开发网站的项目背景描述,对商家而言网站建设的好处,住房和城乡建设部网站加装电梯,免费下载ppt课件软件文章目录 [toc]第一章#xff1a;绪论 1.1 1.1 1.1|数值计算在工程科学中的重要性 1.2 1.2 1.2|数值计算方法 1.3 1.3 1.3|程序设计盒图计算方法的选取减少运算次数避免相近的数相减 1.4 1.4 1.4|误差的来源、表示及传递误差的来源和分类模型误差观测误差截断误差舍入误差 误差… 文章目录 [toc]第一章绪论 1.1 1.1 1.1|数值计算在工程科学中的重要性 1.2 1.2 1.2|数值计算方法 1.3 1.3 1.3|程序设计盒图计算方法的选取减少运算次数避免相近的数相减 1.4 1.4 1.4|误差的来源、表示及传递误差的来源和分类模型误差观测误差截断误差舍入误差 误差的表示绝对误差相对误差平均误差标准误差 误差的传递误差在和、差计算中的传递绝对误差相对误差 误差在积、商计算中的传递乘积的绝对误差乘积的相对误差商的绝对误差商的相对误差 第二章Python基础 2.1 2.1 2.1|概述 第三章方程组的求解 3.1 3.1 3.1|非线性代数方程的求根二分法原理步骤Python实现
第一章绪论 1.1 1.1 1.1|数值计算在工程科学中的重要性 1.2 1.2 1.2|数值计算方法 1.3 1.3 1.3|程序设计
盒图
盒图也称为 N − S N-S N−S结构化流程图如果一个算法可以用 N − S N-S N−S流程图描述则说明它是结构化的盒图示例 计算方法的选取
减少运算次数
计算多项式 P n ( x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 ⋯ a n x n P_{n} (x) a_{0} a_{1} x a_{2} x^{2} \cdots a_{n} x^{n} Pn(x)a0a1xa2x2⋯anxn的值 如果逐项计算所需乘法次数为 1 2 ⋯ n 1 2 n ( n 1 ) 1 2 \cdots n \cfrac{1}{2} n (n 1) 12⋯n21n(n1)所需加法次数为 n n n S 0 a 0 S k a k x k ( k 1 , 2 , ⋯ , n ) P n ( x ) ∑ i 0 n S i S_{0} a_{0} \\ S_{k} a_{k} x^{k} (k 1 , 2 , \cdots , n) \\ P_{n} (x) \displaystyle\sum\limits_{i 0}^{n}{S_{i}} S0a0Skakxk(k1,2,⋯,n)Pn(x)i0∑nSi 如果采用递推法秦九韶算法则只需 n n n次乘法和 n n n次加法 S n a n S k x S k − 1 a k ( k n − 1 , n − 2 , ⋯ , 0 ) P n ( x ) S 0 S_{n} a_{n} \\ S_{k} x S_{k - 1} a_{k} (k n - 1 , n - 2 , \cdots , 0) \\ P_{n} (x) S_{0} SnanSkxSk−1ak(kn−1,n−2,⋯,0)Pn(x)S0
避免相近的数相减
在计算过程中应避免相近的数相减不然会使有效数字的位数大大减少 1.4 1.4 1.4|误差的来源、表示及传递
误差的来源和分类
模型误差
模型与实际问题的误差
观测误差
通常数学模型中都包含一些需要实验测定的参数这些参数存在测定值与真实值之间的误差
截断误差
数值计算方法中常用收敛无穷级数的前几项代替无穷级数截断误差与算法有关常用截断误差限或截断误差的阶来判断某种算法的优劣
舍入误差
由于计算机位数有限引起的误差称为舍入误差舍入误差与计算机有关也与数学表达式有关
误差的表示
绝对误差
用 x x x表示准确值 x ∗ x^{*} x∗的近似值绝对误差为 e x − x ∗ e x - x^{*} ex−x∗通常 x ∗ x^{*} x∗是未知的故 e e e的真实值也是不知道的常根据实际情况估算它的上限 ∣ e ∣ ∣ x − x ∗ ∣ ≤ ε | e | | x - x^{*} | \leq \varepsilon ∣e∣∣x−x∗∣≤ε x − ε ≤ x ∗ ≤ x ε x - \varepsilon \leq x^{*} \leq x \varepsilon x−ε≤x∗≤xε ε \varepsilon ε称为 x x x的绝对误差限
