{1}{x 4} \frac{3}{x}$$三角函数trigsimp要根据三角恒等式对三角函数进行化简的话可以用trigsimp()。和simplify()很像trigsimp()尝试使用各种三角恒等式去处理接受的表达式然后根据“直觉”找到最好的选择。from sympy import trigsimpexpr sin(x)**4 - 2*cos(x)**2*sin(x)**2 cos(x)**4func_comparator(expr, trigsimp)应用函数trigsimp()前$$\sin^{4}{\left (x \right )} - 2 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} \cos^{4}{\left (x \right )}$$使用后:$$\frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )} \frac{1}{2}$$trigsimp()也能用在双曲函数上。expr cosh(x)**2 sinh(x)**2func_comparator(expr, trigsimp)应用函数trigsimp()前$$\sinh^{2}{\left (x \right )} \cosh^{2}{\left (x \right )}$$使用后:$$\cosh{\left (2 x \right )}$$expand_trig如果想展开三角函数例如想利用和角公式和倍角公式的话可以用expand_trig()。from sympy import expand_trigexpr sin(x y)func_comparator(expr,expand_trig)应用函数expand_trig()前$$\sin{\left (x y \right )}$$使用后:$$\sin{\left (x \right )} \cos{\left (y \right )} \sin{\left (y \right )} \cos{\left (x \right )}$$幂函数假设介绍针对指数函数的化简函数之前得先讨论一下和指数有关的几个等式。我们有三个等式。$x^ax^b x^{a b}$$x^ay^a (xy)^a$$(x^a)^b x^{ab}$等式1总是成立。等式2不总是成立。我们可以举一个针对等式2的反例。如果$xy−1$ and $a1/2$, 那么$x^ay^a \sqrt{-1}\sqrt{-1} i\cdot i -1$, 可是$x^ay^a \sqrt{-1}\sqrt{-1} i\cdot i -1$.等式3也不是一直成立。例如 如果$x−1$, $a2$, and $b1/2$, 那么$(x^a)^b {\left ((-1)^2\right )}^{1/2} \sqrt{1} 1$且有$x^{ab} (-1)^{2\cdot1/2} (-1)^1 -1$记得这些很重要因为默认情况下Sympy并不会利用并不总是成立的等式用于化简操作。但是我们可以添加额外的假设条件让等式2和等式3在这些假设条件下做到衡成立。一套让等式2满足的条件是$x, y \geq 0$ and $a \in \mathbb{R};一套让等式3满足的条件是$b \in \mathbb{Z}$为了让Sympy利用这些只有在特定假设下才成立的等式进行化简我们需要给符号添加假设(默认假设是它们都是复数)。我们后面会对假设系统进行更细致的探讨。下面先举一个简单的用法的例子。这个例子里我们假设$x,y$值为正且$a,b$是实数。x, y symbols(x y, positiveTrue)a, b symbols(a b, realTrue)另一个强制进行化简无视假设的方法是传入force True。这个用法我们后面会遇到。powsimppowsimp()会从左到右应用等式1和2.from sympy import powsimpexpr x**a*x**bfunc_comparator(expr, powsimp)应用函数powsimp()前$$x^{a} x^{b}$$使用后:$$x^{a b}$$from sympy import powsimpexpr x**a*y**afunc_comparator(expr, powsimp)应用函数powsimp()前$$x^{a} y^{a}$$使用后:$$\left(x y\right)^{a}$$如果没有相应的假设让等式2成立化简不会发生。x, y symbols(x y)a, b symbols(a b)from sympy import powsimpexpr x**a*y**afunc_comparator(expr, powsimp)应用函数powsimp()前$$x^{a} y^{a}$$使用后:$$x^{a} y^{a}$$如果你确信希望应用化简无论假设条件如何可以传入forceTruex, y symbols(x y)a, b symbols(a b)from sympy import powsimpexpr x**a*y**afunc_comparator(expr, powsimp,forceTrue)应用函数powsimp()前$$x^{a} y^{a}$$使用后:$$\left(x y\right)^{a}$$expand_power_expexpand_power_exp()从右往左应用等式1。from sympy import expand_power_expexpr x**(a b)func_comparator(expr, expand_power_exp)应用函数expand_power_exp()前$$x^{a b}$$使用后:$$x^{a} x^{b}$$expand_power_baseexpand_power_base()从左到右应用等式2.from sympy import expand_power_baseexpr (x*y)**afunc_comparator(expr, expand_power_base)应用函数expand_power_base()前$$\left(x y\right)^{a}$$使用后:$$\left(x y\right)^{a}$$powdenestpowdenest()从左往右应用等式3。from sympy import powdenestexpr (x**a)**bfunc_comparator(expr, powdenest,forceTrue)应用函数powdenest()前$$\left(x^{a}\right)^{b}$$使用后:$$x^{a b}$$指数函数和对数函数对数函数有个主要的等式。$\log{(xy)} \log{(x)} \log{(y)}$$\log{(x^n)} n\log{(x)}$它们有和幂函数一样的问题。为了让化简时能利用上这些等式我们需要传入force True或者添加额外的假设。一套充分条件是x, y symbols(x y, positiveTrue)n symbols(n, realTrue)expand_logexpand_log()从左往右应用等式1和2from sympy import expand_logexpr log(x*y)func_comparator(expr,expand_log)应用函数expand_log()前$$\log{\left (x y \right )}$$使用后:$$\log{\left (x \right )} \log{\left (y \right )}$$from sympy import expand_logexpr log(x**n)func_comparator(expr,expand_log)应用函数expand_log()前$$\log{\left (x^{n} \right )}$$使用后:$$n \log{\left (x \right )}$$from sympy import expand_logexpr log(x/y)func_comparator(expr,expand_log)应用函数expand_log()前$$\log{\left (\frac{x}{y} \right )}$$使用后:$$\log{\left (x \right )} - \log{\left (y \right )}$$logcombineexpand_log()从右往左应用等式1和2from sympy import logcombineexpr log(x) log(y)func_comparator(expr, logcombine)应用函数logcombine()前$$\log{\left (x \right )} \log{\left (y \right )}$$使用后:$$\log{\left (x y \right )}$$from sympy import logcombineexpr n*log(x)func_comparator(expr, logcombine)应用函数logcombine()前$$n \log{\left (x \right )}$$使用后:$$\log{\left (x^{n} \right )}$$组合函数combsimp要化简组合函数的话可以用combsimp()from sympy import combsimpexpr factorial(n)/factorial(n - 3)func_comparator(expr, combsimp)应用函数combsimp()前$$\frac{n!}{\left(n - 3\right)!}$$使用后:$$n \left(n - 2\right) \left(n - 1\right)$$from sympy import combsimp, binomialn,k symbols(n k)expr binomial(n1, k1)/binomial(n, k)func_comparator(expr, combsimp)应用函数combsimp()前$$\frac{1}{{\binom{n}{k}}} {\binom{n 1}{k 1}}$$使用后:$$\frac{n 1}{k 1}$$参考资料相关文章