相对误差 e r e x x − x ∗ x e_{r} \cfrac{e}{x} \cfrac{x - x^{*}}{x} erxexx−x∗ ∣ e r ∣ ∣ x − x ∗ x ∣ ≤ ε r | e_{r} | | \cfrac{x - x^{*}}{x} | \leq \varepsilon_{r} ∣er∣∣xx−x∗∣≤εr
平均误差
算数平均值 x ˉ 1 n ∑ i 1 n x i \bar{x} \cfrac{1}{n} \displaystyle\sum\limits_{i 1}^{n}{x_{i}} xˉn1i1∑nxi平均误差为 δ 1 n ∑ i 1 n d i 1 n ∑ i 1 n ∣ x ˉ − x i ∣ \delta \cfrac{1}{n} \displaystyle\sum\limits_{i 1}^{n}{d_{i}} \cfrac{1}{n} \displaystyle\sum\limits_{i 1}^{n}{| \bar{x} - x_{i} |} δn1i1∑ndin1i1∑n∣xˉ−xi∣
标准误差 σ 1 n − 1 ∑ i 1 n d i 2 \sigma \sqrt{\cfrac{1}{n - 1} \displaystyle\sum\limits_{i 1}^{n}{d_{i}^{2}}} σn−11i1∑ndi2 标准误差也称为均方根误差
误差的传递
误差在和、差计算中的传递
设 x ∗ x^{*} x∗、 y ∗ y^{*} y∗的近似值为 x x x、 y y y z ∗ x ∗ y ∗ z^{*} x^{*} y^{*} z∗x∗y∗
绝对误差 e z e x e y e_{z} e_{x} e_{y} ezexey ∣ e z ∣ ≤ ∣ e x ∣ ∣ e y ∣ | e_{z} | \leq | e_{x} | | e_{y} | ∣ez∣≤∣ex∣∣ey∣
相对误差 e r z ( x y ) − ( x ∗ y ∗ ) x y x − x ∗ x × x x y y − y ∗ y × y x y e_{rz} \cfrac{(x y) - (x^{*} y^{*})}{x y} \cfrac{x - x^{*}}{x} \times \cfrac{x}{x y} \cfrac{y - y^{*}}{y} \times \cfrac{y}{x y} erzxy(xy)−(x∗y∗)xx−x∗×xyxyy−y∗×xyy 当 x x x与 y y y同号时 ∣ x x y ∣ ≤ 1 | \cfrac{x}{x y} | \leq 1 ∣xyx∣≤1 ∣ y x y ∣ ≤ 1 | \cfrac{y}{x y} | \leq 1 ∣xyy∣≤1 e r z ≤ ∣ e r x ∣ ∣ e r y ∣ e_{rz} \leq | e_{rx} | | e_{ry} | erz≤∣erx∣∣ery∣当 x y ≈ 0 x y \approx 0 xy≈0时可能有 e r z ≫ ∣ e r x ∣ ∣ e r y ∣ e_{rz} \gg | e_{rx} | | e_{ry} | erz≫∣erx∣∣ery∣
误差在积、商计算中的传递
设 x ∗ x^{*} x∗ y ∗ y^{*} y∗均为正数近似值分别为 x x x、 y y y绝对误差为 d x x − x ∗ dx x - x^{*} dxx−x∗ d y y − y ∗ dy y - y^{*} dyy−y∗相对误差为 x − x ∗ x d x x d ln x \cfrac{x - x^{*}}{x} \cfrac{dx}{x} d \ln{x} xx−x∗xdxdlnx y − y ∗ y d y y d ln y \cfrac{y - y^{*}}{y} \cfrac{dy}{y} d \ln{y} yy−y∗ydydlny
乘积的绝对误差 d ( x y ) x d y y d x d(xy) x dy y dx d(xy)xdyydx
乘积的相对误差 d ln x y d ( ln x ln y ) d x x d y y d \ln{xy} d(\ln{x} \ln{y}) \cfrac{dx}{x} \cfrac{dy}{y} dlnxyd(lnxlny)xdxydy
商的绝对误差 d ( x / y ) y d x − x d y y 2 d(x / y) \cfrac{y dx - x dy}{y^{2}} d(x/y)y2ydx−xdy
商的相对误差 d ln x / y d ( ln x − ln y ) d x x − d y y d \ln{x / y} d(\ln{x} - \ln{y}) \cfrac{dx}{x} - \cfrac{dy}{y} dlnx/yd(lnx−lny)xdx−ydy 第二章Python基础 2.1 2.1 2.1|概述 第三章方程组的求解 3.1 3.1 3.1|非线性代数方程的求根
二分法
原理
设 f f f是一个连续函数假设存在一个区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] f f f在区间的两端点处的值符号相反即 f ( a ) f ( b ) 0 f(a) f(b) 0 f(a)f(b)0于是 f f f在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]有一个根这可由函数的中值定理得到
步骤 有一个区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]和值 u f ( a ) u f(a) uf(a)、 v f ( b ) v f(b) vf(b)满足 u v 0 uv 0 uv0 构造区间的中点 c ( a b ) / 2 c (a b) / 2 c(ab)/2并计算 w f ( c ) w f(c) wf(c)可能碰巧 w 0 w 0 w0则算法结束 通常情况下 w ≠ 0 w \neq 0 w0如果 w u 0 wu 0 wu0则可断定在区间 [ a , c ] [a,c] [a,c]中存在 f f f的一个根因而将 c c c的值存储到 b b b中将 w w w的值存储到 v v v中如果 w v 0 wv 0 wv0则 f f f在区间 [ c , b ] [c,b] [c,b]中有一个根因而将 c c c的值存储到 a a a中将 w w w的值存储到 u u u中 重复进行每次区间长度减少一半直到区间达到需要的精度 结束时根的最佳估计是 ( a b ) / 2 (a b) / 2 (ab)/2 在程序运行过程中中点处函数值 w 0 w 0 w0的概率是极低的为此增加一个判断语句是不值得的对任意区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]只要 u v ≤ 0 uv \leq 0 uv≤0即可保证区间中包含零点
Python实现
求解 f ( x ) x 3 − 3 x 1 f(x) x^{3} - 3x 1 f(x)x3−3x1在区间 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]上的零点
def bisect(f, a, b, eps1e-9, args()):u, v f(a, *args), f(b, *args)if u * v 0:while abs(a - b) eps:c (a b) / 2w f(c, *args)if w * u 0:b, v c, welse:a, u c, wreturn (a b) / 2else:print(fThe function values at {a} and {b} have the same sign)def f(x): return x * (x * x - 3) 1if __name__ __main__:a, b 0, 1eps 1e-9res bisect(f, a, b, eps)print(The result is:, res)求解 f ( x ) cosh ( x 2 1 − e x ) log ∣ sin x ∣ f(x) \cosh{(\sqrt{x^{2} 1} - e^{x})} \log{| \sin{x} |} f(x)cosh(x21 −ex)log∣sinx∣在区间 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]上的零点 该式在 0 0 0点没有定义计算会发生溢出此时可以选择一个很小的值作为左边界如 1 0 − 10 10^{-10} 10−10
import numpy as np
from bisection import bisectdef f(x): return np.cosh(np.sqrt(x * x 1) - np.exp(x)) np.log10(np.abs(np.sin(x)))if __name__ __main__:a, b 1e-10, 1res bisect(f, a, b)print(fThe result is: {res})
